Les cluster_seed cad les clusters contenant un $n_{seed}$ contiennent très peu de $n$
cela varie de 1 à 21 éléments
les clusters_seed ne contiennent pas de $n$ de la forme $8x+5$ sauf si
ces clusters sont contiennent le $D(n)$ (ils ont un seul élément, $i(n)=1, p(n)=0$
D(n)___________cluster
5______________1_0_5_5
21_____________1_0_21_7
85_____________1_0_85_9
341____________1_0_341_11
1365___________1_0_1365_13
5461___________1_0_5461_15
21845__________1_0_21845_17
87381__________1_0_87381_19
A part ces 8 clusters, tous les clusters_seed ne contiennent pas un $n$ de la forme $8x+5$
@ PMF: il y a peut être une réponse à ta remarque sur la quasi - absence de 8n+5 comme n seed. Il faudrait donner, par ordre croissant du nombre de descentes : le nombre d'impairs dans le cluster seed, et le nombre d'impairs dans le cluster juste avant le cluster seed ( 1 montée de moins ).
Sinon, la prépondérance du 8n+5 s'explique facilement, sa proportion doit avoir comme limite 9/16. Attention: ce 9/16 est pris dans l'ensemble de tous les clusters limité à un nombre de descentes donné, ce qui ne correspond peut être pas à ton étude.
Il faudrait donner, par ordre croissant du nombre de descentes : le nombre d'impairs dans le cluster seed, et le nombre d'impairs dans le cluster juste avant le cluster seed ( 1 montée de moins ).
le pdf joint donne la sélection dans la bdd par rapport à ta demande. Certains clusters_seed n'ont pas de prédécesseurs avec 1 montée de moins.
Mais j'ai laissé tous les cas par ordre croissant du nombre de descentes.
Note 1 : pour avoir une montée de moins je cherche un cluster qui commence par $i(n)-1$ et le même $p(n)$
Note 2 : en appliquant cette règle, certains prédécesseurs n'ont pas le même $D(n)$
Je te laisse nous donner une interprétation de ces données.
L'explication est beaucoup plus triviale.
Si $n$ est de la forme $8x+5$, alors $n$ s'écrit $n= 4(2x+1)+1$, et donc le nombre $n'=(n-1)/4$ est lui aussi un entier impair.
Cet entier n',
- soit il est dans la série 5, 21, 85, 341, 1365 etc (les nombres qu'on appelait souches à une époque). Et dans ce cas, notre nombre $n$ est bien le premier d'une série.
- soit $n'$ n'est pas dans cette série, et dans ce cas, ça veut dire que le cluster de $n$ n'est pas un cluster seed, c'est le cluster de $n'$ qui est seed (ou un autre cluster, encore en amont de ce cluster)
Rappel : si n' est un nombre impair (nm, nd, last) alors 4n'+1 est dans le cluster (nm, nd+2, last)
Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
Un cluster a une amplitude limitée. Maximum 16% d'écart entre le min et le max, et souvent beaucoup moins sur les petits clusters. Donc effectivement, la probabilité qu'il y ait une puissance de 2 qui vienne se glisser dans cet intervalle est faible.
Mais tu pourrais tout aussi bien dire :
On regarde la suite 3 6 12 24 48 .... $3*2^m$ , alors en général, un cluster est compris entre 2 éléments successifs de cette suite.
Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
Voici une possibilité de trouver parmi les $n$ d'un cluster quelconque, quel est la valeur du $n_{seed}$ et quel est le $n$ prédit
Comme on le voit sur l'exemple joint, la colonne verte est destiné aux $n$ d'un même cluster.
Dans cet exemple j'ai choisi au hasard le cluster 14_29_341_53
1) les chiffres qui apparaissent dans la partie en gris clair sont le résultat de cette formule Excel
=SI(n<>"";SI((n-(2^(2*k)-1)/3 )/4^k=ARRONDI((n-(2^(2*k)-1)/3 )/4^k;0);(n-(2^(2*k)-1)/3 )/4^k;"");"")
Bien sûr dans cette formule, chaque $n$ et $k$ est relatif à sa ligne et à sa colonne
Les résultats s'affichent selon le calcul de ((n-(2^(2*k)-1)/3 )/4^k seulement si le résultat de ce calcul est entier.
2) on calcule la forme 8x de chaque $n$ avec la formule Excel : SI(n<>"";"8x+"&(n/8-ENT(n/8))/0,125;"")
3) Dans la colonne $n_{seed}$, on ne retient que le plus petits des résultats de la ligne des calculs si la forme 8x est 8x+5
Excel : SI(forme 8x ="8x+5";MIN(ligne des résultats);"")
4) Puis on ne garde que le plus petit résultat de cette colonne : ici c'est 1783 affiché en jaune au-dessus de $n_{seed}$
5) Dans la colonne "predicted n" , on va sélectionner le $n$ dont le résultat de l'étape 3 est égal au $n_{seed}$
ici c'est 114133 qui correspond au $n$ de la quatrième ligne; et on peut donc l'afficher en haut à coté de 1783
Aussi étonnant que cela soit, ce finder de $n_{seed}$ marche sur tous les clusters que j'ai testés. à condition qu'il n'y ait pas concurrence entre plusieurs possibilités comme dans la 2ème illustration !
car dans ce cas c'est 207 et $n=3317$ qui est la bonne réponse
Tout ça est bien compliqué. il y a une fonction Excel beaucoup plus simple qui donne exactement la même chose : mod(n,8)
En arithmétique, on appelle ça le modulo : 114811=3 [modulo 8]
Ta capacité à t'étonner m'étonnera toujours. Tu dis : je définis n_seed comme le plus petit entier qui vérifie 2 ou 3 critères... et quand tu calcules ce n_seed, et que tu retombes sur ce que tu as défini, tu t'étonnes que ça marche.
Ici, dans la partie en gris clair, regarde les cas où tu as des données, et par différence, les cases vides. Que ce soit la colonne k1, k2 ou k3, les cases vides sont 'globalement' vers le bas, et par différence, les cases remplies sont 'globalement' vers le haut.
Je dis ça pour revenir sur une question qu'on a déjà évoquée plusieurs fois.
Et l'autre propriété qui va avec : en haut de ton tableau, les différences entre 2 termes consécutifs sont de l'ordre de 2, 4, 6 et en bas du tableau, on voit des différences de 110 puis 160.
Bien entendu, ces 2 propriétés, tu vas les retrouver sur n'importe quel (gros) cluster, sinon je n'en parlerais pas.
Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
la phrase du jour ;-)
à part ça bravo pour l'analyse !
Il y a effectivement une caractéristique des clusters : le dernier $n$ ou la fin de la liste est souvent bien plus décalé que le début de la liste.
par exemple dans le cluster 12_25_5_41,
813____817____819____827____837____841____843____845____863____911
_________4______2______8_____10______4______2______2_____18_____48
on voit bien que 911 est nettement décalé, et 863 aussi.
Mais ce "finder" a quand même encore besoin de mise au point ...
car dès que j'ai trop de concurrence, il patine dans la choucroute (voir exemple joint)
$\dfrac{n+3}{8} \,$ est-il entier ? Oui : $n$ est un $n_{seed}$. Non : $n$ n'est pas un $n_{seed}$.
$\quad$
Dans ce qui suit j'utilise l'opérateur logique de négation pour désigner non $n_{seed}$, à savoir $\neg n_{seed}$ (qui en LaTeX s'écrit \neg).
Relation entre $n_{seed}$ et $\neg n_{seed}$ pour $x$ donné :
@ PMF: dans ton vocabulaire le n seed, c'est bien, pour un nombre de descentes donné, celui qui monte le plus souvent ? Ce n'est pas, pour un nombre de montées donné, celui qui descend le moins ?
Tu l'as écrit, mais j'ai besoin que tu le confirmes.
