Dérivation, 2 problèmes
Bonjour, je suis en 1ère scientifique et j'ai 2 problèmes ouverts à faire. Je suis un peu bloquée, donc si vous pouvez m'aider… Je vais d'abord vous rédiger deux exercices puis les 2 réponses que j'ai travaillées.
1) Un train roule sur une voie représentée ci-contre ( il y a un schéma) par un arc de la parabole d'équation y= x*x ( les distances sont en km). Une route est matérialisée par l'axe des abscisses. Une gare est située au point de contact entre la voie et la route, et une maison est située au bord de la route à 1km de la gare. Quand le train est en approche de la gare, ses phares éclairent directement la maison. A quel distance de la maison se trouve-t-il alors?
2) Au sommet d'un terril de 25 m de haut, on a planté un bâton de 1m de haut. On modélise en coupe le terril par un morceau de la parabole P:y=-x*x+25. ( il y a un schéma)
Si Alexis, même du haut de ses 1m80, se place trop près du pied du terril, il ne verra plus le bâton.
On se demande à quelle distance minimale il doit se placer s'il veut apercevoir au moins le haut du bâton.
réponse pour 1) :
"Quand le train est en approche de la gare, ses phares éclairent directement la maison. " : sur le schéma, une droite est crée : elle est tangente à la parabole et passe par le point A(1;0) (la maison) et le point de contact du train B(?;?). On notera cette droite Ta.
On va chercher l'équation de Ta: f'(a)(x-a)+ f(a)
f(x)=x*x et on sait que f'(x)= 2x donc Ta= 2a(x-a) + f(a)
A(1;0) E Ta donc Ta= 2(x-1)+0
2x-2
On va calculer grâce à un système, le point d'intersection appelé B de Ta avec f(x)
Ta:y= 2x-2
f(x):y= x*x
y= 2x-2
-x*x +2x-2=0 ---> V(delta) -4 donc V<0 donc aucune solution donc BLOQUEE
Réponse 2) :
A: le sommet du bâton
B: le somment du corps d'Alexis
S: sommet du terril
- On cherche les coordonnées de A :
On sait que le bâton de 1m est planté au sommet du terril de 25m: A a alors la meme abscisse que S (?;25) mais pas la meme ordonnée 25+1=26
on cherche alors l'abscisse de S :
f(x):y= -x*x+25
25=-x*x+25
x=0
donc S(0;25) et A (0;26)
- On cherche l'équation de Ta:
f(x)= -x*x +25 donc f'(x)= -2x
donc Ta: -2a(x-a)+f(a)
BLOQUEE ( je ne sais pas comment faire pour trouver à partir de là l'abscisse du point B d'ordonnée 1,8 et qui appartient à Ta)
Merci de votre aide.
1) Un train roule sur une voie représentée ci-contre ( il y a un schéma) par un arc de la parabole d'équation y= x*x ( les distances sont en km). Une route est matérialisée par l'axe des abscisses. Une gare est située au point de contact entre la voie et la route, et une maison est située au bord de la route à 1km de la gare. Quand le train est en approche de la gare, ses phares éclairent directement la maison. A quel distance de la maison se trouve-t-il alors?
2) Au sommet d'un terril de 25 m de haut, on a planté un bâton de 1m de haut. On modélise en coupe le terril par un morceau de la parabole P:y=-x*x+25. ( il y a un schéma)
Si Alexis, même du haut de ses 1m80, se place trop près du pied du terril, il ne verra plus le bâton.
On se demande à quelle distance minimale il doit se placer s'il veut apercevoir au moins le haut du bâton.
réponse pour 1) :
"Quand le train est en approche de la gare, ses phares éclairent directement la maison. " : sur le schéma, une droite est crée : elle est tangente à la parabole et passe par le point A(1;0) (la maison) et le point de contact du train B(?;?). On notera cette droite Ta.
On va chercher l'équation de Ta: f'(a)(x-a)+ f(a)
f(x)=x*x et on sait que f'(x)= 2x donc Ta= 2a(x-a) + f(a)
A(1;0) E Ta donc Ta= 2(x-1)+0
2x-2
On va calculer grâce à un système, le point d'intersection appelé B de Ta avec f(x)
Ta:y= 2x-2
f(x):y= x*x
y= 2x-2
-x*x +2x-2=0 ---> V(delta) -4 donc V<0 donc aucune solution donc BLOQUEE
Réponse 2) :
A: le sommet du bâton
B: le somment du corps d'Alexis
S: sommet du terril
- On cherche les coordonnées de A :
On sait que le bâton de 1m est planté au sommet du terril de 25m: A a alors la meme abscisse que S (?;25) mais pas la meme ordonnée 25+1=26
on cherche alors l'abscisse de S :
f(x):y= -x*x+25
25=-x*x+25
x=0
donc S(0;25) et A (0;26)
- On cherche l'équation de Ta:
f(x)= -x*x +25 donc f'(x)= -2x
donc Ta: -2a(x-a)+f(a)
BLOQUEE ( je ne sais pas comment faire pour trouver à partir de là l'abscisse du point B d'ordonnée 1,8 et qui appartient à Ta)
Merci de votre aide.
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Réponses
En espérant t'avoir été utile.
Ces deux exercices sont similaires. Comme tu l'as compris, il s'agit de comprendre que la solution est donnée par une tangente à la parabole. Pour le train, il s'agit de la tangente à la parabole qui coupe l'axe des abscisses en $1$ : en effet, physiquement, la trajectoire du rayon lumineux des pharses est dans l'axe du train, qui est une tangent à sa trajectoire et qui aboutit à la maison.
Mathématiquement : la courbe est une parabole d'équation $y=x^2$, au point $M$ de coordonnées $(x,y)$ sur cette parabole passe une tangente : quelle est l'équation de cette tangente ? Pour ne pas d'embrouiller avec les notations, un point sur cette droite est $(X,Y)$ et l'équation d'une droite dans le plan est $Y=aX+b$, n'est-ce pas ? Le point $M(x,y)$ apparatient à cette droite, donc ... et cette droite est tangente à la parabole donc ... : tu obtiens donc l'équation d'une tagente au point $M$. Parmi ces tangentes, laquelle passe par $(1,0)$ ? Puis tu sais calculer la distance entre deux points...
Tu vois ?
Le second est similaire, mais il faut faire un dessin pour bien modéliser la tengente en question...
Bon travail...
Pour la question B , l'équation de la tangente est de la forme t(x) = -2 x + u
Au sommet du bâton t(x) = 25 + 1 = 26 et x = 0 donc u = ... et t(x) = ...
Reste à trouver l'intersection de t(x) avec d(x) = 1,8
Cordialement
La tangente en $a$ a pour équation $T_a : y = 2a(x-a) + a^2$.
Tu nous dis que cette tangente doit passer par $(1,0)$.
On remplace donc $y=0$, mais pour le $1$, faut-il remplacer $a=1$ ou bien $x=1$ ?
Par exemple voir schéma