Implication
dans Shtam
Etant sur un pc, je prends un peu de temps pour rédiger ce post, au milieu des Vosges (enfin entre Vosges et forêt noire). Je n'ai pas retrouvé un fil récent où j'étais intervenu, mais c'est pas grave, je ne me rappelle pas non plus si j'avais déjà fait un tel fil, donc tant pis si ça fait doublon avec un éventuel vieux fil.
L'idée est d'économiser du temps aux gens (sincères) qui abordent l'éternel serpent de mer de l'implication en leur donnant un lien à cliquer. Je ne traite que la logique classique, mais avec éventuelles allusions aux autres logiques.
1/ (A=>B) est synonyme de "si A alors B"
2/ L'axiome primordial des maths (dans toutes les logiques, même les plus faibles) est :
3/ En particulier, on a
(faux=>faux) ainsi que
(vrai =>vrai)
4/ En logique classique, on considère que
[non(non(X)] = X et aussi que
(U=>V)=((nonV)=>(nonU))
5/ Les égalités sont "en dur" et jamais contestées (par qui que ce soit). A noter que ce sont les logiciens eux-mêmes qui ont "fouillé" les nuances et je ne les aborderai pas dans ce fil.
6/ Le serpent de mer évoqué sont les deux phrases génériques suivantes:
6.1/ X=> vrai
6.2/ faux =>X
7/ On sait déjà que pour 6, le problème "populaire" ne se pose que pour :
$X:=faux$ dans 6.1 et pour
$X:=vrai$ pour 6.2.
8/ Comme (faux => X) = ((nonX)=>vrai) d'après 4, il ne s'agit en fait que d'un seul et même problème.
9/ En conséquence de quoi les SEULS GENS qui peuvent "discuter" faux=>X sont les gens et seulement eux qui discutent X=>vrai
10/ Je m'adresse maintenant aux gens qui sont d'accord que
11/ Ils sont d'accord que
$100>500$ => $100>3$ donc pour eux le problème n'existe pas ou n'existe plus une fois lu ce point 11, puisqu'ils sont d'accord avec :
vrai est égal à
$100>500$ => $100>3$ qui est égal à
faux => vrai
De sorte qu'on a : (faux=>vrai) = vrai
12/ Un point clé souvent omis par les discuteurs est de savoir s'ils admettent ou pas qu'une phrase a une valeur de vérité dans {vrai; faux}
13/ Là, il est important de rappeler que les maths c'est précis et que les deux phrases suivantes n'ont rien à voir l'une avec l'autre:
13.1/ A=>B
13.2/ Il existe une preuve irréfutable de "A=>B"
14/ Il est tout à fait possible que 13.2 soit fausse (elle l'est pour presque tout A,B) dans bin des situations où 13.1 est vraie.
15/ Une confusion due à juste un manque de précision ou de rigueur fait souvent confondre les deux dans des discussions populaires. Ce n'est pas grave, mais c'est un peu une perte de temps quand les gens ne reconnaissent pas qu'ils ont confondu 13.1 avec 13.2
16/ Sur la notion de conséquence matérielle.
17/ Il ,n'existe pas de signe mathématique pour désigner le fait qu'il existerait un lien matérielle contraignant qui forcerait B à devenir vraie quand A l'est.
Cela est dû (entre autre) au fait que les énoncés mathématiques sont précis et hors du temps. Il n'y a pas de "causalité" en sciences.
Le terme générique de causalité ne peut être introduit en science qu'avec des dépendances supplémentaires au temps. La phrase A est vraie à 15h02 ne peut pas être notée A, quand on en regarde une instance ressemblante, mais évaluée à 16h14.
La localité de la RR par exemple interdit toute causalité immédiate à distance.
18/ Sur le conditionnel
19/ Le problème logique du conditionnel est un "problème non résolu" actuellement en sciences.
La phrase "s'il avait fait beau, j'aurais fait une randonnée"
n'a rien à voir avec
"s'il fait beau alors je fais une radonnée"
20/ Autres preuves: ça me coute peu cher en temps, je rappelle d'autres preuves de tout ça.
21/ nonA = (A=>Tout).
Preuve: supposons nonA, il suit nonTout=>nonA, donc A=>Tout
Réciproquement, supposons A=>Tout, il suit non(Tout) => non A, donc nonA (pour les gens qui admettent non Tout)
22/ De 21, il résulte que si nonA, alors A=>B. En effet, supposant nonA, il suit A=>Tout, donc en particulier A=>B
23/ Rappel mnémo pour les gens vraiment bouchés qui privilégient la mémoire:
23.1/ [A sans B] abrège [A et non B].
[A=>B] signifie [non(A sans ]
23.2/ Le mieux est peut-être de rappeler que (A=>B) est une abréviation aussi de $A\leq B$ dans l'identification $(1,0):=(vrai, faux)$.