@ PMF: dans ton vocabulaire le n seed, c'est bien, pour un nombre de descentes donné, celui qui monte le plus souvent ? Ce n'est pas, pour un nombre de montées donné, celui qui descend le moins ?
le $n_{seed}$ est un $n$ qui permet de calculer la formule :
$\Large n_{predit} = 4^k*n_{seed}+\frac {2^{2k}-1}{3}$
le cluster qui contient $n_{seed}$ est un cluster_seed
c'est un cluster qui pour un nombre i(n) donné associé la plus petite valeur de p(n)
OK, j'avais mal compris. Alors il est évident que le n seed n'est jamais un 8k+5. Mais j'aurai d'autres choses à dire pour la suite. Merci en tout cas pour les valeurs fournies.
Je ne suis pas loin de penser que le $n_{seed}$ est le "nombre premier" des suites de Collatz
Si les $n_{seed}$ sont très abondants quand $n$ est petit : il y en a 50% pour $n<=293$
ils se "raréfient" rapidement dès que $n$ grandit : pour $n<=200001$, il y en a 562/100.000 soit moins de 1%
Avant de penser à un " théorème de la raréfaction des $n_{seed}$"., il serait intéressant de faire un test de primalité dédié aux $n_{seed}$
la seule chose que nous savons aujourd'hui est que le $n_{seed}$ n'est pas un $8x+5$ et qu'il est évidemment l'élément-clé de la formule :
$\Large n_{predit} = 4^k*n_{seed}+\frac {2^{2k}-1}{3}$
Si un cluster_seed est constitué d'un ensemble de $n$,
comme par exemple le cluster_seed 12_23_5_3 du $n_{seed}=203$ contient les $n : 203, 209, 211$ Alors tous les clusters dérivés de ce cluster_seed auront une valeur de $k <>0$ telle que :
$(n-(2^{2k}-1)/3 )/4^k$ donne au moins un des éléments du cluster_seed
12_25_5_41 : pour k=1 : 203, 209, 211 si $n$ est de la forme $8x+5$
12_27_5_43 : pour k=2 : 203, 209, 211 si $n$ est de la forme $8x+5$
12_29_5_43 : pour k=3 : 203, 209, 211 si $n$ est de la forme $8x+5$
12_31_5_43 : pour k=4 : 203, 209, 211 si $n$ est de la forme $8x+5$
Il faudrait évidemment faire une vérification sur toute la bdd pour le confirmer.
il s'agit effectivement de trouver un test de $n$ pour savoir si c'est de manière sûre un $n_seed$
la difficulté est que les $n_seed$ deviennent rares quand $n$ grandit
par exemple entre 194435 et 199589, il n'y a aucun $n_seed$
et pourtant parmi ces $n$ il y a tous les types de 8x (donc le test ne peut pas trop se fier que sur ces types)
Si tu as une idée pour créer ce test, cela peut être très utile.
1)the Condensed Collatz tree (nodes containing only odd numbers) build with the condensed Collatz function $\frac{3n+1}{2^k}$
voir le tableau joint fait en utilisant cette formule : $D(n)$ en jaune et $n{seed}$ en bleu
@collag3n : cet article tape effectivement dans le mille des mes questions actuelles :
je me demande si ce qui est appelé "root" ne serait pas mon $n{seed}$ ?
Je vais appliquer les formules dans ma bdd pour vérifier, mais pourrais-tu nous dire ce que tu en penses ?
$n_{seed}=\dfrac{m\,(2\,n\,(7-3\,m)+m-3)}{6}\,$, avec $n$ impair et $m=n \bmod 3$
Cette formule renvoie le plus petit prédécesseur de $n$, ce que tu appelles $n_{seed}$. Si on remplace $n$ par 1, 3, 5, 7, ..., 19 on obtient la liste des 10 premiers $n_{seed}$ : 1, 0, 3, 9, 0, 7, 17, 0, 11, 25. Le zéro signifie que $n$ est un multiple de 3 (c'est-à-dire les nombres 3, 9, 15, ...).
Je me suis mélangé les crayons : comme je l'ai dit plus haut, les nombres de la forme $8\,x-3$ ne sont justement pas des $n_{seed}$. Aucun des termes de la liste que je viens de générer n'est de cette forme. Alors tu avais raison, il va falloir trouver un test.
EDIT : en fait le test est simple et exactement le contraire de ce que j'ai dit plus haut : si $(n+3)/8$ est entier, alors $n$ n'est pas un $n_{seed]$.
il apparaît que cette formule est un évaluateur de l'ordre de grandeur des $n$ des clusters dérivés du cluster_seed
on notera dans ce tableau que le cluster_seed correspond toujours à $k=0$, et que les clusters se déclinent en $k+2$
Je reviens sur ce que tu disais ci-dessus. De 194435 à 199589, inclus, il y a 2578 nombres impairs, parmi lesquels 1933 sont des $n_{seed}$. Exemples : 194435, 194439, 194441, 194443, 194447, 194449, 194451, 194455, 194457, 194459,
194463, ..., 199561, 199563, 199567, 199569, 199571, 199575, 199577, 199579, 199583, 199585, 199587.
Comment savoir si ces nombres sont réellement des $n_{seed}$ ? Il suffit de calculer le successeur de chacun d'eux puis de calculer le plus petit prédécesseur de celui-ci. Exemple avec 194435, le premier de la liste. Son successeur est 291653. Dans la formule que j'ai indiquée plus haut on remplace $n$ par 291653, ce qui donne son plus petit prédécesseur ... qui est 194435. Par conséquent, 194435 est un $n_{seed}$.
Le successeur de $n_{seed}$ est $(3\,n_{seed}+1)/2^u$, avec $u=\,$1 ou 2. Si on remplace $n_{seed}$ par la formule ci-dessus on obtient
Je prends $n_{seed}=53$, sachant qu'étant égal à $8 \times 7-3$ il n'est pas un $n_{seed}$. Son successeur est 5. Je pose $n=5, m=2$ dans le membre de droite de l'égalité, ce qui donne 10. Puisque $3 \times 53+1 \ne 10$ je sais que 53 n'est pas un $n_{seed}$. Si j'avais pris $n_{seed}=3$, dont le successeur est toujours 5, j'aurais obtenu $10=10$, preuve que 3 est bien le plus petit prédécesseur de 5.
Même calcul avec le premier nombre de la liste ci-dessus, 194435, dont le successeur est 291653. Je calcule le second membre de l'égalité avec $n=291653, m=2$, ce qui donne 583306. Je sais que 194435 est un $n_{seed}$ puisque $3 \times 194435+1=583306$. 194435 est bien le plus petit prédécesseur de 291653.
La définition d'un $n_{seed}$ est la suivante :
En considérant :
$i(n)$ le nombre d'étapes impaires entre $n$ impair début d'une suite de Collatz et $D(n)$ qui est la dernière étape impaire avant 1;
$p(n)$ le nombre d'étapes paires entre $n$ impair début d'une suite de Collatz et $D(n)$ qui est la dernière étape impaire avant 1;
il existe deux $p(n)$ minimum pour chaque valeur de $i(n)$ car il y a un $p(n)$ minimum pair et un impair
Le cluster qui s'écrit $i(n)$_$p(n)_{min}$_$D(n)_{correspondant}$_$t(n)$ est un cluster_seed.
Exemple
$i(n)$ =12
$p(n)$ minimum pair = 22
le cluster_seed est : 12_22_5_38
$p(n)$ minimum impair = 23
le cluster_seed est : 12_23_5_39
Dans ces cluster_seed, on va trouver un $n$ qui est le plus petit des $n$ de ce cluster : c'est le $n_{seed}$
sachant qu'il ne peut y avoir qu'un seul élément dans ce cluster qui devient donc le $n_{seed}$.
dans 12_22_5_38 il n'y a que 105, donc c'est le $n_{seed}$
dans 12_23_5_39 il y a 203, 209 et 211 et le $n_{seed}$ est 203
Si tu lis bien la def, je pense que ce $n_{seed}$ n'est pas facile à trouver par une formule , voire impossible.
