Distribution uniforme de points sur la sphère

Par uniforme, entends-tu des points dont les distances mutuelles sont toutes égales ?

Bruno

C'est quoi, les polyèdres réguliers à 3 sommets ou 32 sommets ?

Ce problème est célèbre et s'appelle le problème de Thomson.

Les sommets du dodécaèdre donnent-ils un minimum local d'énergie ? (Il me semble clair en tout cas que c'est un équilibre).

Il suffit de considérer ces points comme des particules de même charge et de les laisser se stabiliser.

Si le dodécaèdre régulier représente un minimum local d'énergie, alors une partie non maigre de l'ensemble des configurations initiales de 20 points se stabilisera sur le dodécaèdre régulier.

Tu es donc sûr que le dodécaèdre ne représente pas un minimum local d'énergie ? Je n'en sais rien ; fais ton expérience.

@L2M : non, non, le cube serait plutôt un état d'équilibre instable : c'est-à-dire un maximum local d'énergie. Il y a en effet deux types d'équilibres qui annulent les dérivées partielles de l'énergie : en physique, l'équilibre stable est un puits local d'énergie, l'équilibre instable un sommet local - on les distinguent à l'aide des dérivées secondes. Le moindre petit déplacement de charge fait passer spontanément la configuration du cube à celle de l'"antiprisme" (la configuration stable d'énergie).

L2M a écrit:

Merci @Ltav, tu m'as sauvé la vie.

Pas de quoi, L2M.

Toutefois, les principes mathématiques "cachés" des simulations numériques du problème de Thomson sont très intéressants à comprendre et peuvent t'inspirer - même si le problème n'a pas de solution exacte générale à ma connaissance.

Ils sont résumés ici : http://thomson.phy.syr.edu/thomsonapplet.php

La méthode qui m'intéresse en particulier est la "Local Monte Carlo" : pour le dire à ma façon, elle considère le système comme un "gaz sphérique" à température $T$ de $N$ particules chargées. Il s'agit alors d'arriver à sa stabilité (énergie minimale ou entropie maximale) en déplaçant les charges sur la sphère suivant une distribution de probabilité à la Boltzmann. Nous sommes alors plus proches d'un "gaz réel" (au sens de l'équation d'état de Van der Walls), où les particules aléatoires sont en interaction électrostatique, que du "gaz parfait". Je réfléchis moi-même à comment modéliser simplement ce "gaz" en utilisant l'entropie au lieu de l'énergie. Tu pourrais explorer cette direction de recherche.

Bonne nuit.

le cube serait plutôt un état d'équilibre instable : c'est-à-dire un maximum local d'énergie

Non, un équilibre instable ne correspond pas forcément à un maximum local. Par exemple à deux variables, les points critiques, même non dégénérés, ne sont pas uniquement les maxima et minima locaux ; il y a aussi des cols.

@L2M : ce n'est pas difficile de trouver les coordonnées des sommets d'un dodécaèdre régulier ! On peut les prendre sur la page wikipedia.

J'ai fait non pas une simulation, mais un calcul de hessien de l'énergie totale quand on perturbe un sommet du dodécaèdre régulier (on a alors l'énergie totale comme fonction de deux variables). Et l'on trouve sans trop de peine qu'on a une matrice hessienne définie positive, donc un minimum local, pour une perturbation nulle. Bon, ça ne suffit pas, il faudrait perturber tous les sommets sauf un pour être sûr. Mais le pari

L2M a écrit:

si on prend un dodécaèdre régulier de 20 charges (en équilibre) et qu'on fait bouger très légèrement une seule charge, je suis sûr que toute la structure convergera vers l'autre polyèdre à 150,88 en énergie.

est perdu.
J'ai aussi essayé avec un cube : même résultat.

En tout cas, ça me rend assez perplexe concernant la page mise en lien par Ltav. Ce n'est pas une page d'institution académique, il n'y a aucune référence à des articles publiés, on se demande qui est Kevin Brown, l'auteur de ces pages, qui a l'air de publier par ailleurs tout un tas de brochures en auto-édition.

Bref, ça demande éclaircissement !

