Limite à la longueur des cheveux
Bonjour à tous,
Il n'y a pas très longtemps, je me suis posé la question suivante :
Chaque jours, nous perdons une certaine quantité de cheveux. Cela n'affecte pas vraiment la longueur apparente de la chevelure puisque cette quantité reste négligeable devant le nombre total de cheveux. Malgré tout, plus la chevelure devient longue et plus la perte de cheveux a un impact fort puisque le temps de repousse nécessaire pour rattraper la longueur globale devient de plus en plus long. D'où la question : ce phénomène implique-t-il une limite maximale théorique à la longueur d'une chevelure ?
Pour modéliser le phénomène, quelques hypothèses raisonnables s'imposent :
Mathématiquement, on a donc le problème suivant :
Appelons un processus aléatoire $x(n)$ une marche aléatoire monopoly de paramètre $p$ si $x(n+1) = \left\{ \begin{array}{cl} 0 & \text{avec probabilité $p$} \\ x(n)+1 & \text{sinon}\end{array} \right.$. On avance donc sur une demi-droite avec, à chaque pas, la possibilité de retourner à la case départ avec probabilité $p$. Cette quantité modélise la longueur d'un cheveu au jour $n$.
Maintenant, prenons $N$ marches aléatoires monopoly $x_1, \ldots, x_N$, deux à deux indépendantes, et intéressons-nous à la moyenne $L(n) = \frac{1}{N} \sum\limits_{i=1}^N x_i(n)$ correspondant à la longueur "apparente" de la chevelure.
La question est maintenant : Quel est le comportement asymptotique de $L(n)$ ? Y a-t-il une limite ? Ou bien une divergence vers l'infini, mais alors à quel vitesse ? Logarithmique ?
Je n'y connais pas grand chose en probabilité, mais, si le problème vous inspire, je serais curieux d'en connaître la solution.
Il n'y a pas très longtemps, je me suis posé la question suivante :
Chaque jours, nous perdons une certaine quantité de cheveux. Cela n'affecte pas vraiment la longueur apparente de la chevelure puisque cette quantité reste négligeable devant le nombre total de cheveux. Malgré tout, plus la chevelure devient longue et plus la perte de cheveux a un impact fort puisque le temps de repousse nécessaire pour rattraper la longueur globale devient de plus en plus long. D'où la question : ce phénomène implique-t-il une limite maximale théorique à la longueur d'une chevelure ?
Pour modéliser le phénomène, quelques hypothèses raisonnables s'imposent :
- Les cheveux ne se parlent pas : qu'un cheveu tombe ou non ne dépend pas de ses voisins.
- Comme on ne souhaite pas tenir compte de mécanisme précise de la chute des cheveux, on va utiliser un modèle aléatoire, c'est-à-dire qu'un cheveu aura une certaine probabilité de tomber chaque jour.
- Le nombre de cheveux tombant chaque jour semblant constant, on supposera que cette propabilité est fixée une fois pour toute. En particulier, à un instant donné, un cheveu long n'aura pas plus de chance de tomber qu'un cheveu court.
Mathématiquement, on a donc le problème suivant :
Appelons un processus aléatoire $x(n)$ une marche aléatoire monopoly de paramètre $p$ si $x(n+1) = \left\{ \begin{array}{cl} 0 & \text{avec probabilité $p$} \\ x(n)+1 & \text{sinon}\end{array} \right.$. On avance donc sur une demi-droite avec, à chaque pas, la possibilité de retourner à la case départ avec probabilité $p$. Cette quantité modélise la longueur d'un cheveu au jour $n$.
Maintenant, prenons $N$ marches aléatoires monopoly $x_1, \ldots, x_N$, deux à deux indépendantes, et intéressons-nous à la moyenne $L(n) = \frac{1}{N} \sum\limits_{i=1}^N x_i(n)$ correspondant à la longueur "apparente" de la chevelure.
La question est maintenant : Quel est le comportement asymptotique de $L(n)$ ? Y a-t-il une limite ? Ou bien une divergence vers l'infini, mais alors à quel vitesse ? Logarithmique ?
Je n'y connais pas grand chose en probabilité, mais, si le problème vous inspire, je serais curieux d'en connaître la solution.
Réponses
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Je suppose que tu es au courant que les cheveux ne tombent pas de façon aléatoire mais suivent des cycles et que par conséquent la longueur maximale d'une chevelure est de la durée d'un cycle multiplié par la vitesse de pousse des cheveux ;-).