En fait la seule méthode qui marche est une variante de crible d’Ératosthène pour les premiers : c'est un algorithme ou une méthode de filtrage par élimination.
les 562 nseed de la bdd sont (en excluant les D(n)) :
Ces 562 nombres sont tous le plus petit prédécesseur d'un nombre impair $n$. Pas une seule exception ! J'en déduis que nous avons la même définition de $n_{seed}$ mais que tu ne comprends toujours pas ce que ce mot désigne.
Il n'y aucune raison d'exclure volontairement les différentes valeurs de $D$, puisque hormis 1, qui est son propre plus petit prédécesseur, aucune d'elles n'est un $n_{seed}$.
Il te manque 1, 51, 59, 81, 89 et 99, c'est-à-dire environ 1/6ème de leur nombre. Sur 562 on peut donc estimer qu'il en manque 93. Où sont-ils passés ?
je pense que ce $n_{seed}$ n'est pas facile à trouver par une formule, voire impossible.
Mes précédents messages invalident cette affirmation. Je t'engage à les relire.
Pour ce qui est de ta formule de $n_{prédit}$, je t'ai déjà expliqué je ne sais combien de fois que si tu remplaces $n_{seed}$ par $n$, alors $n_{seed}$ est le plus petit prédécesseur de $n$ et les $n_{prédit}$ sont les suivants.
Exemple : $n=11$. En faisant varier $k$ de 0 à 9 on obtient 7, 29, 117, 469, 1877, 7509, 30037, 120149, 480597, 1922389, qui sont les 10 premiers prédécesseurs de 11, avec 7 étant le plus petit, le fameux $n_{seed}$. Pourquoi est-ce aussi difficile à comprendre ?
non désolé mais je ne te suis pas. SI tu avais une solution valide, je l'aurais intégrée depuis longtemps.
Que tu le crois ou pas, j'essaie tes formules mais comme cet apm cela ne correspond pas à ce que je cherche.
51, 59, 81, 89 et 99 ne sont pas dans "ma liste" de $n_{seed}$ pour une raison simple
51 est dans le cluster_seed 7_13_5_24 mais il y a 49 aussi qui est plus petit
59 est dans le cluster_seed 10_18_5_32 mais il y a 57 aussi qui est plus petit
pour 81 il est dans le cluster 6_12_5_22 et son cluster seed est 6_10_5_20 : on voit bien que pour $i(n)$ = 6 il y a un $p(n)$ =10 qui est plus petit que 12...
J'étais surpris par ce nombre de 562 $n_{seed}$ ; sachant que pour un certain nombre d'étapes impaires, on a 2 $n_{seed}$ seulement, ça sous-entendait qu'on ait des nombres avec 562/2=281 étapes impaires... ça me paraissait énorme.
Après vérification, le nombre max d'étapes impaires pour un entier inférieur à 200000, c'est 141.
Mais, fausse interprétation.
Pour un certain nombre d'étapes impaires, et pour un Last_impair fixé ( 5,85, 341 etc etc ), on a 2 $n_{seed}$ , et donc $2 n_{seed}$ maximum quand on se limite aux entiers inférieurs à 200000. Mais le dernier impair peut varier ..
Du coup, je confirme ce comptage de 562 $n_{seed}$, et la liste associée.
Dans un environnement SGBD, ma requête est :
select * from syrac a
where mod(i0,2) = 1
and i0 < 200000
and not exists ( select * from syrac b where b.nm = a.nm and b.nd = a.nd and b.i0 < a.i0 and b.last_impair = a.last_impair and mod(b.i0,2) =1 )
and not exists ( select * from syrac b where b.nm = a.nm and b.nd = a.nd-2 and b.i0 < a.i0 and b.last_impair = a.last_impair and mod(b.i0,2) =1 )
order by i0
Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
Ta méthode de vérification étant totalement indépendante de mon modèle, nous avons donc une confirmation que $n_{seed}$ et $D(n)$ sont les éléments de classification de tout $n$ en fonction de ses propriétés de cluster $i(n)$ et $p(n)$.
Reste une démonstration à venir montrant pourquoi la formule du modèle va toujours atteindre un $n$ dans un cluster décliné du cluster_seed.
Et de comprendre aussi la raison d'être des autres $n$ d'un cluster décliné du cluster_seed.
1) Je vous conseille d'abord de cliquer sur le tableau joint pour bien voir les valeurs affichées. Ce tableau est un peu complexe, il faut donc lire les informations ci-dessous et revenir sur l'agrandissement autant de fois que nécessaire.
2) Pour construire ce tableau, j'ai d'abord classé tous les clusters de la bdd par ordre de $i(n)$ et $p(n)$ pair puis par $i(n)$ et $p(n)$ impair
et je les ai numéroté selon cet ordre. Cette liste comprend pour chaque cluster, la valeur du $n_{seed}$
3) Si je cherche un numéro correspondant à la dernière déclinaison d'un cluster_seed (n°16 dans cet exemple), le sous-tableau orange à droite va montrer toutes les déclinaisons jusqu'au cluster_seed en affichant les valeurs min et max des $n$ de ces clusters, ainsi que le calcul de $\large n{seed}*2^k$
On notera que la valeur de $k$ est ajustée pour que $k=0$ corresponde toujours au cluster_seed avec un incrément de 2 entre chaque cluster.
4) dans la partie gauche, le sous_tableau en vert affiche les résultats du calcul $\large \frac{(n-(2^{2k}-1)/3 )}{4^k}$
si ce résultat est entier et impair (les $n$ affichés sont ceux du cluster n°16 : 4_20_5_28).
5) ce qui est intéressant, c'est que par valeur de $k$ on voit apparaître les $n$ de chaque déclinaison du cluster_seed 4_6_5_14
On peut facilement s'en rendre compte en comparant chaque colonne de la partie verte aux valeurs min et max des $n$ dans la partie orange
Analyse :
Cette manipulation de données un peu compliquée montre une façon assez précise de comprendre pourquoi un cluster dérivé d'un cluster_seed contient certains $n$ et pas d'autres. Et montre aussi quelle relation unit les $n$ entre chaque déclinaison.
Je tiens tout de même à dire que cet exemple est assez "vendeur" puisque à chaque fois le bornage des $n$ par valeur de $k$ est le bon. Mais ce n'est pas toujours le cas. De même cette méthode fonctionne à "à l'envers" puisqu'elle part de la dernière déclinaison.
En tout cas, cette formule $\large \frac{(n-(2^{2k}-1)/3 )}{4^k}$ est certainement à prendre en considération.
La relation de chaque $n$ dans le tableau vert en allant de la droite à la gauche est de la forme $4n+1$
je vais finir par en faire ma phrase de signature.
J'en profite pour glisser cette jolie citation de Pierre Gapenne : Si dans un premier temps la curiosité est d’abord un attrait, un appas qui crée la surprise, la surprise nous saisit à l’improviste, face à l’inattendu, nous sommes pris au dépourvu ; à la longue, la curiosité se fait étonnement, elle nous ébranle, c’est-à-dire qu’elle agit en profondeur dans la durée.
Noter que "un appas" n'est pas une faute mais qu'il est rare au singulier.
Et pour citer Heidegger, lui-même cité par Pierre Gapenne : Notre envie d’y voir plus clair est d’abord un plaisir des yeux qui crée la surprise, mais la véritable curiosité est un éveil (erschlossenheit) qui approfondit le sujet de son objet : elle est un étonnement.
51 est dans le cluster_seed 7_13_5_24 mais il y a 49 aussi qui est plus petit.
Si je comprends bien, tu appelles $n_{seed}$ le plus petit entier impair dont la suite compte $i$ termes impairs. Alors tu as peut-être besoin de cette liste. Chacun de ses termes est le plus petit $i'$ dont la suite compte un nombre de termes impairs égal à son rang dans la liste. Pour être plus clair, si on appelle $N$ cette liste, la suite de $N_6=7\,$, soit 7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, compte 6 termes impairs. Celle de $N_{13}=105\,$ en compte 13. Etc.
