Les nombres infinis selon Cantor
Comme vous le savez probablement, le mathématicien allemand Georg Cantor (théorie des ensembles) postule l'existence de nombres infinis plus grands que d'autres. Ce serait par exemple le cas des nombres réels. Ils excèderaient les entiers naturels, car ils ne peuvent être organisés dans une suite et mis en bijection avec eux. Mais ne pourrait-on imaginer que les bijections s'effectuent au hasard ?
Réponses
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Bonjour.
Que pourrait vouloir dire " les bijections s'effectuent au hasard" si aucune bijection n'existe ?
Donc, après avoir vraiment étudié de quoi il s'agit, pour pouvoir en parler sainement, il serait utile de t'expliquer clairement.
Cordialement. -
Prenons par exemple les entiers naturels (pairs ou impairs) et ceux pairs, tous deux en nombre infini. Il est logique de les organiser en suites croissantes. Pour les entiers naturels : 0, 1, 2, 3, etc. Pour les entiers pairs : 0, 2, 4, 6, etc. Les bijections s'effectueront alors de cette façon : 0-0, 1-2, 2-4, 3-6, etc. Bien que les entiers pairs soient un sous-ensemble des entiers naturels, leur nombre infini n'est donc pas inférieur pour Cantor.
Par contre, les nombres réels ne peuvent être organisés sous forme de suite. Il existe bien sûr des nombres réels inférieurs ou supérieurs à d'autres. Mais il est impossible de trouver un prédécesseur ou un successeur immédiats à un nombre réel. Les nombres réels ne pourront donc être mis en bijection avec les entiers naturels dans une suite logique. Leur ensemble comprend bien sûr le sous-ensemble des entiers naturels, mais leur nombre infini est aussi plus grand selon Cantor.
Mais ne pourrait-on imaginer que les bijections s'effectuent au hasard et que ces nombres infinis soient donc équivalents ? Considérons par exemple deux séries finies dans les 100 premiers entiers naturels : nombres pairs et nombres impairs. On établira les bijections suivantes, avec des suites logiques : 0-1, 2-3, 4-5, etc. Au bout du compte, les nombres de ces deux séries seront tous mis en bijection, établissant leur équivalence.
Cela dit, ces nombres pourraient être mis en bijection de manière complètement illogique, sans les organiser en suites : 0-49, 64-37, 26-89, etc. On obtiendra le même résultat que précédemment : les nombres de ces deux séries seront tous mis en bijection, établissant leur équivalence.
Comme les nombres réels ne peuvent être organisés sous forme de suite, on pourrait donc imaginer que leurs bijections avec les entiers naturels soient aussi faites au hasard, comme avec l'exemple précédent. Dans ce cas, il serait impossible de démontrer que le nombre infini des nombres réels soit supérieur à celui des entiers naturels. -
Je me suis arrêté ici « Par contre, les nombres réels ne peuvent être organisés sous forme de suite. Il existe bien sûr des nombres réels inférieurs ou supérieurs à d'autres. Mais il est impossible de trouver un prédécesseur ou un successeur immédiats à un nombre réel. Les nombres réels ne pourront donc être mis en bijection avec les entiers naturels dans une suite logique ».
Je rappelle que ce raisonnement (ce texte bleu) fonctionne si l’on remplace « nombres réels » par « nombres rationnels ».
Pourtant ils peuvent être mis en bijection avec les entiers naturels (texte mauve). J’ai volontairement tronqué la phrase et c’est assez déloyal de le faire comme cela. Mais j’oserais dire « dans une suite logique » quand même.
Attention au terme « logique » qui, ici, est utilisé dans un langage courant qui ne possède aucun fondement mathématique. -
Je ne connais pas bien ces choses, mais il me semble qu'on doit pouvoir trouver une relation d'ordre sur $\mathbb R$ pour laquelle tout réel a un successeur. Vrai ?
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Les nombres réels impliquent tous les points d'un axe numérique. Il n'existe que 10 nombres entiers entre 0 et 9, mais une infinité de nombres réels ! Cela n'implique pas pour autant que le nombre infini des nombres réels soit supérieur à celui des entiers naturels si les bijections sont faites au hasard (je ne me répèterai pas).
Pour les nombres rationnels (fractions), Cantor a démontré qu'ils peuvent être organisés sous forme d'une suite (logique même si le terme peut déplaire). Leurs bijections avec les entiers naturels ne seront donc pas faites au hasard, ce qui compliquerait inutilement les choses ! -
Bonjour,
Oui Chaurien. En notant $\{ {.} \}$ la partie fractionnaire, la relation définie par $x\leqslant y$ si $(\{x\}\leqslant \{y\} \text{ ou } (\{x\}=\{y\} \text{ et }\lfloor x\rfloor \leqslant \lfloor y\rfloor ))$ convient. Le successeur de $x$ pour cette relation est $x+1$. -
Tout nombre réel a en effet des nombres prédécesseurs et successeurs. Mais il est impossible de lui trouver un prédécesseur et un successeur immédiats. Cela vient de ce qu'il existe une infinité de nombres réels pour un segment numérique, par exemple entre 8 et 9. Les nombres réels ne peuvent donc être organisés en suite. Cantor me parait convaincant sur ce point.
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Bonsoir
Je crois comprendre que votre questio pourrait se traduire par : Pourrait-il exister une bijection non croissante entre IN et IR (avec les ordres usuelles)Mais ne pourrait-on imaginer que les bijections s'effectuent au hasard ?
