Complétion d'un groupe abélien libre

Tu t'adresses à @RLC ou bien à moi Math Coss ?

Explique moi pourquoi tu dis que la première question du fil est insensée ?

Regardez si c'est correct ce que je vais dire,
Soit $ G = \displaystyle \bigoplus_{n \geq 1 } \mathbb{Z} $ un groupe abélien libre ( prototype de tout groupe abélien libre que ce soit ).
Cherchons, $ \widehat{G} $.
$ \widehat{G} $ ne dépend d'aucune filtration $ (F^n G )_{ n \geq 1 } $ de $ G $.
Soit $ (F^n G )_{ n \geq 0 } $ une filtration de $ G $ définie par, $ F^n G = \displaystyle \bigoplus_{m \geq n } \mathbb{Z} $ pour tout $ n \geq 1 $.
On a $ [G , F^n G ] < + \infty $ pour tout $ n \geq 1 $.
Donc, $ \widehat{G} $ exists et est égale à $ \widehat{G} = \displaystyle \lim_{ \longleftarrow } G/F^n G = \lim_{ \longleftarrow } \big( \displaystyle \bigoplus_{m \geq 1 } \mathbb{Z} \big) / \big( \displaystyle \bigoplus_{m \geq n } \mathbb{Z} \big) = \displaystyle \lim_{ \longleftarrow } \displaystyle \bigoplus_{m = 1 , \dots , n } \mathbb{Z} $
Or, je ne sais pas si $ \displaystyle \lim_{ \longleftarrow } \displaystyle \bigoplus_{m = 1 , \dots , n } \mathbb{Z} $ est égale à $ \displaystyle \bigoplus_{ n \geq 1 } \mathbb{Z} $, ou bien à $ \displaystyle \prod_{ n \geq 1 } \mathbb{Z} $.
Quelle est la réponse à votre avis ?
Merci d'avance.

Si $ I $ est un ensemble d'indice ( filtré par la relation d'ordre $ \subset $ pour pouvoir utiliser sciemment les filtrations de l'objet à compléter ), alors, on a, $$ \widehat{ \mathbb{Z}^{(I)} } = \mathbb{Z}^I $$ Comme c'est joli d'apprendre que le complété topologique de l'espace algébrique, $ \displaystyle \bigoplus_{m \geq 1 } \mathbb{Z} $ est l'espace topologique, $ \displaystyle \prod_{ n \geq 1 } \mathbb{Z} $. :-)