Découverte d'un théorème en topologie
dans Shtam
Bonjour à tous
Je viens de découvrir à l’instant, un théorème très sublime juste en méditant un petit peu ce que j'ai dit ici : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?14,2286134,2286486#msg-2286486
Le théorème affirme que le diagramme suivant commute :
$$ \xymatrix{
I \ar@{^{(}->}[d]_{i^{*}} \ar[r] & \mathbb{Q} \ar@{^{(}->}[d]^i \\
F = i^{*} \mathbb{R} = \overline{I} \ar[r] & \mathbb{R}
}
$$ C'est-à-dire, que pour toute partie $ I $ dénombrable de $ \mathbb{R} $ pour tout morphisme $ f \ : \ I \to \mathbb{Q} $, il existe, un unique fermé $ F $ de $ \mathbb{R} $ tel que $ F = \overline{I} $, de sorte que le diagramme ci-dessus commute.
Autrement dit, que le morphisme $ t $ suivant est bijectif :
$$ t : G(I) \to \mathrm{Hom} ( I , \mathbb{Q} ), $$ où $ G $ est le foncteur défini par : $$ G(I) = \{ \ I \to F \mid F \ \text{est un fermé de} \ \mathbb{R} \ \} = \{ F_i \}_{ i \in I }
$$ Cela signifie que, $ \mathbb{Q} $ représente le foncteur $ G $.
$ \mathbb{Q} $ représente le foncteur $ G $ signifie en langage quotidien, que, $ \mathbb{R} $ admet un système fondamental de fermés $ \{ F_i \}_{ i \in \mathbb{Q} } $ dénombrable, indexé par la représentant $ \mathbb{Q} $.
Vous pensez quoi de ce que je dis ? :-)
Cordialement.
Je viens de découvrir à l’instant, un théorème très sublime juste en méditant un petit peu ce que j'ai dit ici : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?14,2286134,2286486#msg-2286486
Le théorème affirme que le diagramme suivant commute :
$$ \xymatrix{
I \ar@{^{(}->}[d]_{i^{*}} \ar[r] & \mathbb{Q} \ar@{^{(}->}[d]^i \\
F = i^{*} \mathbb{R} = \overline{I} \ar[r] & \mathbb{R}
}
$$ C'est-à-dire, que pour toute partie $ I $ dénombrable de $ \mathbb{R} $ pour tout morphisme $ f \ : \ I \to \mathbb{Q} $, il existe, un unique fermé $ F $ de $ \mathbb{R} $ tel que $ F = \overline{I} $, de sorte que le diagramme ci-dessus commute.
Autrement dit, que le morphisme $ t $ suivant est bijectif :
$$ t : G(I) \to \mathrm{Hom} ( I , \mathbb{Q} ), $$ où $ G $ est le foncteur défini par : $$ G(I) = \{ \ I \to F \mid F \ \text{est un fermé de} \ \mathbb{R} \ \} = \{ F_i \}_{ i \in I }
$$ Cela signifie que, $ \mathbb{Q} $ représente le foncteur $ G $.
$ \mathbb{Q} $ représente le foncteur $ G $ signifie en langage quotidien, que, $ \mathbb{R} $ admet un système fondamental de fermés $ \{ F_i \}_{ i \in \mathbb{Q} } $ dénombrable, indexé par la représentant $ \mathbb{Q} $.
Vous pensez quoi de ce que je dis ? :-)
Cordialement.
Réponses
-
J'en pense que c'est n'importe quoi, pour des raisons évidentes, comme d'habitude.
-
C'est n'importe quoi, parce que, tu ne t'es pas donné la peine de le comprendre, et de le savourer.
-
Ben non, j'ai lu, j'ai tout de suite vu que c'était complètement faux, parce que je comprends les symboles que tu écris, contrairement à toi.
-
J'ai corrigé quelques coquilles juste à l'instant en remplaçant là où apparait le mot : ouvert, par fermé.
-
C'est quoi un morphisme $I \to \mathbb Q$, qui est $g$ ? Quelle est la flèche $\overline I \to \mathbb R$ ?
-
Poirot,
- Un morphisme $ I \to \mathbb{Q} $ est une application ensembliste entre deux ensembles dénombrables $ \mathbb{Q} $ et $ I $.