Je mets ici mon code (c'est du Sage)
Les sommets du dodécaèdre régulier (inscrit dans une sphère de rayon $\sqrt3$) :

f=(1+sqrt(5))/2
S0=[vector([(-1)^i,(-1)^j,(-1)^k]) for i in range(2) for j in range(2) for k in range(2)]
S1=[vector([0,(-1)^i/f,(-1)^j*f]) for i in range(2) for j in range(2)]
S2=[vector([(-1)^i/f,(-1)^j*f,0]) for i in range(2) for j in range(2)]
S3=[vector([(-1)^j*f,0,(-1)^i/f]) for i in range(2) for j in range(2)]
S=S0+S1+S2+S3

Perturbation du premier sommet

u,v=var('u,v')
Spert=[vector([1+u,1+v,sqrt(1-2*u-2*v-u^2-v^2)])] + S[1:]

Calcul de l'énergie (on normalise pour ramener à une sphère de rayon 1)

def e(a,b) :
    return sqrt(3)*((a-b).norm())^(-1)

def et(L) :
    return add([e(L[ i],L[j]) for j in range(len(L)-1) for i in range(j+1,len(L))])

Vérification qu'on a bien un point critique

epert=et(Spert)
jacobian(epert,(u,v)).subs(u=0,v=0).simplify_full()

sortie :

[0 0]

Calcul de la matrice hessienne et détermination de la nature du point critique : c'est un minimum local !

H=epert.hessian().subs(u=0,v=0)
H.n(), H.determinant().n()

sortie :

(
[5.96971011345344 2.98485505672672]                  
[2.98485505672672 5.96971011345344], 26.7280791290012
)

@Ltav : j'aime beaucoup ton "j'ai un peu vite passé sous silence". Dans ton rattrapage aux branches, il y a d'ailleurs quelques inexactitudes passages sous silence. Par exemple tu as l'air de penser que le fait que le déterminant hessien soit négatif caractérise les points critiques qui ne sont pas des extrema locaux ; on peut très bien avoir des maxima locaux avec déterminant hessien négatif (en une variable, par exemple) et des points critiques avec déterminant hessien positif qui ne sont pas des extrema locaux. Tu mélanges aussi là-dedans les points d'inflexion en une variable, qui sont dégénérés quand ils sont points critiques (dérivée seconde nulle). Passons.

Je suis bien d'accord que mon étude est réductrice, je l'ai même écrit : "Bon, ça ne suffit pas, il faudrait perturber tous les sommets sauf un pour être sûr." Mon but était de montrer que le pari de L2M n'a aucune chance d'aboutir : en ne perturbant qu'un seul point, on revient sur le cube.

Tu es inutilement pessimiste sur le nombre de variables, pour deux raisons. La première, que je viens de rappeler, est qu'on peut laisser un point fixe sans dommage. La deuxième est plus importante : si tu avais vraiment regardé ce que j'ai fait, tu aurais vu qu'il suffit de deux variables pour perturber un sommet (puisqu'on est sur une sphère de dimension 2).
Pour le cube par exemple, 14 variables (et pas 24). Ce n'est pas la mer à boire, et j'ai fait le calcul avec Sage. On trouve une matrice hessienne avec onze valeurs propres positives, deux négatives, et une probablement nulle (mais je n'en mettrais pas ma main au feu). Ce n'est donc ni un minimum local ni un maximum local, et on n'a pas stabilité de l'équilibre.

PS. Si, finalement, je mettrais ma main au feu pour la valeur propre nulle parce que même si on laisse un point fixe, on a encore le degré de liberté de rotation autour de l'axe passant par ce point et le centre de la sphère, qui laisse bien sûr l'énergie invariante.

Eh bien, ce qu'affirme L2M ou Pierre Audibert est faux (NB : il faut s'entendre sur ce que l'on comprend par "perturber un seul sommet', voir le post-scriptum ci-dessous), et j'en ai la preuve. Comme quoi, il ne faut pas forcément se fier à ce qu'on trouve sur internet sans réelle justification ou référence sérieuse.

Le calcul est très facile. On part d'un cube de sommets $(\pm1,\pm1,\pm1)$. On calcule l'énergie en normalisant pour se ramener à une sphère circonscrite de rayon $1$. L'énergie trouvée est $19.7407740737628$ (à comparer au $19.675287861$ pour l'antiprisme). On perturbe le premier sommet $(1,1,1)$ en $(1+u,1+v,\sqrt{1-2u-2v-u^2-v^2}$ et on calcule la matrice hessienne de l'énergie par rapport à $u,v$ au point $(0,0)$. On trouve
$$\begin{bmatrix}
1.33209150942764& 0.666045754713822\\
0.666045754713822& 1.33209150942764
\end{bmatrix}$$
qui est bien une matrice définie positive.
Je répète qu'il ne s'agit pas ici d'une simulation, mais d'une démonstration (au sens mathématique du terme).