Maintenant si on étudie une seule marche aléatoire, on note $e_n$ l'espérance de $x(n)$. On sait que $\mathbb P(x(n+1)=x(n)+1)=1-p$ et $\mathbb P(x(n+1)=0)=p$ indépendamment des valeurs prises par $x(i)$, $i\leq n$. On en déduit $e_{n+1}=(e_{n}+1)(1-p)$. On résout maintenant $(x+1)(1-p)=x $ qui nous donne $\lim e_n = \frac{1-p}{p}$. Ensuite comme les $x_i$ sont indépendants on a aussi $\mathbb E(L(n))=e_n$ et donc $\lim \mathbb E(L(n))=\frac{1-p}{p}$.
Par contre $L(n)$ est presque sûrement non bornée. En effet chaque $(x_i(n))_n$ est presque sûrement non bornée. Malheureusement je pense que l'étude de $\max_{1\leq i \leq n}L(i)$ ou de $\mathbb E(\max_{1\leq i \leq n}L(i))$ dépasse mes maigres connaissances de proba. -
mojojojo a écrit:Je suppose que tu es au courant que les cheveux ne tombent pas de façon aléatoire mais suivent des cycles et que par conséquent la longueur maximale d'une chevelure est de la durée d'un cycle multiplié par la vitesse de pousse des cheveux ;-).
Si c'était aussi simple, nous ne pourrions perdre que des cheveux d'une même longueur, la longueur maximale donc. Ce n'est clairement pas le cas. Après, bien sûr, tout dépend de ce que l'on entend pas "tomber".mojojojo a écrit:Maintenant si on étudie une seule marche aléatoire, on note $e_n$ l'espérance de $x(n)$. On sait que $\mathbb P(x(n+1)=x(n)+1)=1-p$ et $\mathbb P(x(n+1)=0)=p$ indépendamment des valeurs prises par $x(i)$, $i\leq n$. On en déduit $e_{n+1}=(e_{n}+1)(1-p)$. On résout maintenant $(x+1)(1-p)=x $ qui nous donne $\lim e_n = \frac{1-p}{p}$. Ensuite comme les $x_i$ sont indépendants on a aussi $\mathbb E(L(n))=e_n$ et donc $\lim \mathbb E(L(n))=\frac{1-p}{p}$.
Merci pour ce raisonnement sympathique. -
Tu oublies que les gens vont chez le coiffeur. Sans le coiffeur on ne perdrait que des cheveux de longueur maximale (si l'on néglige les cheveux perdus par arrachage et autres acabits).
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Je n'oublie pas que les gens vont chez le coiffeur, mais je n'en tiens évidemment pas compte puisque c'est sans intérêt dans la discussion. L'idée de supposer un processus aléatoire est justement de pouvoir tenir compte de toute une variété de phénomènes complexes sans avoir à en décrire les mécanismes, incluant par exemple le cassage. Le modèle est sans doute naïf, et peut-être pas pertinent*, mais considérer une tête sur laquelle pousse des cheveux, et ce sans aucune interaction avec le monde extérieur, ne me semble pas très intéressant.
*D'ailleurs, en faisant une application numérique à partir de chiffres trouvés sur Internet, j'ai trouvé une longueur maximale qui tourne autour du mètre, ce qui n'est pas très réaliste. -
Guinness book http://tinyurl.com/ycjdoxof
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Alors, ton modèle ne me plaît pas, pour la raison suivante : je pense (mais je ne suis pas sûr de savoir donner à ça un sens précis, ni de pouvoir le démontrer) que dans un modèle comme ça, les cheveux ont souvent des longueurs très différentes, puisque les longs qui tombent repousseraient petits et mettraient du temps à rattraper les autres. Les personnes qui attachent leurs cheveux le remarqueraient : ces cheveux courts sortiraient, en grand nombre, du chignon.
Je n'en sais pas plus que ma propre expérience capillaire, mais je dirais que les cheveux cassent plus qu'ils ne tombent.
J'ai essayé de calculer par exemple $\mathbb{E}[\frac{1}{N}\sum_{i = 1...N} (x_i(n) - L(n))^2]$ qui serait la "variance" de l'ensemble des longueurs des cheveux au temps $n$ (et donc si ce nombre est grand, ça va dans la direction de ce que je dis au-dessus), mais je ne sais pas trop quoi faire du résultat et vue l'heure, je ne garantis pas que ce soit juste.
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