Problèmes ouverts, aéronautique ou acoustique
Bonjour à tous !
Je suis un nouveau venu car je viens de découvrir ce site merveilleux.
Félicitations à tous les administrateurs qui font du bon boulot.
Je voudrais savoir où trouver des problèmes ouverts de maths appliquées à l’acoustique ou à l’aéronautique. En effet je suis très intéressé par ces deux domaines et je fais les maths à défaut d’avoir trouvé une porte pour l’ingénierie aéronautique ou acoustique.
Je fais face actuellement à un problème de motivation, parce que voulant nécessairement toucher du doigt au réel à travers les maths.
Je prépare actuellement une thèse en mathématiques dans le domaine du contrôle des EDP (Équations aux Dérivées Partielles).
Je remercie d’avance ceux qui voudraient me donner quelques idées ou indications qui pourraient m’aider à retrouver une motivation nouvelle.
Je suis un nouveau venu car je viens de découvrir ce site merveilleux.
Félicitations à tous les administrateurs qui font du bon boulot.
Je voudrais savoir où trouver des problèmes ouverts de maths appliquées à l’acoustique ou à l’aéronautique. En effet je suis très intéressé par ces deux domaines et je fais les maths à défaut d’avoir trouvé une porte pour l’ingénierie aéronautique ou acoustique.
Je fais face actuellement à un problème de motivation, parce que voulant nécessairement toucher du doigt au réel à travers les maths.
Je prépare actuellement une thèse en mathématiques dans le domaine du contrôle des EDP (Équations aux Dérivées Partielles).
Je remercie d’avance ceux qui voudraient me donner quelques idées ou indications qui pourraient m’aider à retrouver une motivation nouvelle.
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Réponses
Le domaine du contrôle optimal (par exemple : méthodes basées sur le principe de maximum de Pontryagin, approche Hamilton Jacobi Bellman) trouve beaucoup d'applications dès que le système peut être modélisé par un système différentiel, du coup en particulier en aéronautique.
Par exemple, les problèmes d'atteignabilité, ou de détermination de trajectoires optimales pour un critère donné ...
https://www.safety-line.fr/transavia-adopte-opticlimb-pour-reduire-la-consommation-de-ses-avions/#prettyPhoto
Pour être plus explicite je cherche des problèmes non encore résolus ou des projets non encore concrétisés (en acoustique ou en aéronautique) pour lesquels un mathématicien pourrait apporter sa contribution. Ce qui ferait l'objet d'un article à soumettre dans une revue scientifique.
Je vais voir ça (le lien que vous m'avez envoyé) de plus près; peut-être que ça me donnera une idée.
Mon directeur de thèse est un fondamentaliste; l'application concrète des mathématiques ne l'intéresse pas. Il ne peut donc pas m'aider dans ce sens.
Pardon, ta demande me semble encore trop vague. Peut-être pourrais-tu préciser très rapidement le contenu de ton travail de thèse et en particulier sur quelles EDP tu travailles...S'il s'agit de Navier-Stokes, le lien avec l'aéronautique ou l'acoustique n'est sûrement pas loin.
Pour le moment je travaille sur l’équation des ondes (EDP, type hyperbolique) avec un retard temporel sur le contrôle dynamique $\eta$; à peu près ceci en dimension 1 (article soumis en Février):
We consider the following wave equation with delay term on the dynamical control
\begin{equation}\label{1eq1}
\left\lbrace
\begin{array}{ll}
\displaystyle u_{tt}(x,t)- u_{xx}(x,t)=0 \mbox{ in }\;]0,1[ \times (0, +\infty)\\\\
\displaystyle u(0,t)=0\\\\
\displaystyle u_x(1,t)+\eta(t)=0 \; \forall \ t\in (0, +\infty)\\\\
\displaystyle \eta_t(t)-u_t(1,t)+\beta_1\eta(t)+\beta_2\eta(t-\tau)=0 \; \; \forall \ t\in (0, +\infty)\\\\
\displaystyle u(\cdot, 0)=u_0, \quad u_t(\cdot, 0)=u_1 \; \mbox{ in } ]0,1[,\;\quad \eta(0)=\eta_0\in \mathbb R\\\\
\displaystyle \eta(t-\tau)=f_0(t-\tau) \; \forall \ t\in (0, \tau),\\\\
\end{array}
\right.
\end{equation}
where $\eta$ denotes the dynamical control, $\tau >0$ is the time delay, $\beta_1$ and $\beta_2$ are positive constants and the initial data $(u_0, u_1, f_0)$ belong to a suitable space. The damping of the system is made via the indirect damping mechanism.
On a pu établir une stabilité forte, une non stabilité uniforme et enfin une stabilité polynomiale. Actuellement je recherche un taux de décroissance optimal polynomial et une extension en dimension supérieure.
Parallèlement j'étudie un système couplé d'équations des ondes et d'Euler Bernoulli.