Seulement, toi tu omets le 1 final. La suite qui d'après toi compte $i$ termes impairs en compte en réalité $i+1$. Par conséquent, tu dois prendre le terme $N_{i+1}$ de la liste. Pour reprendre l'exemple de 51, dont le cluster 7_13_5_24 indique que sa suite compte 7 termes impairs, tu dois considérer $N_8=25$. Sa suite est 25, 76, 38, 19, 58, 29, 88, 44, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1. Selon ta manière de compter on a 7 termes impairs et 12 termes pairs, et un tdv de 23. 25 doit donc appartenir au cluster 7_12_5_23, dont il est le plus petit nombre.
Je précise que tous les nombres de cette liste sont le plus petit prédécesseur d'un nombre impair – le sens que je donne à $n_{seed}$ et auquel tu ne pourras pas échapper malgré tes efforts –, à l'exception de 5, qui est le second prédécesseur de 1.
Je connais la liste $N$ depuis plusieurs années mais n'ai jamais trouvé la formule qui permettrait de la produire. Jusqu'à ce que quelqu'un y parvienne il faudra calculer chacun de ses termes, ce qui passé les 400 premiers rendrait nécessaire la mise à contribution des machines de Météo France (qui finiraient elles aussi par être confrontées à un temps de calcul rédhibitoire).
Si en plus du nombre de termes impairs tu cherches la plus petite suite comptant un nombre donné de termes pairs, mais également terminée par $D$, alors tu devras te consacrer à cette occupation durant plusieurs incarnations. Tu te simplifierais la vie si tu considérais la méthode de calcul que voici :
Tout d'abord : $a=4^k\,n+\dfrac{4^k-1}{3}=(4^k\,(3\,n+1)-1)/3\,$, où $n$ est un entier impair.
Lorsque $k=0\,$, $a$ est un $n_{seed}$. Lorsque $k>0\,$, $a$ est un $n_{prédit}$.
Le cluster de $a$ est $i\,$__$\,p+2k\,$__$\,t+2k$. J'ai omis volontairement $D$, qui ne sert à rien puisque tu comptes le nombre de termes pairs avant lui.
La suite du terme de rang $r$ dans la liste $N$, c'est-à-dire celle de $N_r$, possède $r$ termes impairs. Avec ta méthode de comptage on sait que $i=r-1$. On peut créer deux autres listes : $P$, qui est celle de $p$ (avant $D$) pour chacun des $N_r$, et $T$, celle de $t$, leur tdv respectif :
Selon ta manière de compter on a 7 termes impairs et 12 termes pairs, et un tdv de 23.
25 doit donc appartenir au cluster 7_12_5_23, dont il est le plus petit nombre.
tu devras te consacrer à cette occupation durant plusieurs incarnations
c'est effectivement un peu long et cela demande de croire en sus à la réincarnation.
Il y a peut-être un moyen plus court et plus simple .
Cela demande d'organiser la bdd d'une certaine façon que l'on peut voir dans le pdf joint.
Les clusters sont classés par $n_{seed}$ en allant du cluster_seed à toutes les déclinaisons.
Attention je n'ai pas dépassé l'affichage de plus de 12 $n$ par cluster pour des soucis de lisibilité et de poids de fichier
Mais je suis sûr de ceci :
Pour tout $n_{seed}$ la formule $n_{seed}*4+1$ puis $\text{dernier resultat}*4+1$ permet de toujours trouver un $n$ dans le cluster suivant, c'est une variante de la formule centrale de mon modèle.
Tu trouveras par exemple le cluster 7_12_5_23 au début de la page 2 du pdf
Ce que je devine, c'est que l'on peut faire cette opération pour n'importe quel $n$ d'un cluster
si je prend par exemple 433, 435, 441 dans le cluster 7_16_5_27 (début page 2 aussi) et que je fais
4*433+1=1733
4*435+1=1741
4*441+1=1765
je peux trouver ces 1733 , 1741, 1765 dans la ligne du cluster de la ligne en dessous 7_18_5_29
De cette façon, je pense y arriver dans ce karma B-)
Ca fait x fois que tu dis, quand a, b, c sont dans le cluster 7_16_5_27, alors les nombres 4a+1, 4b+1, 4c+1 sont dans le cluster 7_18_5_29
Tu ne prends pas le même cluster à chaque fois, mais tu dis à chaque fois : encore un nouveau groupe de valeurs pour lesquelles ça marche.
C'est un THEOREME : si A (impair) est dans le cluster (x,n,i,tdv) alors 4A+1 est dans le cluster (x,n+2,i,tdv+2)
C'est démontré, ça va rester vrai pour chaque nouvel entier impair A.
Donc arrête de dire : encore un exemple où ça marche.
Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
C'est un THEOREME : si A (impair) est dans le cluster (x,n,i,tdv) alors 4A+1 est dans le cluster (x,n+2,i,tdv+2)
ok, ok !
super théorème ! je joins le pdf consacré au $n{seed} = 203$ qui le montre en détail
Mais pour info, ce théorème (si on peut avoir son nom, son auteur, sa démonstration au cas où...) résout mon S3 en partie.
Prenons les $n$ du cluster 12_25_5_41 : 813, 817, 819, 827, 837, 841, 843, 845, 863, 911
leurs $4n+1$ respectifs occupent les positions 1, 2, 3, 4, 7, 11, 12, 13, 16, 21 dans le cluster 12_27_5_43
qui a 27 $n$. Il manque donc les positions 5, 6, 8, 9, 10, 15, 17, 18, 19, 20, 22, 23, 24, 25, 26, 27
D'où viennent ces $n$ qui ne sont pas des $4n+1$ du cluster précédent, telle est la question !
Mais au moins cette question se précise et S3 est un peu moins inatteignable.
ok, ok !
super théorème !...
ce théorème (si on peut avoir son nom, son auteur, sa démonstration au cas où...)
Mouhahaha PMF tu me fais trop marrer. Lourrran a démontré ce truc depuis je ne sais pas combien de pages et tu as l'air de le découvrir maintenant.
Tu comprends maintenant pourquoi lorsque lourrran te dit "ta capacité à t'étonner m'étonnera toujours..." il n'est pas en train de te faire un compliment ?
De mémoire, la démonstration a été faite un peu avant que tu partes à l'hosto.
Mais le calcul est extrêmement simple.
Prends ton nombre 433 par exemple. Dans le chemin de Syracuse partant de 433 vers 1, on commence par :
444 ->1300 ->650 etc etc
En fait , seulement 1300 nous intéresse.
Tous les nombres après 1300, il y a un certain nombre d'étapes paires (p) et un certain nombre d'étapes impaires (i)
Ce 1300, si on le multiplie par 4, on arrive à 5200, puis si on multiplie encore par 4, autant de fois qu'on veut, on arrive à 20800, 83200 etc etc
Et tous les nombres de cette série, ils ont un fils impair :
fils_impair(1300) = (1300-1)/3 = 433
fils_impair(5200) = (5200-1)/3 = 1733
fils_impair(20800) = (20800-1)/3 = 6933
etc
Le chemin de Syracuse de tous ces nombres est le même, quasiment le même :
Une montée (multiplication par 3 plus 1)
Soit on est arrivé à 1300, soit on a plein de descentes, jusqu'à arriver à 1300
Et la suite du chemin est la même pour tous ces nombres.
Donc tous ces nombres, non seulement on sait les associer, parce qu'ils ont le même nombre d'étapes impaires, et un nombre d'étapes paires qu'on sait prédire. Mais en plus, la route pour aller de 433 ou 1733 vers 1, c'est la même route ; la bretelle d'accès est au point 1300, et à partir de ce 1300, tous suivent la même route.
Et du coup, je t'ai dit à différentes reprises que les $4x+1$ étaient plutôt les plus petits du cluster alors que les $4x+3$ étaient plutôt les plus grands du cluster.