24/ De 23.1/ il résulte (A=>B) = ((nonA ou (définition commandée par les programmes scolaires)
25/ Jean Coret (un logicien mort d'un cancer des poumons suite à tabagisme) m'a proposé un jour le slogan suivant: "à mes étudiants, je leur dis que "si vous avancez alors je tire" veut dire pareil que "vous n'avancez pas ou je tire". Comme ça, ils se rappellent de (24)"
Remarque : on retrouve (ce qui a été évoqué plus bas) la différence entre le sens mathématique précis et l'extension populaire fautive bien connue:
- si tu ne manges pas ta soupe, je te frappe. L'enfant mange sa soupe et pourtant, il s'en prend une (la phrase du tortionnaire ne lui a pourtant pas menti)
- si tu avances alors je tire. Le menacé avance et se prend une balle et pourtant la menace n'était pas un mensonge.
Cela provient comme chacun l'a compris du sous-entendu populaire qui met en encre blanche l'implicite "peu important". En maths, pas d'implicite. Le chantage populaire "sous-entend" une équivalence comme suit:
Fais X sinon je t'inflige Y (truc important, la menace : si tu ne fais pas X alors je t'inflige Y. Est place en implicite populaire: et si tu fais X, je serai gentil et ne t'infligerai pas Y).
Ca n'a pas lieu en maths: "si tu es plus grand que 50 alors tu es plus grand que 9" (il n'y a pas l'implicite populaire ajouté "et si tu n'es pas plus grand que 50,alors tu n'es pas plus grand que 9").
26/ Ajout d'un item 26. Ici pour les gens non convaincus par ce qui précède, voici une autre preuve.
On prouve que [(A et <=> A] si et seulement si (A=>B).
Supposons A=>B. Supposons A. Alors B, donc A et B, puisqu'on a A. La réciproque est toujours vraie
Réciproquement, supposons A=>(A et . Alors comme (A et => B, il suit A=>B
27/ Ces arguments ne passent (en apparence) par aucun des axiomes dont le peuple douterait contrairement aux matheux.
28/ Ce qui précède permet de calculer Faux=>Vrai. En effet, de 26, il découle que c'est la même chose que:
Comme (Faux et Vrai) = Faux, il suit que c'est la même chose que Faux<=>Faux, donc c'est Vrai.
L'idée est d'économiser du temps aux gens (sincères) qui abordent l'éternel serpent de mer de l'implication en leur donnant un lien à cliquer. Je ne traite que la logique classique, mais avec éventuelles allusions aux autres logiques.
1/ (A=>B) est synonyme de "si A alors B"
2/ L'axiome primordial des maths (dans toutes les logiques, même les plus faibles) est :
"pour tout X: (X=>X)"
3/ En particulier, on a
(faux=>faux) ainsi que
(vrai =>vrai)
4/ En logique classique, on considère que
[non(non(X)] = X et aussi que
(U=>V)=((nonV)=>(nonU))
5/ Les égalités sont "en dur" et jamais contestées (par qui que ce soit). A noter que ce sont les logiciens eux-mêmes qui ont "fouillé" les nuances et je ne les aborderai pas dans ce fil.
6/ Le serpent de mer évoqué sont les deux phrases génériques suivantes:
6.1/ X=> vrai
6.2/ faux =>X
7/ On sait déjà que pour 6, le problème "populaire" ne se pose que pour :
$X:=faux$ dans 6.1 et pour
$X:=vrai$ pour 6.2.
8/ Comme (faux => X) = ((nonX)=>vrai) d'après 4, il ne s'agit en fait que d'un seul et même problème.
9/ En conséquence de quoi les SEULS GENS qui peuvent "discuter" faux=>X sont les gens et seulement eux qui discutent X=>vrai
10/ Je m'adresse maintenant aux gens qui sont d'accord que
POUR TOUT NOMBRE $x: $ si $x>500$ alors $x>3$.
11/ Ils sont d'accord que
$100>500$ => $100>3$ donc pour eux le problème n'existe pas ou n'existe plus une fois lu ce point 11, puisqu'ils sont d'accord avec :
vrai est égal à
$100>500$ => $100>3$ qui est égal à
faux => vrai
De sorte qu'on a : (faux=>vrai) = vrai
12/ Un point clé souvent omis par les discuteurs est de savoir s'ils admettent ou pas qu'une phrase a une valeur de vérité dans {vrai; faux}
13/ Là, il est important de rappeler que les maths c'est précis et que les deux phrases suivantes n'ont rien à voir l'une avec l'autre:
13.1/ A=>B
13.2/ Il existe une preuve irréfutable de "A=>B"
14/ Il est tout à fait possible que 13.2 soit fausse (elle l'est pour presque tout A,B) dans bin des situations où 13.1 est vraie.
15/ Une confusion due à juste un manque de précision ou de rigueur fait souvent confondre les deux dans des discussions populaires. Ce n'est pas grave, mais c'est un peu une perte de temps quand les gens ne reconnaissent pas qu'ils ont confondu 13.1 avec 13.2
16/ Sur la notion de conséquence matérielle.