- $ g $ est l'inclusion $ i \ : \ \mathbb{Q} \hookrightarrow \mathbb{R} $.
- La flèche $ \overline{I} \to \mathbb{R} $ est l'application ensembliste $ T(f) \ : \ \overline{I} \to \overline{\mathbb{Q}} = \mathbb{R} $, induite par la flèche, $ f \ : \ I \to \mathbb{Q} $, où $ T $ est le foncteur défini par : $ T(I) = \overline{I} $. -
"$g$ est l'inclusion $i$", j'aime bien.
En attendant, j'aimerais voir une preuve de ce magnifique théorème. Je sais que je ne vais pas en obtenir, puisque Pablo ne démontre jamais ce qu'il raconte, mais ça serait amusant. -
Tu n'as toujours pas défini ta flèche $\overline{I} \to \mathbb R$.
-
Aaaah Pablo_des_bois_de_retour
ça faisait longtemps qu'on avait pas eu droit à quelques flèches...
PS. J'hésite entre Pablo_des_bois_de_retour et Pablo_de_retour..._des_bois. -
Poirot,
$ \overline{I} \to \mathbb{R} = \overline{\mathbb{Q}} $ est la flèche qui envoie un point adhérent à $ I $ à un point adhérent à $ \mathbb{Q} $. -
Ça ne veut rien dire, et tu t'en rends compte, mais tu ne voudras pas le reconnaître. Définis clairement ta flèche, ou ce que tu racontes est du grand n'importe quoi.
-
D'accord Poirot, voici comment je définis $ T(f) \ : \ \overline{I} \to \mathbb{R} = \overline{\mathbb{Q}} $.
$ \forall \overline{x} \in \overline{I} \ $, pour un certain $ x \in I $, il existe une unique image $ \overline{f(x)} \in \mathbb{R} = \overline{\mathbb{Q}} $ qui vérifie:
Pour tout $ \epsilon > 0 $, il existe $ \eta > 0 $, $$ |x-\overline{x} | < \eta \ \ \Longrightarrow \ \ | f(x) - \overline{f(x)} | < \epsilon .
$$ Dans ce cas là, on pose : $ \ T(f) ( \overline{x} ) = \overline{f(x)} $. -
Ta quantification n'a aucun sens.
-
Poirot
Pour tout $ y \in \overline{I} $, il existe une unique image $ T(f) ( y ) \in \mathbb{R} = \overline{\mathbb{Q}} $ qui vérifie
pour tout $ x \in I $, tel que $ y = i^* (x) $, pour tout $ \epsilon > 0 $, il existe $ \eta > 0 $, $$ | y-x | < \eta \ \ \Longrightarrow \ \ | T(f) ( y ) - f(x) | < \epsilon .$$ -
Rappelle-moi comment est défini $i^*$ ?
-
$ i^* \ : \ I \to F = \overline{I} = i^* \mathbb{R} $. ( Jette un œil au diagramme commutatif plus haut pour voir plus clairement )
-
Ça n'a rien à voir avec une définition, tu t'en rends bien compte ?
-
Pourquoi tu dis ça ?
-
Parce que ce n'est pas une définition, ça ne dit pas ce qu'est $i^*(x)$ pour un $x \in I$ donné.
-
Relis ce que j'ai écrit. Relis ce qu'est $ y $. ( et à fortiori : $ y = i^* (x) $ )
$ x \in I $ est tout élément qui approxime le point adhérent ( immobile ) de $ I $ qui est $ y = i^* (x) $. Celui qui bouge est $ x $, et non $ y $. -
Si je prends $y \in \overline{I}$ il y a un unique $x \in I$ qui "approxime" $y$ ? Ça n'a toujours strictement aucun sens.
-
Non, il y a plusieurs $ x $ qui approximent $ y $. Où est le problème ? Si $ i^* $ est surjectif, pourquoi pas avoir plusieurs $ x $ tels que $ y= i^* (x) $ ?
-
Donc $i^*$ associe à $x \in I$ le point que $x$ approxime ? Et $i^*$ est surjectif ?