Mais avant tout, je constate que tu traites de l'amortissement contrôlé des ondes de propagation (équations hyperboliques), qui est un domaine très riche en applications dans le monde de l'ingénierie aéronautique, en mécanique des fluides (perturbations sonores, ondes de chocs, etc.), en théorie des poutres (architecture, déformations élastiques, théorie d'Euler-Bernoulli, etc.) : il y a donc incontestablement un lien scientifique direct entre cette thèse et tes domaines de prédilection, l'aéronautique et l'acoustique - ce qui est plutôt rassurant pour ta motivation si tu arrives à la trouver au cœur même de ton travail.
En fait, loin d'être détaché du réel, ton sujet doctoral en provient tout droit. Dis-toi qu'en amont de chaque problème de mathématique se situe, plus ou moins proche, un problème de physique appliquée. C'est notamment la physique et l'ingénierie qui ont inspiré la théorie du contrôle des EDP. D'autant plus que tes équations introduisent un temps de retard $\tau$ dans le contrôle $\eta(t)$ : c'est une manière criante et très moderne de tenir compte encore plus précisément du réel en ce que le contrôle des systèmes dynamiques est généralement affecté par un retard "incompressible" dans les commandes : durée de la mesure et propagation des informations, temps de mise en marche des capteurs, délai de réaction des actionneurs, mais aussi des facteurs plus humains comme le temps de réaction, etc. Prendre en compte ces retards, c'est améliorer le contrôle de l'onde solution : ils peuvent selon les cas déstabiliser ou (comme dans ta thèse) stabiliser le système. Le nombre de dimensions de tes équations a également comme tu sais un haut degré d'intérêt pour les ingénieurs (*).
Le vrai souci donc c'est que ton travail mathématique peut conduire à trop d'applications à la fois, à tout et à rien : son côté "trop abstrait" est trompeur, tu as juste un peu perdu - et le "fondamentalisme" de ton encadrant n'arrange pas les choses... - son attache historique avec le réel qui lui a donné naissance depuis Poincaré, Lur'e, Lyapunov, Russell, etc. Alors je te suggère de considérer le problème "à l'envers", de façon généalogique : quels motivations pratiques sont-elles derrière ton sujet de thèse ? Tu peux relire par exemple les introductions des thèses de tes prédécesseurs en la matière, i.e. les anciens élèves de ton directeur de thèse, ou sa thèse à lui (s'il continue ses propres travaux), son propre directeur de thèse à lui, d'autres chercheurs travaillant sur le sujet, leurs articles, les contacter, échanger avec eux, etc. Il faut remonter à la source et voir ce que ton travail peut apporter d'original par rapport aux problématiques physiques qui l'ont initié et les travaux qui tournent autour.
Sinon, il est plus difficile en général de bâtir une nouvelle théorie mathématique, surtout à un niveau d'abstraction aussi élevé, et d'en chercher des applications : en industrie, on procède plutôt à l'envers - trouver le problème qui a conduit à cette théorie, en partir et améliorer ses solutions. Même si ta thèse n'est pas à proprement parler une thèse CIFRE, elle n'en a pas moins potentiellement un caractère industriel caché qu'il faut essayer de mettre en lumière avec l'aide de la communauté scientifique. J'ai l'impression qu'à ce niveau tu te laisses trop isolé...
Tout comme les systèmes à retard ou héréditaires ont besoin de connaître une partie de leur histoire passée pour pouvoir contrôler leur comportement futur, tu ne perdras pas à faire la même chose avec ta thèse : retracer sa propre histoire afin de pouvoir améliorer son évolution vers des solutions pratiques originales et de qualité (**).
(*) Travailler en 2 ou 3 dimensions spatiales plutôt qu'une. Les ingénieurs raffolent aussi des simulations numériques, même en 1D - je te conseille d'en faire, si ce n'est pas le cas.
(**) C'est d'ailleurs en général ce qui est demandé à un doctorant en début de thèse : faire la "bibliographie" de son sujet d'études, non ?
Je te suis infiniment reconnaissant pour tes conseils et tes suggestions.
Tu as parfaitement raison, en remontant à la source je trouverai certainement l'intérêt pratique de ce que je fais... Comme quoi on ne se suffit jamais: voilà que tu me donnes des idées géniales (à exploiter absolument !) que je n'ai même pas eues avec mon directeur de thèse.
Il n'y pas eu une note d'appel à candidature pour ma thèse, mais seulement pour le Master, étant donné que j'ai continué avec le même encadreur. Je vais sans doute te choquer, mais il ne m'a pas été demandé de faire une bibliographie au début de ma thèse. On m'a juste remis quelques articles et livres à lire, et des problèmes ouverts à traiter. Malheureusement les choses ne sont pas du tout bien organisées ici en Afrique !
J'ai retrouvé la note d'appel à candidature pour le Master et je te le retranscris fidèlement:
STABILISATION INTERNE ET FRONTIÈRE AVEC RETARD DE L’ÉQUATION DES ONDES
Les problèmes de contrôlabilité, d'observabilité et de stabilité des équations aux dérivées partielles (équations des ondes, des plaques vibrantes, de maxwell, ...) ont fait l'objet, récemment, de nombreux travaux.