Ici, on a l'explication. Vois-tu le lien, ou pas ?
Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
Je ne lis pas ce forum depuis des années non plus...et je suis un modeste analyste de données pas un mathématicien.
Ceci aussi pour la piqûre de rappel.
A part ça l'étonnement n'est très certainement pas dans mon système de valeurs une injure. Ce serait plutôt son contraire que j'aurais tendance à critiquer...
Ok lourran. J'aurais dû te relire un peu. Pas forcément évident de tout mémoriser non plus.
Donc ce théorème est un point central et je suis tout de même content que mon modèle le mette en valeur.
D'un point de vue technique je peux sortir les statistiques de position des $n$ trouvés par $4n+1$ et ceux qui échappent à cette règle. Sinon j'ai déjà le calcul intégral de toute la bdd en ce sens mais le pdf fait 1500 pages. Un peu lourd pour le forum.
Cette question de la position des 4n+1 a déjà été évoquée... Pourquoi ils sont plutôt en début de cluster, l'explication est facile à trouver. Ce qui serait bien, c'est que tu trouves toi-même cette explication. Au passage, ça donnera aussi l'explication de l'autre phénomène qu'on a vu il y a quelques jours : Au sein d'un cluster, les nombres ne sont pas régulièrement répartis. Les écarts entre 2 nombres successifs sont petits au 'début' du cluster, puis on a des écarts très grands vers la fin du cluster.
Ca aussi, comme on est dans 'ton' fil de discussion, ce serait bien que tu le trouves toi-même.
Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
On se donne un impair non divisible par 3, et on voudrait que le 1er cluster (de ses antécédents) de cardinal > 1 soit le plus éloigné possible de l'origine, dans le sens somme des montées + somme des descentes. Quels nombres impairs faut-il choisir et que vaut l'éloignement ?
Réponses
parmi les 1649 clusters de ma bdd
8x+1 : 349 clusters
8x+3 : 292 clusters
8x+5 : 538 clusters
8x+7 : 470 clusters
en termes de nombre d'éléments par type de 8x
8x+1 : 19 513 éléments
8x+3 : 13 567 éléments
8x+5 : 46 920 éléments
8x+7 : 20 000 éléments
Donc une prévalence certaine de 8x+5
Sur les 562 $n_{seed}$ de la bdd
8x+1 : 163 clusters
8x+3 : 132 clusters
8x+5 : 0 cluster
8x+7 : 267 clusters
Les cluster_seed cad les clusters contenant un $n_{seed}$ contiennent très peu de $n$
cela varie de 1 à 21 éléments
les clusters_seed ne contiennent pas de $n$ de la forme $8x+5$ sauf si
ces clusters sont contiennent le $D(n)$ (ils ont un seul élément, $i(n)=1, p(n)=0$
D(n)___________cluster
5______________1_0_5_5
21_____________1_0_21_7
85_____________1_0_85_9
341____________1_0_341_11
1365___________1_0_1365_13
5461___________1_0_5461_15
21845__________1_0_21845_17
87381__________1_0_87381_19
A part ces 8 clusters, tous les clusters_seed ne contiennent pas un $n$ de la forme $8x+5$
Sinon, la prépondérance du 8n+5 s'explique facilement, sa proportion doit avoir comme limite 9/16. Attention: ce 9/16 est pris dans l'ensemble de tous les clusters limité à un nombre de descentes donné, ce qui ne correspond peut être pas à ton étude.
le pdf joint donne la sélection dans la bdd par rapport à ta demande. Certains clusters_seed n'ont pas de prédécesseurs avec 1 montée de moins.
Mais j'ai laissé tous les cas par ordre croissant du nombre de descentes.
Note 1 : pour avoir une montée de moins je cherche un cluster qui commence par $i(n)-1$ et le même $p(n)$
Note 2 : en appliquant cette règle, certains prédécesseurs n'ont pas le même $D(n)$
Je te laisse nous donner une interprétation de ces données.
Si $n$ est de la forme $8x+5$, alors $n$ s'écrit $n= 4(2x+1)+1$, et donc le nombre $n'=(n-1)/4$ est lui aussi un entier impair.
Cet entier n',
- soit il est dans la série 5, 21, 85, 341, 1365 etc (les nombres qu'on appelait souches à une époque). Et dans ce cas, notre nombre $n$ est bien le premier d'une série.
- soit $n'$ n'est pas dans cette série, et dans ce cas, ça veut dire que le cluster de $n$ n'est pas un cluster seed, c'est le cluster de $n'$ qui est seed (ou un autre cluster, encore en amont de ce cluster)
Rappel : si n' est un nombre impair (nm, nd, last) alors 4n'+1 est dans le cluster (nm, nd+2, last)
si n = 5, 21, 85,341, 1365... ( ou $n= D(n)$ alors n' est égal au précédent $D(n) $
21 : 5
85 : 21
341 : 85
1365 : 341
....
quelques exemples de correspondances de cluster comme tu l'as proposé :
n____________cluster n____________n'___________cluster n'___________cluster n' seed ?
13___________2_3_5_9____________3___________2_1_5_7___________oui
29___________5_9_5_18___________7___________5_7_5_16__________oui
37___________6_11_5_21__________9___________6_9_5_19__________oui
45___________4_8_5_16___________11__________4_6_5_14__________oui
53___________2_5_5_11___________13__________2_3_5_9___________non
61___________5_10_5_19__________15__________5_8_5_17__________oui
69___________3_7_5_14___________17__________3_5_5_12__________oui
77___________6_12_5_22__________19__________6_10_5_20_________oui
93___________4_9_5_17___________23__________4_7_5_15__________oui
101__________7_14_5_25__________25__________7_12_5_23_________oui
109__________41_68_5_113________27__________41_66_5_111_______oui
117__________5_11_5_20__________29__________5_9_5_18__________non
125__________39_65_5_108________31__________39_63_5_106_______oui
133__________8_16_5_28__________33__________8_14_5_26_________oui
141__________3_8_5_15___________35__________3_6_5_13__________oui
149__________6_13_5_23__________37__________6_11_5_21_________non
157__________11_21_5_36_________39__________11_19_5_34________oui
165__________40_67_5_111________41__________40_65_5_109_______oui
173__________9_18_5_31__________43__________9_16_5_29_________oui
181__________4_10_5_18__________45__________4_8_5_16__________non
189__________38_64_5_106________47__________38_62_5_104_______oui
197__________7_15_5_26__________49__________7_13_5_24_________oui
205__________7_15_5_26__________51__________7_13_5_24_________oui
213__________2_7_5_13___________53__________2_5_5_11__________non
221__________41_69_5_114________55__________41_67_5_112_______oui
229__________10_20_5_34_________57__________10_18_5_32________oui
237__________10_20_5_34_________59__________10_18_5_32________oui
245__________5_12_5_21__________61__________5_10_5_19_________non
253__________39_66_5_109________63__________39_64_5_107_______oui
261__________8_17_5_29__________65__________8_15_5_27_________oui
269__________8_17_5_29__________67__________8_15_5_27_________oui
277__________3_9_5_16___________69__________3_7_5_14__________non
285__________37_63_5_104________71__________37_61_5_102_______oui
293__________42_71_5_117________73__________42_69_5_115_______oui
301__________3_5_85_16__________75__________3_3_85_14_________oui
309__________6_14_5_24__________77__________6_12_5_22_________non
317__________11_22_5_37_________79__________11_20_5_35________oui
325__________6_14_5_24__________81__________6_12_5_22_________non
333__________40_68_5_112________83__________40_66_5_110_______oui
alors un cluster est généralement composé de $n$ ayant le même $2^m$
et au maximum un cluster sera composé de $n$ entre $2^m$ et $2^{m+1}$
c'est une autre façon de définir l'encadrement des $n$ d'un cluster.
Mais tu pourrais tout aussi bien dire :
On regarde la suite 3 6 12 24 48 .... $3*2^m$ , alors en général, un cluster est compris entre 2 éléments successifs de cette suite.