Il est vrai que la question est légitime puisque qu'un certain nombre d'exemples sont des ordres croissants, et bien ce n'est absolument pas pertinent, d'ailleurs entre IN et IQ les bijections qui existent ne sont pas croissantes (aucune ne l'est)
Entre IN et IR, il ne peut exister de bijection, croissante ou non, les cardinaux sont différents -
Bonsoir.
Pour rappel, l'argument diagonal de Cantor classique est une tentative (qui échoue) de trouver une bijection entre N et l'intervalle [0,1[ et ce, indépendamment de l'ordre logique pris par les nombres qui sont repris de cet intervalle.
L'argument diagonal montre que nécessairement il en manque un formé de manière arbitraire (donc une infinité d'autres formés de manière autrement arbitraire), ce qui invalide toute tentative de construction de suite logique, car nécessairement l'argument peut être adapté à ce cas et reste concluant.
Il y a nécessairement une infinité (d'ordre strict plus élevé que celui de N) de façons de construire un nombre de l'intervalle [0,1[ qui ne soit pas déjà dans une liste de nombres qui sont en bijection avec N.
À bientôt.Cherche livres et objets du domaine mathématique :
Intégraphes, règles log et calculateurs électromécaniques.
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Si on est capable de mettre en bijection un ensemble (infini) $E$ avec $\mathbb{N}$ (ou $\mathbb{R}$ ), de fait, on ordonne $E$ aussi, de la façon suivante: Soient $x,y\in E,x\leq y$ si et seulement si $f(x)\leq f(y)$ où $f$ est ladite bijection.
Par ailleurs, comme rappelé par Dom, $\mathbb{Q}$ est en bijection avec $\mathbb{N}$(*). A priori, on a du mal à voir ce que serait le successeur, par exemple, de $1/2$. On peut donner un sens à ce concept de successeur ici. Si $f$ est une bijection de $\mathbb{Q}$ vers $\mathbb{N}$ le successeur du nombre rationnel $r$ est $f^{-1} \left(f(r)+1\right)$.
Mais ce successeur dépend de $f$. Si on prend une autre bijection, ce successeur n'a aucune raison d'être le même.
*: pour voir ça, on considère le réseau des points à coordonnées entières et on parcourt ce réseau en spirale: $(0,0),(1,0),(1,1),(0,1),(-1,1),(-1,0),(-1,-1),...$ on obtient une succession de couples $(p,q)$ qu'on associe à la fraction $\dfrac{p}{q}$.
Dans cette liste de bipoints parcourue en spirale on ne retient pas les bipoints qui ne donnent pas une fraction irréductible ou ceux pour laquelle la deuxième coordonnée est nulle. Rien que sur cet exemple, on voit qu'on a déjà deux bijections, puisque on peut parcourir "en spirale" dans le sens des aiguilles d'une montre, ou dans le sens trigonométrique. -
Spalding,
tu n'as pas répondu à ma question : "Que pourrait vouloir dire " les bijections s'effectuent au hasard" si aucune bijection n'existe ? "
Et tu réponds en disant "Mais ne pourrait-on imaginer que les bijections s'effectuent au hasard et que ces nombres infinis soient donc équivalents ?". Autrement dit, tu reprends une expression qui n'a pas de sens au lieu de t'expliquer !!
Alors je vais préciser encore : pourquoi dis-tu "les bijections" ? De qui parles-tu ? En fait, pour que deux ensembles soient de même cardinal il faut une bijection entre les deux. Pourquoi parles-tu de plusieurs bijections ?
De plus, tu sembles mélanger ordre naturel et bijection. Mais la notion de bijection ne comporte pas d'ordre, ce que tu appelles "au hasard" n'est que le fait qu'on ne s'occupe pas de l'ordre. Dans la preuve de Cantor, il n'y a pas d'ordre, à priori. Elle est seulement souvent présentée en listant les entiers dans l'ordre, mais ça n'intervient nulle part dans la preuve.
Cordialement. -
Après avoir relu les premiers messages il me semble qu'ils signifient la croyance que même s'il n'y a pas de bijection croissante entre $\mathbb{R}$ et $\mathbb{N}$ en ne supposant plus croissante la bijection alors on va finir par trouver une bijection entre ces deux ensembles. ::o
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Peut-être aussi l'incompréhension du départ de la preuve de Cantor : "S'il existe une bijection de $\mathbb N$ sur $[0;1]$" (*) parle tout à fait d'une éventuelle bijection qui "s'effectue au hasard". Comprendre que dans une démonstration qui commence par "s'il existe une bijection $f$" on ne dit rien de comment est faite $f$, qu'elle est "prise au hasard", qu'on ne suppose rien d'autre que l'existence, est une habitude des matheux, pas toujours comprise par les autres. Dans la vie courante, les phrases ont souvent plus de contenu que ce qu'elles disent strictement, c'est d'ailleurs un effet comique courant de ne comprendre que ce qu'elle dit : "Je vous en prie" "Non, ne me priez pas, je ne suis pas un dieu".
Cordialement.