Le problème de contrôlabilité peut se formuler simplement: considérons un système d'évolution décrit par des équations différentielles ordinaires ou par des équations aux dérivées partielles et un intervalle de temps $[0,T]$. Peut-on amener les solutions d'un état initial à un état final (au temps $t=T$) en agissant par un contrôle approprié appliqué sur le bord ou dans une partie du domaine dans lequel le système évolue ?
Par exemple, la conduite d'une voiture qui est un système dynamique contrôlé: le contrôle est l'angle du volant, les pressions exercées sur le frein et sur l'accélérateur, et l'état est la position du véhicule sur la route.
La stabilisation a pour but d'atténuer les vibrations par rétro-action (feedback); elle consiste à garantir la décroissance de l'énergie des solutions vers $0$ par un mécanisme de dissipation. Plus précisément, le problème de stabilisation consiste à déterminer le comportement asymptotique de l'énergie du système, à étudier sa limite afin de déterminer si cette limite est nulle ou pas.
L'objectif de ce mémoire est de se familiariser aux questions de contrôlabilité exacte et de la stabilisation de l'équation des ondes dans un domaine régulier.
Pour atteindre ces objectifs, les méthodes HUM (Hilbert Uniqueness Method) de J.-L. Lions et la méthode de V. Komornik pour établir respectivement la contrôlabilité exacte et la stabilisation des systèmes gouvernés par des équations aux dérivées partielles, semblent bien adaptées aux ouverts réguliers.
P. Grisvard, M. T. Niane, S. Nicaise et M. Moussaoui les ont adaptées lorsque le domaine sur lequel les EDP sont définies n'est pas régulier.
Bibliographie:
Tout le plaisir est pour moi si j'ai pu t'être utile, merci beaucoup de ton appréciation ainsi que de l'énoncé du Master. On commence déjà à y voir émerger l'intérêt pratique de ton domaine, même si on peut aussi ressentir la frilosité dont tu parlais de ton encadrement vis-à-vis de l'aspect utilitaire des maths (il se restreint à l'exemple classique de la voiture, évoque les plaques vibrantes, etc.). Toutefois si tu regardes attentivement les revues citées en référence (ESAIM, Research in Applied Mathematics, ...), tu y verras que l'intérêt pour le problème du contrôle des systèmes dynamiques se situe pleinement dans la recherche industrielle et les mathématiques appliquées. En faire un exercice de maths purement fondamentales, pourquoi pas mais c'est l'exception plutôt que la règle.
Épluche ces sources et d'autres, contacte et échange avec leurs auteurs s'ils sont vivants. En général, ils sont ravis que de jeunes chercheurs s'intéressent, voire prolongent leur travail (*). Je t'assure que nombre d'heureuses surprises sont à la clé, que les distances qui nous séparent des "maîtres" en la matière sont moins grandes que ce qui n'y paraît. Sans remettre en cause bien sûr la qualité de la recherche en Afrique, j'insiste sur l'importance du travail bibliographique (**) : son absence dans ton cas explique peut-être ce manque cruel que tu ressens, ce sentiment de flotter hors du réel, ce besoin légitime de reconnaissance, qui est avant tout un besoin d'enracinement scientifique dans un sol et une histoire.
Intéresse-toi particulièrement, comme déjà dit, aux notes de bas de page, aux citations et aux références et remonte-les aussi loin que possible. Les autres chercheurs apprécieront mieux l'importance de ton travail s'ils arrivent à le situer sur un arbre généalogique - sinon, aussi génial soit-il, il sera aussi difficile à évaluer que répondre à la question : "Cette montagne est-elle haute ?". Bien sûr, mets ton directeur de thèse "dans le coup" mais sans chercher à absolument tout lui dire : il est surtout là pour te conseiller, sachant que c'est toi qui deviendra littéralement le seul et véritable expert de ton travail (les anglo-saxons ont raison de parler de "conseiller de thèse", PhD advisor, sans insister sur la hiérarchie comme on fait en France - encore l'une des tares bien spécifiques de l'exception française dans le monde de la recherche...).
N'hésite pas à revenir si tu as du nouveau. Je te souhaite - sans te lâcher - bon courage !
[small](*) Il y a aussi le cas où tu peux te "mettre à dos" certains (non moins gentils) spécialistes que tu aurais remis en cause, mais je n'en parle pas ici...: tout est bon à prendre et c'est souvent bon signe de l'originalité de tes propres travaux.
(**) Pour l'anecdote, lors de ma thèse en ingénierie aérospatiale pour le CNES, j'avais trouvé ce travail initial de "biblio" trop barbant, inutile et journaleux au départ, mais ô combien enrichissant par la suite : (re)connaître les travaux de ses prédécesseurs, échanger avec eux, permet de mieux se connaître soi-même, être reconnu, prendre conscience que ta thèse est le fruit d'une longue histoire, et surtout te situer en originalité par rapport aux autres résultats.[/small]
Infiniment merci, mon frère. Je t'assure que tu m'as été d'une très grande utilité. Tes conseils me sont très précieux, et désormais je fonctionnerai avec.
Que Dieu te bénisse !
Tiens-nous au courant !
Cordiales fraternités et bénédictions divines sur toi également.