Comme on le voit sur l'exemple joint, la colonne verte est destiné aux $n$ d'un même cluster.
Dans cet exemple j'ai choisi au hasard le cluster 14_29_341_53
1) les chiffres qui apparaissent dans la partie en gris clair sont le résultat de cette formule Excel
=SI(n<>"";SI((n-(2^(2*k)-1)/3 )/4^k=ARRONDI((n-(2^(2*k)-1)/3 )/4^k;0);(n-(2^(2*k)-1)/3 )/4^k;"");"")
Bien sûr dans cette formule, chaque $n$ et $k$ est relatif à sa ligne et à sa colonne
Les résultats s'affichent selon le calcul de ((n-(2^(2*k)-1)/3 )/4^k seulement si le résultat de ce calcul est entier.
2) on calcule la forme 8x de chaque $n$ avec la formule Excel : SI(n<>"";"8x+"&(n/8-ENT(n/8))/0,125;"")
3) Dans la colonne $n_{seed}$, on ne retient que le plus petits des résultats de la ligne des calculs si la forme 8x est 8x+5
Excel : SI(forme 8x ="8x+5";MIN(ligne des résultats);"")
4) Puis on ne garde que le plus petit résultat de cette colonne : ici c'est 1783 affiché en jaune au-dessus de $n_{seed}$
5) Dans la colonne "predicted n" , on va sélectionner le $n$ dont le résultat de l'étape 3 est égal au $n_{seed}$
ici c'est 114133 qui correspond au $n$ de la quatrième ligne; et on peut donc l'afficher en haut à coté de 1783
Aussi étonnant que cela soit, ce finder de $n_{seed}$ marche sur tous les clusters que j'ai testés.
à condition qu'il n'y ait pas concurrence entre plusieurs possibilités comme dans la 2ème illustration !
car dans ce cas c'est 207 et $n=3317$ qui est la bonne réponse
Tout ça est bien compliqué. il y a une fonction Excel beaucoup plus simple qui donne exactement la même chose : mod(n,8)
En arithmétique, on appelle ça le modulo : 114811=3 [modulo 8]
Ta capacité à t'étonner m'étonnera toujours. Tu dis : je définis n_seed comme le plus petit entier qui vérifie 2 ou 3 critères... et quand tu calcules ce n_seed, et que tu retombes sur ce que tu as défini, tu t'étonnes que ça marche.
Ici, dans la partie en gris clair, regarde les cas où tu as des données, et par différence, les cases vides. Que ce soit la colonne k1, k2 ou k3, les cases vides sont 'globalement' vers le bas, et par différence, les cases remplies sont 'globalement' vers le haut.
Je dis ça pour revenir sur une question qu'on a déjà évoquée plusieurs fois.
Et l'autre propriété qui va avec : en haut de ton tableau, les différences entre 2 termes consécutifs sont de l'ordre de 2, 4, 6 et en bas du tableau, on voit des différences de 110 puis 160.
Bien entendu, ces 2 propriétés, tu vas les retrouver sur n'importe quel (gros) cluster, sinon je n'en parlerais pas.
à part ça bravo pour l'analyse !
Il y a effectivement une caractéristique des clusters : le dernier $n$ ou la fin de la liste est souvent bien plus décalé que le début de la liste.
par exemple dans le cluster 12_25_5_41,
813____817____819____827____837____841____843____845____863____911
_________4______2______8_____10______4______2______2_____18_____48
on voit bien que 911 est nettement décalé, et 863 aussi.
Mais ce "finder" a quand même encore besoin de mise au point ...
car dès que j'ai trop de concurrence, il patine dans la choucroute (voir exemple joint)
$n=8\,x-3$
$\quad$
$n=\dfrac{2\,(4\,x-x \bmod 3)}{3}-1$
$\quad$
$\dfrac{n+3}{8} \,$ est-il entier ? Oui : $n$ est un $n_{seed}$. Non : $n$ n'est pas un $n_{seed}$.
$\quad$
Relation entre $n_{seed}$ et $\neg n_{seed}$ pour $x$ donné :
$n_{seed}=3\;\neg n_{seed}+2\,(x \bmod 3)$
$\neg n_{seed}=\dfrac{n_{seed}-2\,(x \bmod 3)}{3}$
En effet :
$3\,\left(\dfrac{2\,(4\,x-x \bmod 3)}{3}-1\right)+2\,(x \bmod 3)=8\,x-3$
Tu l'as écrit, mais j'ai besoin que tu le confirmes.
le $n_{seed}$ est un $n$ qui permet de calculer la formule :
$\Large n_{predit} = 4^k*n_{seed}+\frac {2^{2k}-1}{3}$
le cluster qui contient $n_{seed}$ est un cluster_seed
c'est un cluster qui pour un nombre i(n) donné associé la plus petite valeur de p(n)
Je ne suis pas loin de penser que le $n_{seed}$ est le "nombre premier" des suites de Collatz
Si les $n_{seed}$ sont très abondants quand $n$ est petit : il y en a 50% pour $n<=293$
ils se "raréfient" rapidement dès que $n$ grandit : pour $n<=200001$, il y en a 562/100.000 soit moins de 1%
Avant de penser à un " théorème de la raréfaction des $n_{seed}$"., il serait intéressant de faire un test de primalité dédié aux $n_{seed}$
la seule chose que nous savons aujourd'hui est que le $n_{seed}$ n'est pas un $8x+5$ et qu'il est évidemment l'élément-clé de la formule :
$\Large n_{predit} = 4^k*n_{seed}+\frac {2^{2k}-1}{3}$
comme par exemple le cluster_seed 12_23_5_3 du $n_{seed}=203$ contient les $n : 203, 209, 211$
Alors tous les clusters dérivés de ce cluster_seed auront une valeur de $k <>0$ telle que :
$(n-(2^{2k}-1)/3 )/4^k$ donne au moins un des éléments du cluster_seed
12_25_5_41 : pour k=1 : 203, 209, 211 si $n$ est de la forme $8x+5$
12_27_5_43 : pour k=2 : 203, 209, 211 si $n$ est de la forme $8x+5$
12_29_5_43 : pour k=3 : 203, 209, 211 si $n$ est de la forme $8x+5$
12_31_5_43 : pour k=4 : 203, 209, 211 si $n$ est de la forme $8x+5$
Il faudrait évidemment faire une vérification sur toute la bdd pour le confirmer.
la difficulté est que les $n_seed$ deviennent rares quand $n$ grandit
par exemple entre 194435 et 199589, il n'y a aucun $n_seed$
et pourtant parmi ces $n$ il y a tous les types de 8x (donc le test ne peut pas trop se fier que sur ces types)
Si tu as une idée pour créer ce test, cela peut être très utile.
De 194435 à 199589, tous deux inclus, il y a 645 $n_{seed}$. En voici quelques-uns :
194437, 194445, 194453, 194461, 194469, 194477, 194485, 194493,
194501, 194509, 194517, 194525, 194533, 194541, 194549, 194557,
194565, 194573, 194581, 194589, 194597, 194605, 194613, 194621,
194629, 194637, 194645, 194653, 194661, 194669, 194677, 194685,
194693, 194701, 194709, 194717, 194725, 194733, 194741, 194749,
194757, 194765, 194773, 194781, ..., 199397, 199405, 199413, 199421, 199429, 199437, 199445, 199453,
199461, 199469, 199477, 199485, 199493, 199501, 199509, 199517,
199525, 199533, 199541, 199549, 199557, 199565, 199573, 199581, 199589
La différence entre deux nombres consécutifs est constante et égale à 8.
(194437+3) / 8 = 24305, (194445+3) / 8 = 24306, ..., (199589+3) / 8 = 24949.
Le test est ce que j'ai dit plus haut : si (n+3) / 8 est entier, alors $n$ est un $n_{seed}$.