17/ Il ,n'existe pas de signe mathématique pour désigner le fait qu'il existerait un lien matérielle contraignant qui forcerait B à devenir vraie quand A l'est.
Cela est dû (entre autre) au fait que les énoncés mathématiques sont précis et hors du temps. Il n'y a pas de "causalité" en sciences.
Le terme générique de causalité ne peut être introduit en science qu'avec des dépendances supplémentaires au temps. La phrase A est vraie à 15h02 ne peut pas être notée A, quand on en regarde une instance ressemblante, mais évaluée à 16h14.
La localité de la RR par exemple interdit toute causalité immédiate à distance.
18/ Sur le conditionnel
19/ Le problème logique du conditionnel est un "problème non résolu" actuellement en sciences.
La phrase "s'il avait fait beau, j'aurais fait une randonnée"
n'a rien à voir avec
"s'il fait beau alors je fais une radonnée"
20/ Autres preuves: ça me coute peu cher en temps, je rappelle d'autres preuves de tout ça.
21/ nonA = (A=>Tout).
Preuve: supposons nonA, il suit nonTout=>nonA, donc A=>Tout
Réciproquement, supposons A=>Tout, il suit non(Tout) => non A, donc nonA (pour les gens qui admettent non Tout)
22/ De 21, il résulte que si nonA, alors A=>B. En effet, supposant nonA, il suit A=>Tout, donc en particulier A=>B
23/ Rappel mnémo pour les gens vraiment bouchés qui privilégient la mémoire:
23.1/ [A sans B] abrège [A et non B].
[A=>B] signifie [non(A sans ]
23.2/ Le mieux est peut-être de rappeler que (A=>B) est une abréviation aussi de $A\leq B$ dans l'identification $(1,0):=(vrai, faux)$.
24/ De 23.1/ il résulte (A=>B) = ((nonA ou (définition commandée par les programmes scolaires)
25/ Jean Coret (un logicien mort d'un cancer des poumons suite à tabagisme) m'a proposé un jour le slogan suivant: "à mes étudiants, je leur dis que "si vous avancez alors je tire" veut dire pareil que "vous n'avancez pas ou je tire". Comme ça, ils se rappellent de (24)"
Remarque : on retrouve (ce qui a été évoqué plus bas) la différence entre le sens mathématique précis et l'extension populaire fautive bien connue:
- si tu ne manges pas ta soupe, je te frappe. L'enfant mange sa soupe et pourtant, il s'en prend une (la phrase du tortionnaire ne lui a pourtant pas menti)
- si tu avances alors je tire. Le menacé avance et se prend une balle et pourtant la menace n'était pas un mensonge.
Cela provient comme chacun l'a compris du sous-entendu populaire qui met en encre blanche l'implicite "peu important". En maths, pas d'implicite. Le chantage populaire "sous-entend" une équivalence comme suit:
Fais X sinon je t'inflige Y (truc important, la menace : si tu ne fais pas X alors je t'inflige Y. Est place en implicite populaire: et si tu fais X, je serai gentil et ne t'infligerai pas Y).
Ca n'a pas lieu en maths: "si tu es plus grand que 50 alors tu es plus grand que 9" (il n'y a pas l'implicite populaire ajouté "et si tu n'es pas plus grand que 50,alors tu n'es pas plus grand que 9").
26/ Ajout d'un item 26. Ici pour les gens non convaincus par ce qui précède, voici une autre preuve.
On prouve que [(A et <=> A] si et seulement si (A=>B).
Supposons A=>B. Supposons A. Alors B, donc A et B, puisqu'on a A. La réciproque est toujours vraie
Réciproquement, supposons A=>(A et . Alors comme (A et => B, il suit A=>B
27/ Ces arguments ne passent (en apparence) par aucun des axiomes dont le peuple douterait contrairement aux matheux.
28/ Ce qui précède permet de calculer Faux=>Vrai. En effet, de 26, il découle que c'est la même chose que:
(Faux et Vrai ) <=> Faux
Comme (Faux et Vrai) = Faux, il suit que c'est la même chose que Faux<=>Faux, donc c'est Vrai.
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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Réponses
1/ (A=>B) est synonyme de "si A alors B"
On m'a appris que
1/ (A=>B) est synonyme de "non A ou B"
ce qui me permet de démontrer que le faux implique tout
preuve : soit B une proposition quelconque et A une proposition fausse, alors non A est vraie donc non A ou B reste vraie donc A=>B, donc le faux implique tout
Mais avec ton 1) (A=>B) est synonyme de "si A alors B"
Je ne vois pas
PS j'ai arrêté la lecture à 1)
( j’espère que je ne serais pas banni car j’évoque un truc d'un fil récemment fermé)
Et non rien à voir avec un fil ferme. J'ai fait une liste de "rappels académiques" qui pourront être mis en lien chaque fois que le serpent de mer reviendra sur le tapis.
Gebrane. C'est parce que tu vas trop vite.