-
Oui, on peut dire ça comme ça. $ i^* $ associe à $ x \in I $ le point adhérent $ y \in \overline{I} $ que $ x $ approxime.
$ i^* $ n'est pas forcément surjective. C'est juste pour t'expliquer que $ x $ bouge, et $ y $ est figé, et $ y = i^* (x) $. -
$1/2 \in ]0, 1[$ approxime quel point de $[0, 1] = \overline{]0, 1[}$ ?
-
Non, tu devais me dire, le point $ \dfrac{1}{2} \in [0,1] = \overline{]0,1[} $ approxime quels points de $ ]0,1[ $, parce que, toi tu cherches à définir $ \overline{I} \to \mathbb{R} = \overline{\mathbb{Q}} $, et non $ i^* \ : \ I \to \overline{I} $. Non ? Quelle flèche cherches tu à définir ?
-
Oui si tu veux. Alors $1/2$ approxime quel réel ?
-
$ \dfrac{1}{2} $ approxime ce que tu veux. Cela dépend de $ i^* $. $ i^* $ n'est pas unique. Il existe $ (x_n)_{n \geq 0 } $ telle que $ \dfrac{1}{2} = \displaystyle \lim_{ n \to + \infty } x_n $. Dans ce cas là, tout élément de la suite $ (x_n)_{ n \geq 0 } $ approxime $ \dfrac{1}{2} $. ( i.e : $ i^* (x_n) = \dfrac{1}{2} $ pour tout $ n \geq 0 $.).
-
Ok. Dans ce cas il n'y a aucune raison pour que l'image de $i^*$ soit $\overline I$.
-
Et pourquoi appeler ça $i^*$ ? Ça n'a rien à voir avec $i=g$ (qui rappelons-le est juste l'inclusion de $\mathbb Q$ dans $\mathbb R$...).
-
Non. $ i^* \ : \ I \to \overline{I} $.
$ i^* $ est défini par : $ i^* (x) \in \overline{I} $, pour tout $ x \in I $.
Soit donc, $ x \in I $,
Il existe un unique, $ y \in \overline{I} $, il existe une suite, $ (x_n )_{ n \geq 0 } \subset I $, telle que, $ y = \displaystyle \lim_{ n \to + \infty } x_n $, il existe $ n_{0} \in \mathbb{N} $ fixée, tels que, $ x = x_{n_{ 0 } } $ et $ i^* (x) = y $. -
Bon j'ai assez joué, bonne nuit.
-
Attend Poirot. Regarde maintenant ! J'ai corrigé le poste précédent.
-
On en revient donc à ce message, $y$ n'a aucune raison d'être de la forme $i^*(x)$, et même quand c'est le cas, ton $T(f)(y)$ n'a strictement aucune raison d'exister.
-
Poirot a écrit:$y$ n'a aucune raison d'être de la forme $i^*(x)$.
Relis bien ce que j'ai écrit :
$ i^* $ est défini par : $ i^* (x) \in \overline{I} $, pour tout $ x \in I $.
Soit donc, $ x \in I $,
Il existe un unique, $ y \in \overline{I} $, il existe une suite, $ (x_n )_{ n \geq 0 } \subset I $, telle que, $ y = \displaystyle \lim_{ n \to + \infty } x_n $, il existe $ n_{0} \in \mathbb{N} $ fixée, tels que, $ x = x_{n_{ 0 } } $.
On pose alors : $$ i^* (x) = y $$Poirot a écrit:.. et même quand c'est le cas, ton $T(f)(y)$ n'a strictement aucune raison d'exister.
$ Tf(y) $ est l'image de $ f(x) $ par $ i $ qui est donc, unique, car, c'est comme pour $ y $ qui est l'image de $ x $ par $ i^* $, qui est à priori unique aussi. Regarde le diagramme plus haut. -
J'en ai marre de me répéter, débrouille-toi tout seul avec tes délires.
-
Tu n'as rien à me répéter. Je n'ai pas de problème moi là-dessus, c'est toi qui doit descendre un peu de ton ciel et rester humble et attentif pour comprendre
-
Pablo, visiblement tu ne comprends pas que tu fais des arguments circulaires et que tu n'as toujours rien défini.