(*) ou ]0;1[, ou $\mathbb R$, ou ... Je ne sais pas quelle preuve exactement a lu Spalding. -
Ne sachant comment m'occuper aujourd'hui, j'ai rédigé un texte de quatre pages sur ce sujet (fichier ci-joint). Vous voudrez bien me faire part de vos remarques... N'hésitez pas à taper dur si nécessaire ! Cela ne devrait pas trop me déprimer. Mais si vous trouvez tout parfait, ne vous croyez pas obligés de critiquer ! ;-)
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Le premier paragraphe est un tissu de confusions n'ayant rien à voir avec les mathématiques, relisez mon message précédent
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J'ai lu le livre de Gustavo Ernesto Piñeiro : "Cantor - La formalisation de l'infini". Je n'ai bien sûr pas lu les publications de Cantor, ayant autre chose à faire, mais le livre de Piñeiro est bourré de références. Pour lui (page 48), affirmer qu'une collection de nombres est équipotente à celle des entiers naturels revient à dire que ses éléments peuvent être organisés sous forme de suite (selon Cantor). Les nombres réels ne peuvent être organisés sous forme de suite. Aucun nombre réel n'a en effet de prédécesseur ni de successeur immédiats (série continue), contrairement aux entiers naturels (série discrète). En tout cas, il est impossible de trouver les voisins en question ! Le problème se pose alors de savoir si l'infini des nombres réels est supérieur à l'infini des entiers naturels. Cantor donne une réponse affirmative à cette question, mais on n'est pas obligé de le suivre... Je ne vois donc pas ce qui cloche dans ce premier paragraphe... 8-)
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Définissez être mis sous forme de "suite", si cela veut bien dire que l'on peut établir une bijection avec IN (pour dire qui est le premier, le deuxième etc.), alors oui, IR ne peut pas être mis sous cette forme, puisqu'il ne peut exister de bijection entre IN et IR, mais cela clos le débat.
De plus il existe une (des) bijection entre IR et le cardinal $\beth_1$ ce qui permet de définir la notion de successeur dans IR -
Je trouve un peu triste de tenter de réfuter des théorèmes bien formalisés et bien établis par un bavardage mondain.
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« Cantor donne une réponse affirmative à cette question, mais on n'est pas obligé de le suivre »
Que cela signifie-t-il ?
Cantor se trompe ou bien quoi ? -
Spalding a écrit:Le problème se pose alors de savoir si l'infini des nombres réels est supérieur à l'infini des entiers naturels
Pour cela, on a le concept d'application injective et le concept d'application surjective. Une application qui est à la fois injective et surjective est une application bijective.
Tant qu'on n'a pas compris ces concepts on ne peut pas comprendre grand chose à cette théorie. -
Pour Médiat,
Une série numérique doit pouvoir être organisée sous forme de suite selon un critère logique (traduisible par une fonction mathématique), pas forcément toujours le même. Les entiers naturels peuvent manifestement être considérés comme une suite, le critère retenu étant alors le plus souvent la croissance numérique d'une unité : 0, 1, 2, 3, etc. Mais on pourrait imaginer un autre critère : par exemple, envisager les nombres pairs de la première dizaine d'entiers naturels puis ses nombres impairs, faire de même pour la deuxième dizaine, ainsi de suite... Nous aurions alors : 0, 2, 4, 6, 8, 1, 3, 5, 7, 9, 10, 12, etc. Pourquoi pas ? Quel que soit le critère retenu, le premier nombre d'une série numérique sera mis en bijection avec le premier nombre d'une autre série numérique, le deuxième avec le deuxième, ainsi de suite...
Le problème, c'est que cette façon de procéder est impossible avec les nombres réels (série continue). Ils ne peuvent en effet être ordonnés selon un critère quelconque, ce qui supposerait d'isoler chacun (série discrète). Quels sont par exemple les deux nombres encadrant le nombre Pi (3,141...) ou un entier naturel envisagé comme nombre réel (infinité de 0 après la virgule) ? Pas évident !
Cantor constate donc l'impossibilité de bijections ordonnées entre les entiers naturels et les nombres réels. Mais il n'en reste pas là. Sans envisager des bijections au hasard (non ordonnées), il postule l'existence d'un nombre infini des nombres réels supérieur au nombre infini des entiers naturels. Je ne le suis pas sur ce terrain pour les raisons indiquées (voir mon fichier). De mon point de vue, il n'existe qu'un seul nombre infini, ce qui n'empêche bien sûr pas que les entiers naturels soient un sous-ensemble des nombres réels (bijections par affinités)...
Pour Math Coss,
Je ne pense pas me livrer à un bavardage mondain dans ce texte de quatre pages (que vous n'avez manifestement pas lu). Je signale par ailleurs que Cantor a été traité de charlatan par son contemporain Kronecker, un mathématicien tout aussi éminent ! Les mathématiques dites constructivistes ne suivent pas non plus Cantor.
Pour Dom,
Si la théorie des ensembles de Cantor me parait intéressante et peu réfutable, je ne pense pas en effet que sa démonstration d'un nombre infini plus grand qu'un autre soit bien établie. Si un mathématicien comme Kronecker a traité Cantor de charlatan, pourquoi ne pourrais-je pas faire une critique beaucoup plus légère et polie ? Pour voir si ma critique est valable, je ne peux que vous inciter à lire mon texte de quatre pages (fichier joint à mon message plus haut). Il n'est pas bourré d'équations mathématiques, inutiles en l'occurrence.
Pour Fin de partie,
Les injections et les surjections se compensent en effet, équivalant aux bijections. Mais cela ne fait que compliquer inutilement les choses et ne résout pas le problème fondamental, celui d'établir des relations ordonnées entre deux séries numériques dont l'une (nombres réels) ne peut être ordonnée. -
Bonjour,
La question mathématique est close depuis Cantor.
Le reste est du café du commerce, ou du bavardage mondain, comme le dit très bien Math Coss.
Cordialement,
Rescassol -
Clairement vous mélangez le vocabulaire (suite/série), mais en plus, ce point est complètement faux ! D'ailleurs il y a "plus" de bijection de IN dans IN qui ne sont pas sous forme de "critère logique" que de bijection qui le peuvent.Une série numérique doit pouvoir être organisée sous forme de suite selon un critère logique
Il n'est surtout pas bourré de mathématiques, ce qui aurait été utile.mon texte de quatre pages [...]. Il n'est pas bourré d'équations mathématiques, inutiles en l'occurrence.