1) the Condensed Collatz tree (nodes containing only odd numbers) build with the condensed Collatz function $\frac{3n+1}{2^k}$
voir le tableau joint fait en utilisant cette formule : $D(n)$ en jaune et $n{seed}$ en bleu
@collag3n : cet article tape effectivement dans le mille des mes questions actuelles :
je me demande si ce qui est appelé "root" ne serait pas mon $n{seed}$ ?
Je vais appliquer les formules dans ma bdd pour vérifier, mais pourrais-tu nous dire ce que tu en penses ?
194433
199591
$n_{seed}=\dfrac{m\,(2\,n\,(7-3\,m)+m-3)}{6}\,$, avec $n$ impair et $m=n \bmod 3$
Cette formule renvoie le plus petit prédécesseur de $n$, ce que tu appelles $n_{seed}$. Si on remplace $n$ par 1, 3, 5, 7, ..., 19 on obtient la liste des 10 premiers $n_{seed}$ : 1, 0, 3, 9, 0, 7, 17, 0, 11, 25. Le zéro signifie que $n$ est un multiple de 3 (c'est-à-dire les nombres 3, 9, 15, ...).
Je me suis mélangé les crayons : comme je l'ai dit plus haut, les nombres de la forme $8\,x-3$ ne sont justement pas des $n_{seed}$. Aucun des termes de la liste que je viens de générer n'est de cette forme. Alors tu avais raison, il va falloir trouver un test.
EDIT : en fait le test est simple et exactement le contraire de ce que j'ai dit plus haut : si $(n+3)/8$ est entier, alors $n$ n'est pas un $n_{seed]$.
$\Large n{seed}*2^k$
il apparaît que cette formule est un évaluateur de l'ordre de grandeur des $n$ des clusters dérivés du cluster_seed
on notera dans ce tableau que le cluster_seed correspond toujours à $k=0$, et que les clusters se déclinent en $k+2$
j'ai implanté ta formule $(m*(2*n*(7-3*m)+m-3))/6$ dans excel avec $m=n (mod3)$
mais ça ne marche pas pour aucun des $n$ de la bdd
n____________n_seed______m(nmod3)____(m*(2*n*(7-3*m)+m-3))/6
3____________3___________0___________0
5____________5___________2___________3
7____________7___________1___________9
9____________9___________0___________0
11___________11__________2___________7
13___________3___________1___________17
15___________15__________0___________0
17___________17__________2___________11
19___________19__________1___________25
21___________21__________0___________0
23___________23__________2___________15
25___________25__________1___________33
27___________27__________0___________0
29___________7___________2___________19
31___________31__________1___________41
33___________33__________0___________0
35___________35__________2___________23
37___________9___________1___________49
39___________39__________0___________0
41___________41__________2___________27
43___________43__________1___________57
45___________11__________0___________0
47___________47__________2___________31
194463, ..., 199561, 199563, 199567, 199569, 199571, 199575, 199577, 199579, 199583, 199585, 199587.
Comment savoir si ces nombres sont réellement des $n_{seed}$ ? Il suffit de calculer le successeur de chacun d'eux puis de calculer le plus petit prédécesseur de celui-ci. Exemple avec 194435, le premier de la liste. Son successeur est 291653. Dans la formule que j'ai indiquée plus haut on remplace $n$ par 291653, ce qui donne son plus petit prédécesseur ... qui est 194435. Par conséquent, 194435 est un $n_{seed}$.
Le successeur de $n_{seed}$ est $(3\,n_{seed}+1)/2^u$, avec $u=\,$1 ou 2. Si on remplace $n_{seed}$ par la formule ci-dessus on obtient
$3\,n_{seed}+1=\dfrac{1}{2}\,m\,(14\,n-6\,m\,n+m-3)+1$
Je prends $n_{seed}=53$, sachant qu'étant égal à $8 \times 7-3$ il n'est pas un $n_{seed}$. Son successeur est 5. Je pose $n=5, m=2$ dans le membre de droite de l'égalité, ce qui donne 10. Puisque $3 \times 53+1 \ne 10$ je sais que 53 n'est pas un $n_{seed}$. Si j'avais pris $n_{seed}=3$, dont le successeur est toujours 5, j'aurais obtenu $10=10$, preuve que 3 est bien le plus petit prédécesseur de 5.
Même calcul avec le premier nombre de la liste ci-dessus, 194435, dont le successeur est 291653. Je calcule le second membre de l'égalité avec $n=291653, m=2$, ce qui donne 583306. Je sais que 194435 est un $n_{seed}$ puisque $3 \times 194435+1=583306$. 194435 est bien le plus petit prédécesseur de 291653.
Le plus simple était de calculer $(194435+3)/8=\frac{97219}{4}$. Le résultat n'étant pas entier, 194435 est un $n_{seed}$.
non désolé, j'ai dit qu'il n'y avait aucun $n_{seed}$ dans cette plage 194435 à 199589 située entre le $n_{seed}= 194433$ et $n_{seed}= 199591$
Si je ne m'abuse, pour k étapes impaires (k quelconque .. pas trop petit quand même), il y a systématiquement 2 $n_seed$. Peux-tu confirmer cela.
Peux-tu aussi donner les $n_seed$ que tu as.
La définition d'un $n_{seed}$ est la suivante :
En considérant :
$i(n)$ le nombre d'étapes impaires entre $n$ impair début d'une suite de Collatz et $D(n)$ qui est la dernière étape impaire avant 1;
$p(n)$ le nombre d'étapes paires entre $n$ impair début d'une suite de Collatz et $D(n)$ qui est la dernière étape impaire avant 1;
il existe deux $p(n)$ minimum pour chaque valeur de $i(n)$ car il y a un $p(n)$ minimum pair et un impair
Le cluster qui s'écrit $i(n)$_$p(n)_{min}$_$D(n)_{correspondant}$_$t(n)$ est un cluster_seed.
Exemple
$i(n)$ =12
$p(n)$ minimum pair = 22
le cluster_seed est : 12_22_5_38
$p(n)$ minimum impair = 23
le cluster_seed est : 12_23_5_39
Dans ces cluster_seed, on va trouver un $n$ qui est le plus petit des $n$ de ce cluster : c'est le $n_{seed}$
sachant qu'il ne peut y avoir qu'un seul élément dans ce cluster qui devient donc le $n_{seed}$.