-
Bonjour,
Poirot,
- Voici comment je définis $ T(f) \ : \ \overline{I} \to \mathbb{R} = \overline{\mathbb{Q}} $.
Soit $ x \in \overline{I} $,
Alors, $ \exists (x_n)_{ n \geq 0 } \subset I $, telle que, $ x = \displaystyle \lim_{ n \to + \infty } x_n $.
Alors, je pose, $ T(f) (x) = \displaystyle \lim_{ n \to + \infty } f(x_n) $.
D'où, $ T(f) (x) $ est unique.
- Voici comment je définis $ i^* \ : \ I \to \overline{I} $.
Soit $ x \in I $,
On pose, $ i^* (x) = x $.
D'où, $ i^* (x) $ est unique.
Voilà. -
Que pensez vous de mon théorème ?. N'est-il pas très joli ? :-)
-
Ça ressemble plus à quelque chose déjà. Par contre tu n'as pas prouvé l'existence de $T(f)(x)$.
-
Poirot a écrit:Par contre tu n'as pas prouvé l'existence de $T(f)(x)$.
Poirot,
- Voici comment je définis $ T(f) \ : \ \overline{I} \to \mathbb{R} = \overline{\mathbb{Q}} $.
Soit $ x \in \overline{I} $,
Soient $ (x_n)_{n \geq 0 } , ( y_n)_{n \geq 0} \subset \overline{I} $, deux suites distinctes telles que, $ x = \displaystyle \lim_{ n \to + \infty } x_n = \displaystyle \lim_{ n \to + \infty } y_n $.
Alors, $ f( \displaystyle \lim_{ n \to + \infty } x_n ) = f( \displaystyle \lim_{ n \to + \infty } y_n ) $.
C'est à dire, $ \displaystyle \lim_{ n \to + \infty } f( x_n ) = \displaystyle \lim_{ n \to + \infty } f( y_n ) $
On pose, alors, $ T(f) (x) = \displaystyle \lim_{ n \to + \infty } f( x_n ) $.
D'où, $ T(f) (x) $ est unique.
Ainsi, on a prouvé l'existence de $ T(f) (x) $.
Est ce que c'est ça Poirot ?. -
Non, comment sais-tu que $\displaystyle \lim_{ n \to + \infty } f( x_n )$ et $\displaystyle \lim_{ n \to + \infty } f( y_n )$ existent ? Comment sais-tu que, si ces limites existent, ce sont les mêmes ?
PS : ce sont des questions rhétoriques. -
C’est tout de même plus fidèle à ton habitude.
J’étais inquiet. -
Poirot a écrit:Non, comment sais-tu que $\displaystyle \lim_{ n \to + \infty } f( x_n )$ et $\displaystyle \lim_{ n \to + \infty } f( y_n )$ existent ?
On applique le théorème qui dit, que, si $ (x_n)_{ n \geq 0 } \subset F $, et si $ F $ est un fermé, alors, $ \displaystyle \lim_{ n \to + \infty } x_n \in F $.
D'où, $ \displaystyle \lim_{ n \to + \infty } x_n $ existe.Poirot a écrit:
Comment sais-tu que, si ces limites existent, ce sont les mêmes ?
Il suffit de supposer que, $ f $ est continue. -
Prenons $(x_n)_n=(\lvert \sin (n) \lvert)_n$ et $F=[0;1]$.
Appliquons ce théorème. -
Non, tu n'as rien compris à la caractérisation séquentielle des fermés.
-
Pablo a écrit:Il suffit de supposer que, $ f $ est continue.
Inutile de préciser que $ f $ est continue, parce que, toute fonction $ f \ : \ I \to \mathbb{Q} $, où, $ I $ est dénombrable, est automatiquement continue, pour la topologie induite de $ \mathbb{R} $ sur $ I $ et $ \mathbb{Q} $. Non ? -
RLC a écrit:Non, tu n'as rien compris à la caractérisation séquentielle des fermés.
Peux tu étayer tes propos ?
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.1K Toutes les catégories
- 7 Collège/Lycée
- 21.9K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 53 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 62 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 312 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 772 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres
In this Discussion
Qui est en ligne 37
+25 Invités