Bref, vous ne connaissez pas le sujet, ni son vocabulaire, ni ses concepts -
Je ne répondrai pas à des attaques trop générales pour être réfutées, du genre "Votre texte n'est pas mathématique". Elles sont trop faciles. Un ignare complet peut les faire !
Une série ordonnée selon un critère logique (pouvant varier) est une suite. Les nombres réels (série continue) ne peuvent être ordonnés sous forme d'une suite, contrairement aux entiers naturels (série discrète), quel que soit le critère choisi. Cela rend impossible des bijections ordonnées entre les entiers naturels et les nombres réels, mais n'empêche pas des bijections au hasard ni des bijections par affinités (voir mon texte). -
Il faudrait préciser ta démarche et préciser ce que tu entends faire: réfuter l’argument diagonal? Philosopher sur la théorie des ensembles naïve de Cantor (dont Russel a exhibé des failles, failles qui malheureusement pour toi, même comblées, n’invalident pas l’argument diagonal)?.
J’ai parcouru ton texte, et je ne vois aucune définition formelle, je vois aussi des "donc" sans justification rigoureuse. Lorsqu’on fait des maths, il convient de donner des définitions formelles ce de dont on parle, sinon on reste dans le flou, il convient d'énoncer précisément ce qu'on entend prouver, de découper son argument en blocs (propositions, lemmes) précis, chaque bloc étant justifié par une preuve rigoureuse.
Par exemple, tu dis distinguer trois type de bijections: tu n’en définis formellement aucune. Comme on te l’a rappelé, ce que tu appelles « bijection au hasard » semble (car tu refuses d'en donner une définition précise et quantifiée) être déjà ce que la plupart des mathématiciens appellent « bijection ».
Comme l’a rappelé Math Cross, l’argument de Cantor a été formalisé plus d’une fois. Par formalisé, il est entendu qu’il a été traduit en une suite d’assertions purement mathématiques précises (c’est-à-dire écrites purement en langage mathématique, sans l'ambiguïté possible du langage courant), toutes justifiable strictement et formellement à l’aide soit d’une autre assertion préalablement rigoureusement prouvée, soit d’un axiome. Par exemple, ici. Tu peux y lire "apply cantor", qui signifie "applique le théorème de Cantor", théorème énoncé et prouvé ici. Ça peut sembler difficilement lisible pour un être humain, mais c'est compréhensible pour l'ordinateur, et un humain peut le comprendre en apprenant le langage adéquat. Tu pourrais installer ce logiciel sur ton propre ordinateur et lui faire prouver le théorème de Cantor!
La preuve de Cantor est donc tellement robuste qu’un ordinateur pourtant incapable de comprendre autre chose que la logique élémentaire (plus précisément, la logique "classique" du premier ordre), est capable de constater que cette preuve découle bien des axiomes, et qu’il n’y a aucun « trou » (c’est-à-dire utilisation d’une affirmation non prouvée, utilisation de quoi que ce soit avec une hypothèse manquante, ou mauvaise utilisation d'une règle logique).
Donc, si tu penses ce résultat « contestable », c’est que tu n’es en fait pas en désaccord avec Cantor et sa preuve, mais avec soit un des axiomes de la théorie des ensembles, soit l’une des règles de la logique du premier ordre, (car ce que j’explique plus haut te dit que le résultat de cantor découle mécaniquement et incontestablement de ces axiomes par cette logique).
Dans ce cas, il convient de préciser avec quel(s) axiome(s) tu es en désaccord, ou quelle règle de déduction logique ne te plait pas. Par exemple, tu mentionnes le constructivisme, qui ne fonctionne pas avec les même règles du jeu.
À partir de là, tu pourras commencer à essayer de trouver quels axiomes (formulés en langage mathématique, pour qu’il n’y ai aucune ambiguïté possible) mettre à la place de ceux que tu rejettes pour (peut-être) arriver à prouver qu’il n’existe qu’un unique infini comme tu le prétends. Ce système sera nécessairement différent de celui utilisé par les mathématiciens modernes et incompatible avec ce dernier. -
Dommage que votre but ne soit pas de mieux comprendre les travaux de Cantor, mais juste vous accrocher à une mauvaise idée qui ne fait que traduire votre méconnaissance totale du sujet, sans même entendre les critiques.
Je me demande ce que Kronecker aurait dit de votre texte -
Bonjour Spalding.
C'est bien de lire des ouvrages de vulgarisation, mais il faudrait avoir l'intelligence de comprendre que ce qui y est fait n'est pas des maths, mais du discours sur les maths : Il ne faut pas confondre lire "L'équipe" et faire du sport.
Tu parles de bijections de $\mathbb N$ dans $\mathbb R$ et de "mise en suite". Mais la définition du mot suite est justement "application de $\mathbb N$ dans $\mathbb R$" et les bijections sont des applications.
Je pense que tu n'as surtout pas appris de quoi on parles (applications, injections, surjections, bijections, ... notions qu'on a appris vers 1970 aux élèves de sixième, donc très simples), et que tu t'es fait une idée verbale de ce que l'auteur essayait d'expliquer. Donc tu as le choix entre
* apprendre les notions mathématiques élémentaires dont tu utilises les noms, pour passer de discours sans signification (tu n'utilises pas les mots mathématiques dans leur sens)
* ou continuer à passer pour un baratineur assez inintelligent pour ne pas même chercher à comprendre de quoi il s'agit alors que c'est simple.
Et le fait de n'être pas matheux n'est pas une excuse, de même que l'opinion des millions de "sélectionneurs devant leur télé" n'a aucun intérêt pour l'équipe de France de football.