Je ne comprends pas ce que tu veux dire, je me suis arrêté à la 1) . Aie pitié :-D ( à prendre dans le bon sens) de tes lecteurs qui sont des amateurs comme gebrane en logique.
Dès la première ligne , je lis
1/ (A=>B) est synonyme de "si A alors B"
et ça me choque. Si tu t'adresses dans ce fil aux logiciens chevronnés , je prends tout de suite ma valise, mais si ton but est de partager ton savoir sur le domaine et d'aider ceux qui s'initient en logique , j' y reste collé ( J'ai appris les distribution en m y collant à remarque ).
Donc question directe et sans détours . Est ce que vraiment
1/ (A=>B) est synonyme de "si A alors B"
Je suis choqué que tu sois choqué :-D
Suis-je le seul ?.
Ajout, je ne vais plus polluer ton fil, je garde le silence. Il paraît que je suis le seul à être choqué, mais je continuerai à te lire à la suite.
Tel que je comprends les choses, soit "si $A$ alors $B$" est une façon de faire des mathématiques sans utiliser les écritures formelles, et alors c'est sa définition que d'être synonyme de $A \Rightarrow B$ ; au contraire si "si $A$ alors $B$" fait référence au langage naturel, alors il me paraît difficile de parler de synonymes entre langages de natures différentes, dans certains cas, cela "colle" parfaitement mais dans d'autres cas cela colle moins bien, voire pas du tout (dans tous les cas où le "si ... alors" est porteur de causalité, ce qui est courant dans le langage naturel ce qui est souvent source d'incompréhension de l'implication))..
Aurais-je pu remplacer mon si ... alors par $\Rightarrow$ ?
Sinon (de mon téléphone), aie une lecture "simple". J'ai donné cette précision au début pour ne pas laisser des ambiguïtés, rien de plus.
La définition que tu évoquais est quasiment "la fin du discours".
J'ai écrit le post pour justement permettre à des hors matheux de ne pas se retrouver face à un "ça veut dire nonA ou B un point c'est tout".
En réalité il est probable que ce post te serve peu dans la mesure où tu es matheux du quotidien et sais déjà tout ce qui est dit là (même si tu n'aurais pas forcément pu l'écrire d'une traite).
"Mange ta soupe ou je te frappe" est compris comme un xor.
Cette confusion n'a rien à voir avec => c'est une autre homonymie. "Si tu manges pas alors je te frappe".
D'ailleurs l'exemple que vous donnez en fin de message prouve que => (des mathématiques) n'est pas synonyme de "si ..alors" (langage naturel) car dans votre exemple il y a clairement un lien de causalité que ne porte pas =>
Ce que tu as dit me convenait j'étais d'accord. Je n'ai pas fait attention à un détail, donc je précise. Il y a 4 choses:
1/ A=>B science
2/ A =>B populaire
3/ si A alors B science
4/ si A alors B peuple
On a :
1=3
2=4
4 utilisé souvent comme un "ssi"
2 presque inexistant (mais on le rencontre parfois sur des échanges SMS ou Instagram chez des jeunes utilisé avec le sens de 4
Je vois que toi tu "différencies" un peu comme suit : 3 serait plus proche de 4 que 1 n'est proche de 4.
Je suis incompétent pour trancher. Il est vrai que l'un s'exprime entièrement littérairement et pas l'autre ce qui peut influencer. Les symboles maths n'étant que peu oralises.
De mon téléphone
Pour les autres sciences, je ne sais pas, mais pour les mathématiques je pense plutôt que 1=3 et donc 1 et 3 sont aussi près de 4 l'un que l'autre.
J'aurais aussi tendance à penser que 2 est rare, et 4 polysémique. (assez proche de 1 ou très éloigné)
https://plato.stanford.edu/entries/counterfactuals/ ou mieux : https://math.berkeley.edu/~buehler/Counterfactuals Notes.pdf
En gros, l'idée d'utiliser la sémantique des "mondes possibles", telle que déjà beaucoup utilisée en logique modale, est un solide point de départ. Le nouveau symbole sensé représenter l'implication contrefactuelle (si A avait eu lieu, alors B aurait eu lieu) est d'ailleurs une fusion entre le carré modal et la flèche d'implication classique.
RIEN A VOIR.
J'en profite pour enrichir et simplifier le calcul de la TV de l'implication, car en fait une fois accepté qu'un phrase est vraie ou fausse, on n'a même pas besoin des axiomes (déjà consensuels) qui sont mobilisés dans mon 1er post.
De pour tout X: (X=>X)=vrai et (vrai=>X)=X,
que personne ne contestera jamais, on tire:
V=>V, F=>F tous deux vrais.
V=>F est faux.
