Série de puissances

Fly7
Fly7
dans Shtam
Bonjour.
Je préviens, je ne suis pas un mathématicien.
Sachant qu'il existe le symbole $\sum$ qui permet de sommer a l'infini et de connaître le domaine de convergence selon si c'est une suite géométrique ou autre.
Le symbole $\prod$ pour les produits.
S'il n’existe pas pour les puissances appelons $P$ le symbole d'une série de puissances infinie.
Un exemple : $$P^{\infty}_{k=1}\frac{1}{2}={{{{\frac{1}{2}^{\frac{1}{2}}}^{\frac{1}{2}}}^.}^.}^.=0,641185...
$$ On peut voir que ça converge.
J'imagine que pour une valeur supérieur à 1 ça diverge.
En dessous de 0 c'est bizarre par exemple pour $P^{\infty}_{k=1}-\frac{1}{2}$ la puissance ne tend pas vers une valeur particulière la valeur tourne en boucle.
Pouvez-vous me trouver une page Wikipedia ou un truc qui parle de ça.
Cordialement.

Autre exemple: $$P^{\infty}_{k=2}\frac{1}{k}=0,6582...$$

Réponses

  • Dom
    Dom
    J’essaye de trouver un fil qui parlait de $x^{x^{…^x}}$.

    Ici 2016. Ça pointe sur des discussions de 2007.
    Mais en 2020 il me semble qu’on avait un fil pertinent.

    http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1295309

    Remarque : il ne s’agit pas de « série » puisqu’on ne somme pas.
  • Quentino37
    Quentino37
    J'ai une petite question, dans les tours de puissances infinie, c'est dans quel sens que l'on calcule ?
    Je suis donc je pense 
  • Dom
    Dom
    C’est de droite à gauche.
    $a^{b^c}$ signifie $a^{(b^c)}$.

    On peut argumenter que si l’on voulait étudier $(a^b)^c$ il suffirait de regarder $a^{bc}$ (formule bien connue du collège).

    Édit : je n’ai pas retrouvé ce fil où Poirot, que je salue au passage, avait proposé une petite étude de convergence.
    C’était « pour quelles valeurs de $x$, $x^{{.^{.^{.}}}^x}$ converge ? »
  • Riemann_lapins_cretins
    Riemann_lapins_cretins
    Il me semble que la question est résolue dans le premier article vers lequel pointe ton lien, que je n'arrive pas à ouvrir mais avais survolé la semaine dernière.
  • Boécien
    Boécien
    Pour le cas 1/2 c'est l'unique solution de log(x)/x+log(2)=0 sur ]0,1[ soit x=0.641185744504985984486200482114823. Il faut considérer la suite u(1)=1/2 et u(n+1)=(1/2)^u(n), montrer que 1/2<=u(n)<=1/sqrt(2), que u(2n-1) est croissante, u(2n) décroissante puis que u(2n) et u(2n+1) convergent vers la même limite.
    Ps: que fais cette question dans shtam? Ce n'est pas tout à fait délirant...
  • Dom
    Dom
    Oui, c’est vrai.
    Une généralisation du problème de départ est même la composée d’une fonction avec elle-même $f\circ\cdots\circ f$, en dehors des questions de convergence.
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