Cordialement.
NB : C'est ma dernière tentative de t'expliquer raisonnablement, mais comme tu restes "dans ta bulle", si tu ne reviens pas à une discussion sérieuse (répondre à mes questions ci-dessus), j'en tirerai les conséquences (voir le deuxième choix). Tu n'es pas le premier à baratiner sur les maths sans les comprendre. -
Spalding a écrit:Les injections et les surjections se compensent en effet, équivalant aux bijections. Mais cela ne fait que compliquer inutilement les choses et ne résout pas le problème fondamental, celui d'établir des relations ordonnées entre deux séries numériques dont l'une (nombres réels) ne peut être ordonnée.
Tu ne fais que confirmer que tu n'as rien compris à cette théorie.
Pour savoir si deux ensembles finis ont le même nombre d'éléments il suffit d'exhiber une bijection entre ces deux ensembles. S'il n'existe pas de bijection entre ces deux ensembles ils n'ont pas le même nombre d'éléments.
Pour savoir lequel de deux ensembles finis $E$ et $F$ a le plus grand nombre d'éléments il suffit d'exhiber une application injective de $E$ vers $F$ pour pouvoir affirmer que l'ensemble $E$ a, au plus, autant d'éléments que $F$.
Si l'application n'est pas surjective alors $F$ a strictement plus d'éléments que $E$.
Cette façon de faire on peut l'étendre pour comparer des ensembles qui n'ont pas un nombre fini d'éléments, les notions de bijection, d'application injective, d'application surjective ne s'appliquent pas qu'aux ensembles finis.
Dans le cadre des ensembles infinis on arrive à des trucs qui défient l'intuition: un sous-ensemble peut avoir exactement le même nombre d'éléments* que l'ensemble qui le contient (exemple: le sous-ensemble des entiers naturels pairs contenu dans $\mathbb{N}$).
*cette expression veut dire ici qu'il existe une bijection entre ce sous-ensemble et l'ensemble qui le contient.
Pour l'exemple donné cette bijection est simple: $x\rightarrow 2x$ (c'est une bijection entre $\mathbb{N}$ et l'ensemble des entiers naturels pairs, la bijection réciproque est $x\rightarrow x/2$ )
PS:
Les notions d'application bijective, d'application surjective, d'application injective ne présument d'aucun ordre interne sur les ensembles considérés. -
Pour Gerard 0 (vraiment 0 !)
Nous sommes encore dans le domaine des attaques trop générales pour être réfutées, des attaques personnelles aussi. Elles révèlent surtout l'inculture de leur auteur ! Je doute fortement qu'il ait lu une publication quelconque de Cantor, alors que j'ai quand même fait l'effort de lire un livre de vulgarisation (bourré de références) sur les conceptions de Cantor.
Par ailleurs, il ne s'agit pas de critiquer en détail Cantor, ce qui supposerait de lire toutes ses publications en allemand. Vous pouvez être sûrs que Kronecker n'a pas lu en détail Cantor. Il lui a suffi de lire deux ou trois paragraphes de Cantor pour s'apercevoir qu'il délirait complètement !
Pour Nouveau,
Je confirme tout à fait ses propos et n'ai rien dit de contraire dans mes quatre pages ni ici !
Comme les intervenants à ce sujet sont manifestement incapables de lire quatre pages, j'en ferai un petit résumé déformant. Mais il ne sera pas disponible tout de suite, car je n'ai pas que cela à faire. À bientôt donc, et merci encore pour votre charmant accueil ! :-) -
Spalding: j'ai parcouru lesdites 4 pages: les mathématiques sont absentes parce que tu refuses cette théorie pour ce qu'elle est et tu viens y mêler des trucs personnels qui n'ont rien à voir avec cette théorie ce qui obscurcit ta compréhension.
Par ailleurs, je ne suis pas sûr que Cantor soit le meilleur ambassadeur de sa théorie. C'est un phénomène courant en mathématiques: des gens ont des idées révolutionnaires mais il faudra des décennies pour qu'elles s'expriment clairement. (Galois a rencontré le même problème, s'il revenait aujourd'hui il ne reconnaîtrait probablement pas sa théorie telle qu'on l'enseigne) -
Il ne postule pas, il démontre par l'argument diagonal ! Il montre qu'on ne peut pas épuiser l'ensemble des réels en les énumérant par les entiers – il reste toujours des réels hors de la liste ; si la fantaisie te prend, change la liste pour inclure le nombre décrit par l'argument, le même argument produira un autre nombre qui n'est pas dans la nouvelle liste.Spalding a écrit:il postule l'existence d'un nombre infini des nombres réels supérieur au nombre infini des entiers naturels.
Ce point de vue est erroné et deux arguments ultra-classiques le démontrent (pas aussi anciens que la musique classique mais un siècle et demi quand même !). L'un est l'argument diagonal de Cantor, cf. ci-dessus.Spalding a écrit:De mon point de vue, il n'existe qu'un seul nombre infini, ce qui n'empêche bien sûr pas que les entiers naturels soient un sous-ensemble des nombres réels (bijections par affinités)...
En voici un autre (dû à Cantor aussi, sauf erreur). Si on essaie de mettre en correspondance un ensemble et l'ensemble de ses parties, c'est-à-dire si l'on a une application $f$ d'un ensemble $E$ vers l'ensemble des parties de $E$, alors il existe toujours au moins une partie de $E$ qui n'est pas atteinte par la correspondance. Considérons en effet l'ensemble $A$ de éléments $x$ de $E$ tels que $x$ n'appartient pas à $f(x)$. L'existence d'un élément $x$ de $E$ tel que $A=f(x)$ (i.e. $A$ apparaît dans la « liste » étiquetée par $E$ que définit $f$) conduit à une contradiction. En effet, $x\in A$ si et seulement si $x\notin f(x)$ (par définition de $A$), c'est-à-dire $x\notin A$.