(F=>V) = (F=>(F=>F)) = ((F et F)=>F) = (F=>F)=V
ce que je conteste c'est l'égalité ( ou l'équivalence ) suivante :
( P => C ) <=> ( non P OU C ) bien qu'elles aient la même table de vérité :
P.......C.........( P => C)........nonP.......( non P OU C )
1.......1..............1..................0..................1
1.......0..............0..................0..................0
0.......1..............1..................1..................1
0.......0..............1..................1..................1
EXEMPLE :
le Policier dit : si tu avance alors je tire ; " tu avance " = P , " je tire " = C : P => C
dans (P => C ) , la situation est régis par la Loi , il n'y a eu pas TIR , que quand le citoyen avance .
tandis que dans (non P OU C ) : "tu n'avance pas" = non P ; "je tire " = C dans cette situation , la conjonction "répressive" autorise le TIR
meme si "tu n'avance pas" voir les deux à la fois ( nonP et C) la situation est régis par l'anarchie
dire qu'une situation régis par la Loi est équivalente à une situation régis par le bon vouloir du Policier et l'anarchie , est absurde
CHERCHER l'erreur
vous la trouverez dans l'assertion (P faux => C vrai ) qui ne pouvait être vrai dans le bon sens :
2> 3 => 5 > 3 n'a pas de sens comment voulez vous qu' un FAUX implique du Vrais , la déductibilité ou la preuve irréfutable auront du mal à se retrouver
alors que
2 > 3 => 3 > 5 ça a comme même du sens ,un Faux implique un Faux on reste dans la même nature des choses , la déductibilité ou la preuve irréfutable seront vite trouvées en restant bien sur dans ce nouveau cadre qui cache d'autres Axiomes ..
BERKOUK
(p=>q) = (non p ou q) est une définition mathématique de p=> q.
Si tu n'es pas d'accord, alors tu utilises p=> q dans un sens qui n'est pas celui des mathématiques.
Dans l'exemple que tu cites, je conteste l'idée que "si tu avances, je tire" soit l'expression de la Loi. Ce n'en est qu'un sous-ensemble insuffisant.
Le fait que le sens commun de "implique" soit différent du sens mathématique a sa racine dans deux confusions faites fréquemment par le sens commun :
- confusion entre une implication et une équivalence
"Si tu ne manges pas ta soupe, tu seras frappé." est compris à tort par l'enfant comme signifiant également "Si tu manges ta soupe, tu ne seras pas frappé." C'est une erreur. Il confond implication et équivalence.
- affirmation erronée de l'antécédent
Si je dis p=> q, je n'affirme pas p, je ne dis rien quant à sa vérité.
Pour démontrer q à partir de p, j'ai besoin de trois étapes:
- p est VRAI
- p=>q est VRAI
- DONC q est VRAI
Sur le fait que FAUX => VRAI. Cela est bien expliqué plus haut par Christophe C.
Cela découle du principe bien connu en latin "ex falso quod libet" (du faux découle ce qu'on veut), que tu peux voir ici sur Wikipedia. Regarde leur illustration.
Cordialement
Faut-il redire que le fonctionnement des mathématiques n'est pas le fonctionnement de la langue (français ou autre) ? Que "ou" n'a pas le même sens dans le texte mathématique que sur le menu du restau ("fromage ou dessert") ?
Mais évidemment, le non mathématicien qui se pique d'avoir prouvé ce que les mathématiciens ne savent pas prouver intervient pour redire qu'il n'applique pas les règles mathématiques. Comme dans sa "preuve".
Je rappelle mon argument d'ici, que je ne peux pas copier-coller ici : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?43,2239266,2239854#msg-2239854
Il y a 16 opérations qui associent à un couple de booléens un troisième.
Parmi eux, l'équivalence $A\Leftrightarrow B$ est facile à reconnaître.
Il y a 2 de ces opérations, symétriques l'une de l'autre qui sont telles que $$\big([A\Rightarrow B] \wedge [A \Leftarrow B] \big) \Longleftrightarrow [A\Leftrightarrow B]$$
Du coup, on les interprète comme l'opérateur "implication", et la liste des 16 opérations est complète. C'est tout.
Si certains utiliser le même symbole $\Rightarrow$ et le même nom "implication" pour autre chose, tant pis, mais l'intérêt de venir bavarder pendant des pages pour tenter de modifier une définition aussi simple et répandue m'échappe un peu.
Un prédicat sur un ensemble $E$ correspond à un sous-ensemble $X\subset E$. L'implication correspond à l'inclusion des sous-ensembles. C'est tout.
(*) j'écris légende, car je ne suis même pas sûr qu'elle eut des enfants.
Le fait que (P=>Q) = ((nonP) ou Q)
n'est ni une convention, ni une définition, mais un théorème que j'ai prouvé dans les posts que tu n'as pas lus.
Il est aussi important de préciser qu'aucun mathématicien ne se serait jamais hasardé dans le passé à "décréter" purement et simplement le sens de P=>Q, dans la mesure où il s'agit d'un truc "trop important" pour être géré par un simple convention.
Je te redonne une preuve adaptée à toi:
Suppose P=>Q, ainsi que non((nonP) ou Q). On a donc P ainsi que (nonQ).