Je répète aussi que si on perturbe sept sommets (avec quatorze variables), la matrice hessienne trouvée a onze valeurs propres positives, une nulle et deux négatives. Je pourrais expérimenter pour voir si on peut sortir de l'équilibre en perturbant seulement deux sommets en telle ou telle position relative, etc., mais chacun peut aussi le faire. Ça n'a rien de compliqué !

PS. À la réflexion, je pense que le problème vient de ce qu'on ne parle pas de la même chose. Ce que je fais, quand je parle de perturber un seul sommet, est que tous les autres sommets sont fixes, scotchés sur la sphère : un seul sommet est libre de bouger. Alors mes calculs montrent que le cube ou le dodécaèdre sont des équilibres stables pour cette situation : si le sommet est bougé un petit peu, il revient en place.
L'histoire de L2M ou de Pierre Audibert est autre : on part d'une condition initiale différente du cube par un seul sommet, mais on laisse tous les sommets bouger. Il est clair alors mathématiquement qu'on ne reviendra jamais à la position du cube, sauf si on est sur une séparatrice stable du champ de gradient.

Gbzm a écrit:

PS. À la réflexion, je pense que le problème vient de ce qu'on ne parle pas de la même chose. Ce que je fais, quand je parle de perturber un seul sommet, est que tous les autres sommets sont fixes, scotchés sur la sphère : un seul sommet est libre de bouger. [...]
L'histoire de L2M ou de Pierre Audibert est autre : on part d'une condition initiale différente du cube par un seul sommet, mais on laisse tous les sommets bouger. Il est clair alors mathématiquement qu'on ne reviendra jamais à la position du cube, sauf si on est sur une séparatrice stable du champ de gradient

Je n'avais pas vérifié mais j'estime tes efforts de calculs honnêtes et respectables, comme ceux des autres personnes citées. Toutefois, on n'insistera jamais assez sur l'importance d'une bonne modélisation du problème physique de départ.

Ici, le problème de Thomson consiste à laisser toutes les particules en déplacement libre sur la sphère. Tu as le droit de perturber un seul point et d'en voir les effets, là n'est pas le souci, mais en fait tu aurais modélisé un problème de départ très différent qui est le déplacement d'une seule charge sur une sphère chargée de manière fixe (par les $N-1$ autres charges), ce qui devait te donner normalement une énergie et une matrice hessienne différentes de celles du problème de Thomson. C'était peut-être dans le bout de code SAGE que tu as posté (mais je ne connais ce code que de nom).

Bonne nuit.

Tu ne m'as peut-être pas compris : les deux matrices hessiennes dont tu parles sont bien sûr égales, car leurs énergies diffèrent d'une constante d'interaction des $N-1$ charges (constante dans ta modélisation) mais aucune ne modélise le problème de Thomson. Dans celui-ci justement l'interaction des $N-1$ particules n'est pas constante en fonction des coordonnées sphériques...

Il faut donc calculer cette énergie complètement, puis seulement après, sa matrice hessienne, ses valeurs propres et la nature de ses points critiques. Il est possible enfin de vérifier l'effet d'un seul déplacement de charge... L'opération entière n'est pas "commutative" si tu veux.

Je vais faire simple. Pour l'énergie potentielle, on est d'accord.

$$E_p = \sum_{1<j\leq n} \frac1{d_{1,j}} + \sum_{1<i<j\leq n} \frac1{d_{i,j}}$$

Maintenant appliquons deux méthodes :

1) On immobilise toutes les particules sauf $1$ puis on dérive la matrice hessienne de $E_p$.

2) On dérive la matrice hessienne de $E_p$ puis on immobilise toutes les particules sauf $1$.

Selon toi, 1) et 2) donneront-ils forcément le même résultat (points critiques, perturbation de $1$, stabilité du polyèdre, extremums, etc.) ?

C'est ce que j'appelle "rendre commutative" les opérations dériver la matrice hessienne de $E_p$ et immobiliser toutes les particules sauf $1$.

Bonsoir,

Désolé, j'étais assez pris.

En effet, tu n'as pas encore saisi mon propos.

Gbzm a écrit:

1°) On fixe les $u_i,v_i$ [...] Ça prouve que si on scotche sur la sphère toutes les particules au sommet d'un dodécaèdre régulier sauf une et que si on perturbe la particule libre, elle reviendra au sommet du dodécaèdre.

Je disais que ce cas 1 ("scotcher" les particules sauf une) n'est pas du tout le problème de Thomson. L'énergie que tu dois calculer dans ce cas doit tenir compte, non seulement des forces d'interaction électrostatique, mais également des forces de réaction qui immobilisent ton système de $N-1$ particules - et qui font partie des forces extérieures intervenant à l'équilibre dans le second principe de la dynamique. Ces forces vont s'équilibrer entre elles, ce qui va occasionner une énergie potentielle du type :

$$E_{p1}(d_{1,2},...,d_{1,n}) = \sum_{1<j\leq n} \frac1{d_{1,j}} + k$$

avec $k$ une constante.

