Complétion d'un groupe abélien libre
dans Shtam
Bonjour à tous
Soit $ G $ un groupe abélien libre de rang fini ou infini.
Comment trouver la complétion de $ G $, en considérant $ G $ un groupe topologique muni d'une topologie à définir ?
Merci d'avance.
Soit $ G $ un groupe abélien libre de rang fini ou infini.
Comment trouver la complétion de $ G $, en considérant $ G $ un groupe topologique muni d'une topologie à définir ?
Merci d'avance.
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Réponses
Je cherche à trouver $ \widehat{G} $ la complétion de $ G $ en tant que groupe topologique discret, où $ G $ est un groupe abélien libre de rang quelconque, puisque la théorie des groupes s'identifie à la théorie des groupes topologiques discrets.
Donc, je réponds en partie à la question à votre place :
Quel est $ \widehat{G} $ en tant que groupe topologique pour la topologie discrète lorsque $ G $ est un groupe abélien libre de rang quelconque ?
Merci d'avance.
Tes médocs...
Soit $ G = \displaystyle \bigoplus_{n \geq 1 } \mathbb{Z} $ un groupe abélien libre ( prototype de tout groupe abélien libre que ce soit ).
Cherchons, $ \widehat{G} $.
$ \widehat{G} $ ne dépend d'aucune filtration $ (F^n G )_{ n \geq 1 } $ de $ G $.
Soit $ (F^n G )_{ n \geq 0 } $ une filtration de $ G $ définie par, $ F^n G = \displaystyle \bigoplus_{m \geq n } \mathbb{Z} $ pour tout $ n \geq 1 $.
On a $ [G , F^n G ] < + \infty $ pour tout $ n \geq 1 $.
Donc, $ \widehat{G} $ exists et est égale à $ \widehat{G} = \displaystyle \lim_{ \longleftarrow } G/F^n G = \lim_{ \longleftarrow } \big( \displaystyle \bigoplus_{m \geq 1 } \mathbb{Z} \big) / \big( \displaystyle \bigoplus_{m \geq n } \mathbb{Z} \big) = \displaystyle \lim_{ \longleftarrow } \displaystyle \bigoplus_{m = 1 , \dots , n } \mathbb{Z} $
Or, je ne sais pas si $ \displaystyle \lim_{ \longleftarrow } \displaystyle \bigoplus_{m = 1 , \dots , n } \mathbb{Z} $ est égale à $ \displaystyle \bigoplus_{ n \geq 1 } \mathbb{Z} $, ou bien à $ \displaystyle \prod_{ n \geq 1 } \mathbb{Z} $.
Quelle est la réponse à votre avis ?
Merci d'avance.
Cette notion de complétion me fait penser à la notion du dual topologique d'un espace vectoriel algébrique, et aussi au théorème de Tykhonoff sur la notion de compacité du produit d'espaces topologiques. :-)