Alors, du fait que P et (P=>Q), tu as Q. Tu obtiens donc Q et nonQ, c'est à dire une contradiction. Cela démontre que de P=>Q on peut déduire ((nonP) ou Q)
Réciproquement,
- suppose Q. Alors P=>(P et Q), donc P=>Q, puisque (P et Q)=>Q
- suppose non P. Alors (nonQ)=>((nonQ) et (nonP)), donc (nonQ)=>(nonP), et finalement P=>Q
Finalement de ((nonP) ou Q), on peut déduire (P=>Q)
Si tu veux contester, propose un point précis de la preuve ci-dessus, sinon je ne réagirai pas.
Soit $E$ un ensemble et $A,B\subset E$.
Penses tu que l'affirmation $$
\mathcal{A} : \ \big([\forall x\in E, \quad x \in A \Rightarrow x\in B] \quad \Longleftrightarrow \quad [A \subset B]\big)
$$ soit vraie ?
Penses-tu que ce soit un théorème sur $\Rightarrow$ ou bien une définition de $\Rightarrow$ ?
$$
[A\subset B]
$$ est une abréviation de
$$
[\forall x : (x\in A \Rightarrow x\in ]
$$ (Je ne sais pas si tu accordais de l'importance à ton "E", je ne l'ai pas traité exprès, ne sachant ta volonté)
Évidemment, j'adressais le post d'avant à BERKOUK. J'essaie d'adapter à mes interlocuteurs. Il est connu qu'on part toujours d'axiomes, de définitions.
Comme tu réagis, je redis que (selon moi) quand on va aller chercher un mot IMPORTANT de la vie courante, on va éviter d'être arbitraire. En l'occurrence ici, il s'agit de préciser ce que veut dire "si .. alors .." qui est énormément utilisé dans la vie courante hors science.
Il était donc nécessaire de ne pas changer le sens.
Bien que j'ai déjà traité ce point, je vais maintenant me répéter sur l'erreur faite par BERKOUK et d'autres concernant le "sens dit populaire".
Dans de nombreuses situations populaires, il y a une confusion (formelle) entre :
OR et XOR
et aussi entre "=>" et "<=>".
C'est LA MÊME confusion, ie c'est la confusion entre d'une part la phrase
(non A) XOR B
et la phrase
(non A) OR B
Cette confusion n'a rien à voir avec un problème qui concernerait l'implication. Dans des situations impératives** où des "menaceurs" utilisent la phrase :
(non A) XOR B, il est utile de rappeler qu'ils énoncent souvent oralement le but
$A\iff B$,
mais SE TROMPENT en disant
$A\Rightarrow B$
car considèrent que la réciproque $B\Rightarrow A$ est IMPLICITE.
J'insiste bien qu'il n'y a RIEN DE PLUS ici et que ce N'est PAS un problème qui concerne l'implication, mais un problème d'homonymie qui concerne les IMPLICITES de la vie populaire. Un petit exercice facile consiste à faite une liste de 100 implicites populaires de nature différente qui permettrait de voir la grande variété des sous-entendus.
Un exemple "célèbre" que j'ai déjà souvent donné est la confusion entre [LE MOT D.I.E.U] (qui est sujet du verbe exister et Dieu elle-même).
Par exemple, comme déjà dit bien souvent dans les 3 phrases suivantes:
(1) Paris existe
(2) Paris est une grande ville
(3) Paris contient 5 lettres
Ce sont les phrases (1) et (3) qui ont le même sujet, qui est différent du sujet de la phrase (2).
Or si tu donnes à un panel de population l'exercice de regrouper ces 3 phrases en groupe de phrases ayant le même sujet, les gens se tromperont dans plus de 80% des cas et mettront ensemble (1) et (2), et mettront (3) à part à cause de l'implicite devenu finalement invisible. Pourtant pas d'implication.
[small]** Exemple:
Toto dit si Bob mange cette pomme, je le tuerai.
On constate ensuite que Bob NE mange PAS la pomme
Pourtant, Toto tue quand-même Bob.
Le sens populaire (qui avait implicitement admis que la réciproque "si Bob ne mange pas la pomme Toto ne le tuera pas") va accuser Toto de trahison et pourtant, sur le plan mathématique, Toto n'a pas menti. On peut même PROUVER qu'il n'a pas menti.[/small]
Quasiment SANS AXIOME on peut prouver la table de vérité de "=>", ce qui montre qu'il n'y a rien de conventionnel ou d'arbitraire dans la définition donnée en cours de maths de ce connecteur. CEPENDANT, on admet une chose: c'est que toute phrase est vraie ou fausse***.
Dans les habitudes populaires (en dehors des implicites déjà signalés), il y a parfois (même si c'est moins répandu et chaque fois que je l'ai rencontré "de mauvaise foi") des gens qui "voudraient" que le connecteur soit tel que
(A=>B) ne soit pas forcément une phrase (et donc n'ait pas de valeur de vérité).