O.K ? L'énergie devient une fonction des variables de distances $d_{1,2},...,d_{1,n}$.

idem a écrit:

2°) On laisse tout varier [...] pour de vrai, j'ai laissé un des sommets fixe pour avoir juste 14 variables, ça ne change rien au fond. Pour cette matrice, j'ai trouvé la signature (11,2) ; c'est ce que j'ai expliqué dans ce message. Ça prouve que la configuration du cube n'est ni un maximum local, ni un minimum local d'énergie.

Cette fois, le problème correspond bien à celui de Thomson. L'énergie potentielle sera du type :

$$E_{p2}(d_{1,2},...,d_{1,n}, d_{2,3},...,d_{2,n},...,d_{i,j},...,d_{n-1,n}) = \sum_{1<j\leq n} \frac1{d_{1,j}} + \sum_{1<i<j\leq n} \frac1{d_{i,j}}$$

Il s'agit d'une fonction différente de la précédente. Les énergies physiques sont donc différentes.

De même, faisons leur soustraction :

$$\Delta E_p = E_{p2} - E_{p1} = \sum_{1<i<j\leq n} \frac1{d_{i,j}} - k$$

Tu vois bien qu'elle n'est pas du tout constante. Après calcul des gradients du 1er ordre, il n'y a donc aucune raison de trouver les mêmes points critiques pour chaque énergie. De même, après calcul des gradients du second ordre, les matrices hessiennes de $E_{p1}$ et $E_{p2}$ n'auront aucune raison non plus d'être identiques, de même que leurs déterminants, leurs valeurs propres et la nature de l'équilibre de leurs points critiques.

Et tout cela explique très bien pourquoi tu obtiens des résultats contradictoires entre ton 1°) et ton 2°) - ainsi qu'avec les publications admises. Seul le second cas est la modélisation du problème de Thomson. Concernant ta méthode initiale, il ne s'agit donc pas juste d'une "autre manière" de faire varier les charges sur la sphère dans le problème de Thomson, comme tu sembles le penser, mais du remplacement de ce dernier par un problème physique et mathématique nettement distinct.

J'espère que j'ai été plus clair.

On est d'accord qu'il ne s'agit pas de variables indépendantes, loin de là : j'ai voulu privilégié cette forme des $E_p$ pour savoir de quoi l'on parle et éviter de taper trop de LateX. Tu me "motives" à le faire...

Donc, on peut repérer la charge $i$ en coordonnées sphériques $(r_i,\theta_i, \phi_i)$ sur la sphère unité (ce qui fixe la coordonnée radiale à $\forall i(r_i=1)$), ou de manière équivalente en coordonnées cartésiennes $(\sin\theta_i \cos\phi_i, \sin\theta_i \sin\phi_i, \cos \theta_i)$.

La distance $d_{i,j}$ entre deux particules $i$ et $j$ est alors : $$

d_{i,j}^2 = (\sin\theta_j \cos\phi_j - \sin\theta_i \cos\phi_i)^2 + (\sin\theta_j \sin\phi_j - \sin\theta_i \sin\phi_i)^2 + (\cos \theta_j - \cos \theta_i)^2

$$ D'où, pour l'énergie du problème de Thomson en coordonnées sphériques indépendantes (je développe un peu) : $$
\begin{align*}
E_p&(\theta_1,\phi_1,\theta_2,\phi_2,\ldots, \theta_n,\phi_n) = \sum_{1 \leq i < j \leq n} \frac1{d_{i,j}} \\
&= \sum_{1 \leq i < j \leq n} \frac1{\sqrt{(\sin\theta_j \cos\phi_j - \sin\theta_i \cos\phi_i)^2 + (\sin\theta_j \sin\phi_j - \sin\theta_i \sin\phi_i)^2 + (\cos \theta_j - \cos \theta_i)^2}} \\
&= \frac1{\sqrt{2}} \sum_{1 \leq i < j \leq n} \frac1{\sqrt{(1 - \sin\theta_j \cos\phi_j\sin\theta_i \cos\phi_i - \sin\theta_j \sin\phi_j \sin\theta_i \sin\phi_i - \cos \theta_j \cos \theta_i)}} \\
&= \frac1{\sqrt{2}} \sum_{1 \leq i < j \leq n} \frac1{\sqrt{(1 - \sin\theta_j \sin\theta_i (\cos\phi_j\cos\phi_i + \sin\phi_j \sin\phi_i) - \cos \theta_j \cos \theta_i)}} \\
&= \frac1{\sqrt{2}} \sum_{1 \leq i < j \leq n} \frac1{\sqrt{(1 - \sin\theta_j \sin\theta_i \cos(\phi_j - \phi_i) - \cos \theta_j \cos \theta_i)}}
\end{align*}
$$ Il reste (ouf...) à calculer le hessien dans le même système de coordonnées sphériques (aux éventuels intéressés).

