Espaces vectoriels
dans Shtam
Bonjour à tous,
Est ce que c'est vrai que tout $ K $ - espace vectoriel $ E $ ( de dimension quelconque ) est de la forme $ K^{(X)} $ pour un certain ensemble $ X $ ?
Ici $ K $ est soit le corps $ \mathbb{Q} $, soit le corps $ \mathbb{R} $, soit le corps $ \mathbb{C} $.
Si oui, pourquoi un $ K $ - espace vectoriel n'est pas de la forme $ K^X $ au lieu de $ K^{(X)} $ pour un certain ensemble $ X $ ?
Merci d'avance.
Est ce que c'est vrai que tout $ K $ - espace vectoriel $ E $ ( de dimension quelconque ) est de la forme $ K^{(X)} $ pour un certain ensemble $ X $ ?
Ici $ K $ est soit le corps $ \mathbb{Q} $, soit le corps $ \mathbb{R} $, soit le corps $ \mathbb{C} $.
Si oui, pourquoi un $ K $ - espace vectoriel n'est pas de la forme $ K^X $ au lieu de $ K^{(X)} $ pour un certain ensemble $ X $ ?
Merci d'avance.
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Réponses
Que veux tu dire par $(X)$ ?
Cordialement,
Rescassol
@Pablo: pour tout ensemble infini, $X$, $\Q^{(X)}$ est du même cardinal que $X$, et pour tout ensemble $Y$, $\Q^Y$ est dénombrable si et seulement si $Y$ est fini.
Donc $\Q^{(\N)}$ n'est en bijection avec aucun ensemble de la forme $\Q^E$ avec $E$ un ensemble.
A part ça, si $(b_i)_{i\in I}$ est une base d'un $K$-espace vectoriel $E$, alors $E$ est isomorphe à $K^{(I)}$. Sous l'axiome du choix, tous les espaces vectoriels possèdent une base et donc on est toujours dans cette sittuation.
N’avons-nous pas été servi ?
Soit $ X $ un ensemble infini quelconque.
Comment montrer, s'il vous plaît, que, $ \mathbb{Q}^{(X)} \otimes \mathbb{R} = \mathbb{R}^{(X)} $ ?
Merci infiniment.
Ce fil date de quelques semaines déjà. Je vais le reprendre une nouvelle fois pour vous poser la question suivante,
Soit $ A $ un anneau principal.
Est ce que tout $ A $ - module $ M $ se met toujours de la forme générale suivante :
$ \exists I , J $ deux ensembles, $ \exists (m_i)_{ i \in I } \in M^{(I \ )} $, tels que, $$ M = \big( \bigoplus_{ i \in I } A / \mathrm{Ann} (m_i) \big) \bigoplus A^{(J)} \qquad ? $$
$ \mathrm{Ann} (m_i) $ est l'annulateur de l'élément $ m_i $.
Merci d'avance.
Pourrais tu nous montrer cette décomposition sur deux ou trois exemples de modules ?
Cordialement,
Rescassol
Quelle est cette évidence Poirot dont tu fais allusion ?
Je ne peux pas deviner ce que tu as dans ton esprit.
Cette ''évidence'' a -t-elle un lien avec ça :
$$ \big( \bigoplus_{ i \in I } A / \mathrm{Ann} (m_i) \big) \bigoplus A^{(J)} = \big( A / \displaystyle \bigcap_{ i \in I } \mathrm{Ann} (m_i) \big) \bigoplus A^{(J)} = \big( A / \mathrm{Ann} (T) \big) \bigoplus A^{(J)} $$ où $ T = (m_i )_{ i \in I } $ ?.
En fait ce que je voulais dire, est que $ M $ se met sous la forme : $ M = M_\mathrm{tor} \oplus M / M_{ \mathrm{tor} } $. On peut donc poser, $ M / M_{ \mathrm{tor} } = A^{(J)} $, et $ M_{ \mathrm{tors} } = A / \mathrm{Ann} (T) $.
$ M_{ \mathrm{tor} } $ est le sous $ A $ - module de torsion de $ M $, donc, s’identifie à : $ A / \mathrm{Ann} (T) $.
$ M / M_{ \mathrm{tor} } $ est le sous $ A $ - module sans torsion de $ M $, donc, s’identifie à : $ A^{(J)} $.
Est ce que ce n'est pas ça ?
Merci d'avance.
Edit,
Dans, $ M_{ \mathrm{tors} } = A / \mathrm{Ann} (T) $, $ M_{ \mathrm{tors} } $ est un sous-$ A $ - module, mais, $ A / \mathrm{Ann} (T) $ est un simple anneau ( Edit, : Un $ A $ - module aussi ). Ces deux objets sont donc incompatibles. Comment remédier à ce problème ?
Alors, ces exemples ? Une théorie n'a aucun intérêt si on n'est pas capable d'exhiber des exemples.
Cordialement,
Rescassol
Je ne peux pas créer d'exemples pour le moment. Attends que je finis de comprendre ce problème d'abord, et on verra après.
Cordialement
@Homo Topi,
Je ne sais pas quoi répondre à ton message privé.
La dernière fois, tu m'as dit : idiot, ça ne me donne pas trop envie de te répondre. :-)
@Poirot,
J'ai revu mon cours sur les modules tout à l’heure ... Est ce que tu peux corriger ce que je vais écrire :
Soit $ A $ un anneau principal, et $ M $ un $ A $ - module.
Alors, $ M $ se met sous la forme générale suivante :
$ \exists I , J $ deux ensembles, $ \exists (p_i)_{ i \in I } \in M^{(I \ )} $, tels que, $$ M = \big( \bigoplus_{ i \in I } A / (p_i) \big) \bigoplus A^{(J)} \qquad ? $$ $ (p_i)_{ i \in I} $ est une famille d'éléments de $ A $ irréductibles, qui peuvent éventuellement se répéter.
Une fois n'est pas coutume, Pablo n'a pas tort (toujours éviter de dire qu'il a raison... :-D)
Homo Topi, sauf si tu es médecin je ne vois pas trop comment tu pourrais l'aider...
Tu écris des équations en t'imaginant les comprendre, alors qu'en fait, d'après ce que te disent tous les autres intervenants, tu ne les comprends pas plus que moi ... Attache-toi donc à leur côté esthétique (essaye avec des caractères gothiques, par exemple), et laisse tomber leur signification !
Essaye de faire tomber la température dans ton cerveau en ébullition !
Bien amicalement
JLB
Soit l'ensemble, $ K^X $.
Pourquoi $ K^X $ est un espace topologique ?
Pourquoi $ K^X $ n'est pas un espace vectoriel contrairement à $ K^{(X)} $ ?
$ X $ est un ensemble quelconque.
Merci d'avance.
Il y a abstention parce que il y a trop de communautarisme ici.
La seule "aide" que tu reconnais/acceptes/veux entendre, c'est "oui, tu as raison". Sauf que quand tu as tort ou que tu racontes des choses qui n'ont aucun sens, des humains cérébralement normaux et honnêtes ne vont pas te dire "oui, tu as raison".
Tu m'inquiètes ... soigne-toi !!
Cordialement.
même pour des imbécillités ???
ou peut être par ce qu'il y a un imbécile qui récidive sans arrêt dans ses délires...?