Il s'agit d'une confusion connue avec le mot "donc". L'expression "A donc B" n'est pas une phrase. C'est un raisonnement. Il n'a pas de valeur de vérité.
Je rappelle le lien entre les deux mots.
Quand vous écrivez "A donc B", c'est une manière raccourcie (abréviation) de dire que vous supposez A=>B. Cela évite de le mettre en axiome, puisqu'on le voit lors de la lecture du donc.
Autre signalement que je n'ai pas fait (mais là, c'était volontaire), est le fait que beaucoup de gens CONFONDENT (là encore par abus de langage), A=>B et $A\subset B$.
Cela provient de ce que trop de matheux omettent le $\forall $ devant leur affirmation que
$A(x)\Rightarrow B(x)$.
Cette "saleté" (si j'ose dire) est vraiment énormément répandue et obstinée, d'où que j'utilise le mot "saleté" car on voit parfois carrément des "crispations" (tout simplement des gens qui défendent leur bifteck et se disent "si je cède, je devrai passer ma vie à rajouter les $\forall$ manquant, c'est hors de question")
Une remarque car Cyrano l'a évoqué: la "meilleure" mais pas du tout correct "tentative" de formaliser le conditionnel est de considérer que la phrase
"s'il avait fait beau, j'aurais nager"
comme une abréviation de la phrase
"dans TOUS les mondes où il a fait beau, j'ai nagé"
En langage savant, on appelle parfois ça "utilisation des modèles de Kripke pour réaliser ceci cela (ici le conditionnel".
Pour des raisons quantiques (ou par simple réflexion) ce n'est hélas pas correct, même si dans une bonne proportion d'exemples c'est une assez bonne traduction.
*** dès lors on a:
$(V\to V) = (F\to F) = V$
$(V\to F) = F$
$(F\to V) = (F\to (F\to F)) = ((F\wedge F)\to F) = F\to F = V$
et j'attire l'attention sur le fait qu'on a en fait:
$(V\to V) = (X\to X) = V$
$(V\to X) = X$
$(X\to V) = (X\to (X\to X)) = ((X\wedge X)\to X) = (X\to X) = V$
et qu'il n'y a rien besoin de savoir à propos du faux, qui pourrait bien être n'importe qui.
$p \Longrightarrow q \vdash \neg p \lor q$
Est ce que c'est un théorème, si oui comment le démontrer ?
Merci
Je suis fautif car n’ai pas tout lu.
Mais ton point 10/ et ton point 11/, ce n’est pas si simple.
Je connais plein de gens qui sont d’accord avec :
Quel que soit x, si x>100 alors x>5
Mais ces mêmes gens ne seront pas d’accord pour remplacer x par 10 et déclarer :
si 10>100 alors 10>5.
C’est un peu comme un argument d’autorité (pour eux !) même si on leur répète « mais t’étais d’accord que ce soit vrai pour tout x alors bon sang de bon soir c’est donc valide pour x=10 ».
Je le répète ce n’est pas si simple pour ces personnes.
@dom: c'est qu'ils ne sont pas d'accord avec la définition de forall.
Je suppose (A=>B).
Je te prouve qu'on a (nonA) ou B
Supposons que non. Alors A. Donc B.
Pour comprendre mon souci cc, voila
J'ai lu que c'est un théorème qui dépend de la loi du milieu exclu .
Ce dernier est l'un des axiomes de la logique qui a été déterminé par Aristote , et fait partie de la colonne vertébrale de la logique classique (aristotélicienne) .
Cependant, l' école intuitionniste rejette la loi du milieu exclu comme un axiome logique valide. Cela invalide à son tour ce théorème d'un point de vue intuitionniste .
Sache que $A\vdash B$ équivaut à $\vdash (A\to $, donc je t'ai répondu. Et oui, je te confirme qu'on utilise non(non(A)) =>A (donc que ce n'est pas intuitionniste).
Je ne sais pas si ma contribution sera utile, normalement je n'ai pas trop le niveau pour poster dans le coin mais bon dans shtam, ça passe.
Je l'avais fait ailleurs avec le calcul des séquents alors je le recopie, en logique classique, on peut faire
$A \vdash A$ _______ $B \vdash B$
$A \vdash A,B$_____ $A,B \vdash B$
$A, A=>B \vdash B$
$A=>B \vdash B, \lnot A$
$A=>B \vdash B \lor \lnot A$
$\vdash (A=>B) => (B\lor \lnot A)$
_______________$A \vdash A$
$B \vdash B$________ $A \vdash A,B$
$B, A \vdash B$ ____ $\lnot A, A \vdash B$
$B\lor \lnot A, A \vdash B$
$B\lor \lnot A \vdash A=>B$
$\vdash (B\lor \lnot A) => (A=>B)$
Si j'ai bien compris, ce qui n'est pas sur du tout, en logique intuitionniste, on n'a pas le droit d'avoir plusieurs éléments à droite des séquents comme dans l'étape en rouge ce qui justifie qu'on a uniquement $(B\lor \lnot A) => (A=>B)$ et pas la réciproque
Tu as donc eu PARFAITEMENT RAISON d'intervenir. A mon avis ça fera grand plaisir à gebrane, qui est matheux et voulait peut-être du détail formel. Par contre sur Jp2021 et Berkouk, on va dire que j'ai plus de doute.