Gbzm a écrit:

Finalement, tu ne fournis pas l'explication que je te demandais de ta phrase "On dérive la matrice hessienne de $E_p$ puis on immobilise toutes les particules sauf $1$" [...]

Je voulais juste signifier que prendre l'expression générale de l'énergie $E_p$ (telle qu'imposée par le problème de Thomson où les particules sont libres), calculer le hessien et en déduire l'effet du déplacement d'une seule charge, est totalement distinct - physiquement et mathématiquement - du problème où l'on immobilise d'abord toutes les charges sauf une, on calcule le hessien et on regarde enfin l'effet du déplacement de notre charge. Seule la première approche respecte le problème originel (alors que tu avais défendu la seconde dans un premier temps) et ces deux "déplacements de la charge unique" n'ont rien à voir l'un avec l'autre (d'ailleurs, ils mènent à des équilibres contradictoires, stable et instable, comme tu l'as vu).

[...] et tu ne fais que répéter ce que j'ai déjà expliqué.

Non, là c'est incorrect, j'attends mieux de toi - alors que c'est à moi que tu reproches trop facilement de vouloir me "rattraper aux branches"...

Rappel :

Gbzm a écrit:

PS. À la réflexion, je pense que le problème vient de ce qu'on ne parle pas de la même chose. Ce que je fais, quand je parle de perturber un seul sommet, est que tous les autres sommets sont fixes, scotchés sur la sphère : un seul sommet est libre de bouger. Alors mes calculs montrent que le cube ou le dodécaèdre sont des équilibres stables pour cette situation : si le sommet est bougé un petit peu, il revient en place.
L'histoire de L2M ou de Pierre Audibert est autre : on part d'une condition initiale différente du cube par un seul sommet, mais on laisse tous les sommets bouger. Il est clair alors mathématiquement qu'on ne reviendra jamais à la position du cube, sauf si on est sur une séparatrice stable du champ de gradient.

Tu as expliqué que tu ne parlais pas de la même chose et qu'entre vous c'était juste une question de perturber "différemment" les charges dans le même problème de Thomson. Or, je montre que non : sans le faire exprès, tu n'as simplement pas traité le problème de Thomson dans ta première approche, mais un autre ("le problème de Gabuzomson", sourires). Je t'avais invité à prendre en compte toutes les variables du problème :

http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?44,1707790,1709032#msg-1709032

Ltav a écrit:

Par contre, ton étude est réductrice : un minimum local d'énergie pour deux variables de coordonnées n'a aucune raison de le rester pour 3N=60 variables (dodécaèdre) ou 24 variables (cube). Il est unanimement reconnu que ces deux polyèdres aux sommets chargés sont instables.

mais tu m'avais répondu que "mon pessimisme était inutile" :

http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?44,1707790,1709178#msg-1709178

J'ai approuvé ouvertement ton calcul complet :

http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?44,1707790,1709238#msg-1709238

Ltav a écrit:

Avec ton calcul complet cette fois, tu retrouves bien finalement que le cube n'a pas de minimum local en déplaçant toutes les variables - comme l'avaient conclu Brown et alt.

mais sans mettre au clair comme je l'ai fait maintenant la vraie raison (modélisation d'un autre problème que Thomson) derrière la contradiction entre tes deux approches successives. Une dernière fois, il ne s'agit pas d'une manière différente de "déplacer la même charge unique" dans le même problème physique - comme tu le soutiens toujours (?) - mais d'un vrai changement involontaire de cadre physique.

Mon propre tort a été de ne pas faire respecter une règle scientifique que j'applique en général -, toujours s'assurer que l'on parle de la même modélisation avant toute discussion sur celle-ci. Et aussi de ne pas m'assurer que l'on parlait bien la même "langue" (notamment en langage de programmation). Tu comprends que chacun a ses "règles de grammaire" sur lesquelles il est particulièrement tatillon.

Mais comme tu l'as bien dit, et je te rejoins bien volontiers : ce n'est pas grave - la discussion s'en trouve même enrichie.

Bonne nuit.