Ainsi, la correspondance ne peut pas être exhaustive (plus formellement, $f$ n'est pas surjective).
C'est étonnant mais complètement clair. Si on prend par exemple $E=\{1,2,3\}$, il a huit parties qui sont $\emptyset$, $\{1\}$, $\{2\}$, $\{3\}$, $\{2,3\}$, $\{1,3\}$, $\{1,2\}$, $\{1,2,3\}$. Définissons par exemple $f$ par $f(1)=\{2,3\}$, $f(2)=\{1,2,3\}$ et $f(3)=\emptyset$. Alors $1\in A$ parce que $1\notin f(1)=\{2,3\}$ ; $2\notin A$ parce que $2\in f(2)=\{1,2,3\}$ et $3\in A$ parce que $3\notin f(3)=\emptyset$. Ainsi, $A=\{1,3\}$, qui de fait n'apparaît pas dans la liste $\{2,3\}$, $\{1,2,3\}$, $\emptyset$. -
Une lecture manifestement trop rapide ! La théorie des ensembles est un apport essentiel de Cantor. Par contre, sa démonstration d'un nombre infini plus grand qu'un autre est beaucoup plus discutable ! Moi, je ne fais pas de la réfutation en bloc comme Kronecker. Je critique un point précis ! L'argument diagonal de Cantor est erroné, car il repose sur des bijections par affinités. Celles-ci permettent d'établir des ensembles et des sous-ensembles, mais pas qu'un ensemble (ou sous-ensemble) contient plus d'éléments qu'un autre ensemble (ou sous-ensemble).
À bientôt donc pour mon petit résumé... Je vais sortir, comme il fait très beau. Je vous encourage à faire de même, pour que la bonne humeur revienne ! :-) -
Bon,
inutile de continuer, il n'est pire sourd que celui qui ne veut pas entendre.
Et inutile de lire ton second document, ce ne sera que le texte "d'un baratineur assez inintelligent pour ne pas même chercher à comprendre de quoi il s'agit". Tu as montré depuis le début que tu préférais jouer avec les mots ( " les bijections s'effectuent au hasard" , tu ne sais même pas ce que ça veut dire) que de chercher à comprendre.
D'autres avant toi ont fait la même chose, d'autres après le feront, mais ce sont tous des esprits fumeux, qui sont contents de leur "petite idée" (qui n'est qu'une incompréhension), qui se croient plus intelligent que les autres, alors qu'ils ne le sont pas.
Ciao ! -
Bonjour,
Quelques "points de détail":
- Les mots "suite" et "série" ont une définition précise en mathématique, ils ne désignent pas la même chose.
- "bijection au hasard" et "bijection par affinités" sont des expressions sans aucun sens, ou alors, définis les. D'ailleurs, une affinité est tout autre chose en géométrie.
-Tu te plains des gens qui parlent en "matheux", je te rappelle que tu es sur un forum de maths.
- Les conceptions de Cantor sont aujourd'hui validées et acceptées par la communauté mathématique internationale, et toi, tout seul dans ton coin, tu veux affirmer le contraire sans aucune justification !! Ne serait-ce pas légèrement présomptueux ?
Cordialement,
Rescassol -
Bonjour Spalding,
Tu ne m'as pas répondu sur le fait que la démonstration de Cantor (et donc, sa preuve) a été implémentée dans des logiciels assistants de preuve, dont le but est de vérifier si un argument donné est juste ou non, juste au sens purement mathématique: la seule manière de produire un argument juste est de donner une suite d'affirmations, chaque affirmation doit être soit un axiome, soit quelque chose obtenu en appliquant les quelques règles de logique élémentaire aux axiomes ou aux affirmations précédentes (et dans ce cas, le logiciel vérifie qu'on ne fait jamais une affirmation non prouvée, ou qu'on utilise une mauvaise règle de logique), de sorte que cette suite d'affirmation produit naturellement un raisonnement partant des axiomes et aboutissant au résultat.
Concrètement, cette implémentation montre que la preuve de Cantor n'est pas discutable: elle se transforme naturellement en quelque chose de juste au sens extrêmement précis ci-dessus.
Encore une fois, si tu rejettes ce théorème, tu rejettes en fait un des axiomes de la théorie des ensembles (puisque ce théorème est inévitable une fois les axiomes et les règles de logiques données). Est-ce le cas?
PS: Une alternative serait de contester le fait qu'un logiciel vérificateur de preuve vérifie effectivement la justesse d'un argument, mais bon, ces logiciels sont conçus par des experts mondiaux en logique qui ont leur travail à cœur, et ils sont suffisamment robuste pour qu'on ait confiance en eux. Il ne semble pas tenable de dire que les multiples logiciels en question ne font tout simplement pas ce pour quoi ils sont conçus et faire passer pour des incapables les centaines de personnes impliquées dans leur développement, dont le boulot principal est de faire en sorte que ces logiciels marchent. -
De nouvelles attaques personnelles ! Cela relève beaucoup le niveau de ce forum... Je signale par ailleurs que les conceptions de Cantor sont très critiquées par les mathématiciens constructivistes. Moi, je ne critique qu'un point précis (des nombres infinis plus grands que d'autres), pas la théorie des ensembles !