Et oui, tu as raison que LA SEULE REGLE qui change c'est qu'on ne peut mettre qu'au plus une phrase à droite de $\vdash$ en logique intuitionniste.
Pour info, en logique classique, tu as les très rigolo :
$$
A\vdash A \\
A\vdash A,B \\
\vdash A, A\to B \\
\vdash A\vee(A\to \\
$$ qui est un "sacrilège absolue" vu par l'intuitionnisme:-D
Si tu acceptes que $\forall X: [(nonX)=(X\to Tout)]$, je te tape ci-dessous une preuve que tu peux déduire [(nonA) ou B] de $A\to B$.
Je me contente de prouver que ([(nonA) ou B] =>Tout) =>Tout.
Supposons ([(nonA) ou B] =>Tout)
Alors B=>Tout, or comme A=>B, donc A=>Tout, donc nonA, donc [(nonA) ou B].
Or comme ([(nonA) ou B] =>Tout), il suit que Tout.
C'est inquiétant que je sois plus facilement comprise par un logiciel que par un individu mais tant pis, je vais faire avec.
Merci pour ton accueil.
Mais à nouveau je te rappelle que ça, c'est juste "du sport logique". Dans un débat politique ultraexigeant entre des gens de mauvaise humeur et peu enclin à faire l'effort de travailler, il reste que l'axiome toute phrase est vraie ou fausse est le mieux pour éviter d'autres axiomes.
Car des deux évidences absolues qui suivent, pour toutes phrases :
(Si A alors si B alors C) = (Si (A et alors C)
(A et A) = A
Tu déduis la table de vérité de => sans aucune hypothèse sur faux et juste l'hypothèse que pour tout Z: (Z=>Z) = vrai et (vrai=>Z)=Z
Bin, c'est surtout que tu as utilisé des règles logiques professionnelles avec des symboles professionnelles, c'est tout. A noter que la règle :
$$ \frac{A;B;C\vdash D;E}{A;C\vdash D;B\to E} $$
n'est de toute façon pas d'une grande "popularité". Sa justification vient du fait que tacitement :
$$ [A;B;C\vdash D;E] = [A;B;C; nonD \vdash ;E] $$
qui n'est rien d'autre qu'une affirmation du genre $((A\wedge \to (C\vee D))=((A\wedge B\wedge (nonC))\to D)$
qui est EXACTEMENT*** ce que tu veux prouver dans le contexte (autrement dit, tu signales que l'énoncé est une règle, mais ça ne justifie pas la règle)
*** prendre A:=B:=vrai
Son problème n'étant pas qu'il n'était pas d'accord avec la règle au sens logique mais qu'il voulait absolument dire que ce n'était pas la même règle pour faire des démonstrations.
A mon avis, mais ce n'est que mon avis, ce qui bloque vraiment, c'est que certains confondent l'implication et la déduction modus ponens sans en avoir conscience.
De la négation de (B ou nonA), tu déduis A et nonB, autrement dit non (A=>
Contraposee et hop.
- Si Oswald n'a pas tué Kennedy, quelqu'un d'autre l'a fait !
- Si Oswald n'avait pas tué Kennedy, quelqu'un d'autre l'aurait fait !
où on voit bien que le conditionnel et l'indicatif, ce n'est pas la même chose.
A) l'assertion "Faux => P" peut être Vrai ou Fausse tant qu'il n'EXITE pas de raisonnement qui mène de Faux à P.
1° - "Faux => P" VRAI exemple : X > 5 => X^2 > 5 ( contre -exemple : X =-3 )
2° - "Faux => P" FAUSSE exemple : X > 5 => X^2 > 5 ( contre -exemple : X =-1 )
3° - "Faux => P" VRAI et FAUSSE exemple : (0+1+2+......) => Somme positif ( S= n.(n+1) /2 )
............................................................................. : (0+1+2+......) => Somme négatif ( S = -1/12 )
on introduit le tierce exclu et on quitte la Logique classique .
pour réintégrer la Logique classique , on doit émettre l'Hypothèse ( ou Axiome ) qu'il EXISTE un raisonnement qui mène de Faux à P
( pour vérifier si " Faux => P " EST vrai ou fausse ) :
soit R = " raisonnement .." d'une valeur de vérité 1 si il conduit à ce que "Faux =>P " est vrai sinon = 0 si "Faux =>P " est fausse.
( Faux => P ) devra être liée par une conjonction et devenir ( Faux => P) et R
BERKOUK
ou est le raisonnement dans ceci ? :
3 < 1 => le train sifflera 3 fois
BERKOUK
…
Là vous proposez des affirmations.