J'explique précisément ce que sont les bijections par affinités (permettant d'établir des ensembles et sous-ensembles), les bijections ordonnées et les bijections au hasard. Mais comme je l'ai dit, s'il est trop long de lire attentivement quatre pages, j'en ferai un résumé déformant... Salut, les copains et à bientôt ! ;-) -
Remarque: les "mathématiques constructivistes", puisqu'elles rejettent des points valides dans la théorie des ensembles classiques, doivent rejeter des axiomes de la théorie des ensembles. Les mathématiciens constructivistes "purs" travaillent de fait avec d'autres axiomes (ou au moins des axiomes en moins, par exemple l'axiome du choix) que les autres.
Dois-je en déduire que de même tu rejettes un des axiomes de la théorie des ensembles? Si oui, lequel?
Encore une fois, puisque les axiomes de la théorie moderne (i.e les axiomes et schémas d'axiomes de ZFC) des ensembles amènent mécaniquement l'existence d'infinis plus grands que les autres, si tu critiques ce point, il faut identifier quels axiomes de la théorie amènent ce résultat, car tant que ces axiomes seront là le théorème de Cantor sera valide.
C'est un peu comme ne pas être d'accord avec le fait que lorsqu'on lâche une balle, elle tombe au lieu de s'élever: si on est pas d'accord avec ça, c'est en fait avec la gravité qu'on est pas d'accord, car c'en est la cause. -
Spalding a écrit:Moi, je ne critique qu'un point précis (des nombres infinis plus grands que d'autres), pas la théorie des ensembles !
Il faudrait déjà que tu te donnes la peine de comprendre le sens qui est donné à la phrase "des nombres infinis plus grands que d'autres".
Qu'est-ce que tu comprends de cette phrase? Si tu veux répondre à cette question essaie, je t'en prie, de ne pas partir dans des envolées lyriques qui obscurcissent ton propos. -
C'est du Shtam tout ce qu'il y a de plus classique. Quelqu'un qui ne comprend pas le sens formel des énoncés qu'il pense contredire, et leur prête des interprétations philosophico-mystiques délirantes.
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S'y ajoute une posture commode consistant à accuser les gens de ne pas lire et à ne pas lire soi-même.
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Bonjour Spaulding,
Je crois que vous devriez poster sur un forum plus à même de vous comprendre -
Bonjour.
Moi, je constate que depuis que j'ai laissé un précédent message sur ce sujet, http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?43,2257850,2258008#msg-2258008 son auteur n'a pas daigné critiquer* les trois pauvres paragraphes d'explications qui s'y trouvent et qui expliquent, dans un langage accessible à tous, le minimum pour comprendre que toute tentative de réfutation de l'argument diagonal de Cantor est impossible.
*Ceci n'est pas une attaque personnelle, ou alors plus personne à part l'auteur du sujet n'est en mesure de discuter, pas même sereinement, et donc ce fil est en fait un objet de propagande.
À bientôt.
[Édit : Merci d'avoir ajouté le lien vers le message en question, qui est le seul autre message de ma part sur ce sujet.
Comme il suffisait juste de remonter un peu sur la page pour le trouver, j'avais naïvement cru ce lien non nécessaire.]Cherche livres et objets du domaine mathématique :
Intégraphes, règles log et calculateurs électromécaniques.
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@Spalding je pense que tout a été dit. Je vais quand même analyser une partie de ton texte. Je te cite :Spanding a écrit:Bijections au hasard – Supposons que nous ayons sous les yeux les deux séries en question : d’un côté, les entiers naturels sagement ordonnés (0, 1, 2, 3, etc.) ; de l’autre côté, les nombres réels sans aucun ordre (par la force des choses).
Celui qui va procéder aux bijections est une vraie brute épaisse et sans aucune culture mathématique, moi par exemple ! Il va prendre au hasard le nombre réel $\pi$ (3,141…) et le mettre en bijection avec le premier entier naturel (0) ; le nombre réel 1/3 (0,333…) avec le deuxième entier naturel (1) ; le nombre réel $\sqrt{2}$ (1,414…) avec le troisième entier naturel (2) ; le nombre réel 49,000… (entier naturel) avec le quatrième entier naturel (3); etc.
Tout cela fait bien sûr désordre et ne plaira guère aux mathématiciens ! Mais au bout du compte, tous les nombres réels seront mis en bijection avec des entiers naturels. Notre brute inculte aura démontré que le nombre infini des nombres réels n’est pas supérieur (ni inférieur) au nombre infini des entiers naturels.
Tu n'as pas démontré mathématiquement que la brute épaisse a mentionné tous les nombres réels. Imagine que la brute épaisse choisisse au hasard un nombre réel toutes les secondes et qu'elle vive éternellement.
La question est : comment savoir si un nombre réel donné (par exemple $\sqrt {3}$) sera mentionné un jour par la brute épaisse ?
Tu n'as pas fourni la réponse à cette question dans ton raisonnement, Cantor lui l'a fait. Sa démonstration revient à dire qu'il existe un nombre réel que la brute épaisse ne mentionnera jamais, même en vivant éternellement. -
Pour énerver encore plus Spalding, Cantor a en fait montré qu'il existe autant de nombres réels manquant que de nombres réels... :-D
-
Salut Poirot,
On peut ajouter qu'il y a autant de bijection de IN dans IN que d'éléments dans IR, et parmi celle-ci il y en a autant que d'éléments dans IR que nous ne pourrons jamais définir. -
Ne vous fatiguez pas, vous ne pourrez pas énerver Spalding.
Car Spalding SAIT, lui !
Il a tout compris du grand complot des mathématiciens modernes dont le but inavoué est de nous faire croire en la multiplicité infiniment ordonnée des infinis.
Cessons d'être des moutons ! Grâce à la notion enfin dévoilée de "bijection au hasard", on montre si facilement que tout ensemble infini est en bijection avec n'importe quel autre. Il suffit d'ouvrir les yeux, de prendre ses petits doigts de brute épaisse, et de compter les réels pris un par un au hasard.
Alors, au boulot !
. -
Bonjour,
J'ai pris la peine de relire sa prose ici, il a dit n'importe quoi il y a 8 ans, il y a 7 ans, il y a 11 mois et maintenant.
On peut donc dire qu'il dit n'importe quoi périodiquement, mais pas à intervalle fixes, suivant son vocabulaire :-D
Cordialement,
Rescassol -
En tout état de cause, je suis très heureux de ce fil, j'avais recensé 5 auteurs ayant donné validité à la phrase "Tous les ensembles sont dénombrables", en voilà un sixième.
-
1) Comment établir si un nombre d'éléments est inférieur, égal ou supérieur à un autre nombre d'éléments ?
Jusqu'à présent, la quasi-totalité des messages de ce sujet ont été de deux types : injures personnelles, digressions sur des points de détail loin de l'essentiel. Les participants en question n'ont manifestement pas lu mes quatre pages, ou tellement en diagonale que cela revient au même. Non, Mesdames et Messieurs, ce n'est pas sérieux !
Certains intervenants supportent par ailleurs mal la moindre critique à l'encontre des conceptions de Cantor, même sur un point secondaire. Si Cantor est votre dieu, ne risquez pas d'être traumatisé en participant à ce sujet. Moi, je respecte toutes les religions ! Je signale quand même au passage qu'il a existé et qu'il existe toujours des polémiques très sérieuses entre des mathématiciens renommés (à tort ou à raison).
Je vais donc me mettre à votre portée et envisager tous les points l'un après l'autre, avec des délais raisonnables pour ne pas surcharger vos intellects. Aucun point ne sera abordé tant que le précédent n'a pas été résolu !
Imaginons pour commencer que vous soyez gérant d'une salle de danse à la superficie infinie, pouvant donc accueillir une infinité de danseurs. Cette situation est très courante et d'un grand intérêt pratique ! Pour la gestion de votre salle, vous souhaitez savoir s'il s'y trouve plus ou moins de femmes que d'hommes à un moment donné. Deux méthodes sont alors concevables :
A) Vous pouvez compter séparément les femmes et les hommes présents dans la salle, à partir de 0, puis déduire du plus grand total le plus petit. Avec 24 hommes et 18 femmes, l'excédent sera bien sûr de 6 hommes. Avec l'inverse, nous aurons un excédent de 6 femmes. Si les totaux sont identiques, il n'existera aucun excédent (ni déficit).
-- Avantages de cette méthode : vous connaitrez bien sûr l'excédent (ou le déficit) d'un côté ou de l'autre, mais aussi les nombres de femmes et d'hommes dans la salle de danse.
-- Inconvénients de cette méthode : si des millions ou des milliards de femmes et d'hommes sont dans votre salle infinie, vos énumérations risquent de durer longtemps. Elles ne s'arrêteront même jamais avec des femmes et des hommes en nombres infinis !
Vous pouvez aussi demander à tous les danseurs de se choisir aussitôt un partenaire (bijections). Je suppose bien sûr ici que personne n'est homosexuel (cela dit, je n'ai rien contre les homos). Si 12 femmes ne trouvent pas de partenaire masculin, cela implique logiquement qu'il existe 12 femmes de plus que d'hommes. Inversement bien sûr si ce sont cette fois 12 hommes qui restent en plan. Si personne ne se trouve à l'écart, les femmes et les hommes sont en nombres identiques.
-- Avantages de cette méthode : essentiellement sa rapidité.
-- Inconvénients de cette méthode : vous ne connaitrez pas les nombres de femmes et d'hommes dans la salle de danse.
Vu mon expérience des participants à ce sujet, vous pourrez avoir deux réactions après avoir lu ce message :
1) Tes deux méthodes sont très élémentaires, Spalding, et montrent clairement ton QI très bas à côté de mon QI très élevé de mathématicien supérieur (c'est en effet fort possible). Cela dit, elles ne sont pas vraiment fausses (cette générosité très inhabituelle laisse supposer qu'elles pourraient être justes).
2) Tes deux méthodes sont bien sûr très élémentaires, Spalding, mais elles sont surtout complètement absurdes (au moins l'une d'elles) pour la ou les raisons suivantes... Expliquez alors de manière claire et argumentée, en évitant toute digression inutile, pourquoi l'une au moins de ces méthodes est absurde.
Ce forum est par ailleurs consacré au travail, pas au divertissement. Cela implique que les problèmes doivent être résolus dans des délais raisonnables. Deux jours est un délai très suffisant ici.
Si personne ne m'a démontré dans ce délai que l'une au moins de ces deux méthodes est absurde, je passerai alors au point suivant. Sinon, j'arrêterai aussitôt.
C'est donc à vous de jouer maintenant, Mesdames et Messieurs... Mais attention, deux jours, pas plus ! ;-) -
Je confesse ne pas avoir lu les 4 pages, pas même téléchargées en vue d'une lecture ultérieure.
J'ai aussi évoqué la non lecture de mon premier message sur ce fil, avec rappel dans le deuxième (et de grâce, pas de nouveau lien sur la même page, il suffit de remonter).
Bref, vous accusez les autres de ce que vous faites, ce n'est pas plus sérieux.
Sur ce, bonne continuation.
[Édit : Il fallait que cela tombe sur le changement de page... voici donc le lien puisqu'il y a changement de page.]Cherche livres et objets du domaine mathématique :
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Cette discussion a été fermée.
Bonjour!
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