dans 12_22_5_38 il n'y a que 105, donc c'est le $n_{seed}$
dans 12_23_5_39 il y a 203, 209 et 211 et le $n_{seed}$ est 203
les 562 $n_{seed}$ de la bdd sont (en excluant les $D(n)$) :
3, 7, 9, 11, 15, 17, 19, 23, 25, 27, 31, 33, 35, 39, 41, 43, 47, 49, 55, 57, 63, 65, 71, 73, 75, 79, 83, 87, 91, 95, 97, 103,
105, 107, 111, 113, 115, 121, 123, 129, 135, 137, 143, 145, 151, 155, 159, 161, 167, 169, 171, 175, 183, 185, 193, 201, 203,
207, 215, 219, 223, 227, 231, 233, 243, 247, 251, 257, 263, 267, 271, 275, 283, 295, 297, 311, 313, 323, 327, 329, 335, 343,
351, 361, 377, 379, 395, 401, 403, 411, 423, 427, 457, 467, 475, 487, 503, 505, 527, 535, 537, 543, 593, 609, 633, 635, 649,
673, 703, 713, 715, 731, 759, 763, 791, 803, 811, 847, 859, 871, 891, 937, 951, 953, 967, 1003, 1017, 1055, 1073, 1081, 1129,
1145, 1161, 1191, 1215, 1249, 1267, 1271, 1337, 1351, 1407, 1425, 1431, 1441, 1505, 1519, 1583, 1665, 1689, 1707, 1783, 1801,
1875, 1907, 2007, 2023, 2111, 2223, 2251, 2257, 2279, 2375, 2377, 2417, 2463, 2499, 2503, 2631, 2667, 2675, 2697, 2811, 2823,
2919, 3001, 3009, 3097, 3163, 3167, 3169, 3175, 3337, 3377, 3519, 3559, 3563, 3567, 3695, 3711, 3751, 3755, 3947, 3951, 4001,
4217, 4225, 4233, 4379, 4399, 4449, 4503, 4699, 4745, 4763, 4849, 4927, 5001, 5007, 5263, 5279, 5335, 5543, 5567, 5623, 5633,
5839, 5865, 5921, 5927, 6003, 6171, 6265, 6319, 6327, 6337, 6569, 6591, 6599, 6663, 6675, 6919, 6943, 6951, 7017, 7039, 7113,
7281, 7391, 7399, 7423, 7497, 7511, 7785, 7895, 7903, 7911, 7963, 8003, 8315, 8319, 8351, 8353, 8435, 8449, 8759, 8799, 8891,
8899, 8959, 9159, 9225, 9257, 9385, 9483, 9631, 9855, 9887, 9899, 9995, 10087, 10407, 10415, 10537, 10559, 10855, 10971, 11099,
11135, 11137, 11691, 11731, 11847, 11865, 11945, 12343, 12479, 12513, 12527, 12841, 13137, 13153, 13183, 13199, 13255, 13327,
13449, 13503, 13887, 13903, 14049, 14447, 14563, 14695, 14783, 14849, 15131, 15611, 15623, 15819, 16063, 16457, 16551, 16639,
16683, 17121, 17259, 17537, 17577, 17647, 17769, 18451, 18515, 18537, 18719, 19227, 19417, 19527, 19593, 19711, 19759, 19775,
20175, 20255, 20455, 20571, 20815, 20831, 21073, 21631, 21927, 21943, 22175, 22275, 23143, 23383, 23435, 23529, 23729, 24095,
24715, 24959, 25683, 25889, 26281, 26471, 26623, 27007, 27273, 27367, 28079, 28841, 29257, 29291, 29639, 30383, 30683, 30857,
31147, 31223, 31419, 32007, 32415, 32447, 32871, 32891, 34239, 34243, 34519, 34651, 34719, 35041, 35655, 36009, 36489, 36571,
36955, 37003, 37439, 37503, 37935, 38833, 38835, 38907, 38983, 39009, 39963, 40511, 40911, 40959, 41051, 41067, 41529, 43263,
43771, 43855, 44959, 45055, 45127, 45575, 46025, 46183, 46201, 48011, 48671, 48927, 49243, 49337, 50671, 51359, 51777, 51779,
51903, 51975, 52527, 53483, 54547, 54687, 54825, 55399, 56255, 56487, 56903, 58361, 58473, 59945, 60073, 60169, 60767, 60975,
61367, 61577, 61601, 62295, 63151, 63387, 64015, 64255, 64647, 64895, 65657, 67439, 67691, 69211, 69303, 71215, 71311, 72017,
72729, 72979, 73007, 73063, 73865, 75007, 75871, 77031, 77667, 77815, 78791, 79927, 80097, 80225, 82027, 83059, 84201, 84383,
85353, 87087, 87543, 89119, 89919, 91119, 91151, 92049, 92281, 94727, 95081, 96023, 96383, 96971, 97305, 97343, 98439, 99999,
100167, 101159, 103555, 103707, 103951, 106239, 106569, 106967, 107065, 107623, 109511, 110745, 112511, 113803, 115323, 115547,
116671, 118187, 118825, 119891, 122731, 122991, 123391, 126303, 126575, 129295, 129739, 129991, 134879, 136679, 138073, 138337,
142091, 142395, 142587, 143497, 145457, 146599, 149691, 150015, 150251, 153243, 153627, 154063, 156159, 158023, 158433, 161435,
163641, 164521, 166767, 168403, 170655, 170705, 172393, 172735, 173321, 180463, 181615, 182239, 184097, 184111, 185087, 189455,
189855, 191329, 193943, 194433, 199591
la réponse dans mon message : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?43,2058452,2085154#msg-2085154
auquel j'ajoute que la valeur trouvée doit permettre de calculer la formule principale du modèle
$\Large n_{predit} = 4^k*n_{seed}+\frac {2^{2k}-1}{3}$
Si tu lis bien la def, je pense que ce $n_{seed}$ n'est pas facile à trouver par une formule , voire impossible.
En fait la seule méthode qui marche est une variante de crible d’Ératosthène pour les premiers : c'est un algorithme ou une méthode de filtrage par élimination.
Ces 562 nombres sont tous le plus petit prédécesseur d'un nombre impair $n$. Pas une seule exception ! J'en déduis que nous avons la même définition de $n_{seed}$ mais que tu ne comprends toujours pas ce que ce mot désigne.
Il n'y aucune raison d'exclure volontairement les différentes valeurs de $D$, puisque hormis 1, qui est son propre plus petit prédécesseur, aucune d'elles n'est un $n_{seed}$.
Voici les $n_{seed}$ jusqu'à 103 :
1, 3, 7, 9, 11, 15, 17, 19, 23, 25, 27, 31, 33, 35, 39, 41, 43, 47, 49, 51, 55, 57, 59, 63, 65, 67, 71, 73, 75, 79, 81, 83, 87, 89, 91, 95, 97, 99, 103
comparés à ta liste :
3, 7, 9, 11, 15, 17, 19, 23, 25, 27, 31, 33, 35, 39, 41, 43, 47, 49, 55, 57, 63, 65, 71, 73, 75, 79, 83, 87, 91, 95, 97, 103
Il te manque 1, 51, 59, 81, 89 et 99, c'est-à-dire environ 1/6ème de leur nombre. Sur 562 on peut donc estimer qu'il en manque 93. Où sont-ils passés ?
Mes précédents messages invalident cette affirmation. Je t'engage à les relire.
Pour ce qui est de ta formule de $n_{prédit}$, je t'ai déjà expliqué je ne sais combien de fois que si tu remplaces $n_{seed}$ par $n$, alors $n_{seed}$ est le plus petit prédécesseur de $n$ et les $n_{prédit}$ sont les suivants.
Exemple : $n=11$. En faisant varier $k$ de 0 à 9 on obtient 7, 29, 117, 469, 1877, 7509, 30037, 120149, 480597, 1922389, qui sont les 10 premiers prédécesseurs de 11, avec 7 étant le plus petit, le fameux $n_{seed}$. Pourquoi est-ce aussi difficile à comprendre ?
non désolé mais je ne te suis pas. SI tu avais une solution valide, je l'aurais intégrée depuis longtemps.
Que tu le crois ou pas, j'essaie tes formules mais comme cet apm cela ne correspond pas à ce que je cherche.
51, 59, 81, 89 et 99 ne sont pas dans "ma liste" de $n_{seed}$ pour une raison simple
51 est dans le cluster_seed 7_13_5_24 mais il y a 49 aussi qui est plus petit
59 est dans le cluster_seed 10_18_5_32 mais il y a 57 aussi qui est plus petit
pour 81 il est dans le cluster 6_12_5_22 et son cluster seed est 6_10_5_20 : on voit bien que pour $i(n)$ = 6 il y a un $p(n)$ =10 qui est plus petit que 12...
n_______cluster__________n_seed
51______7_13_5_24______49
59______10_18_5_32_____57
81______6_12_5_22______19
89______9_17_5_30______87
99______7_14_5_25______25
donc j'espère que c'est clair pour tout le monde mais je maintiens absolument ma liste de $n_{seed}$
Après vérification, le nombre max d'étapes impaires pour un entier inférieur à 200000, c'est 141.
Mais, fausse interprétation.
Pour un certain nombre d'étapes impaires, et pour un Last_impair fixé ( 5,85, 341 etc etc ), on a 2 $n_{seed}$ , et donc $2 n_{seed}$ maximum quand on se limite aux entiers inférieurs à 200000. Mais le dernier impair peut varier ..
Du coup, je confirme ce comptage de 562 $n_{seed}$, et la liste associée.
Dans un environnement SGBD, ma requête est :
Merci pour cette excellente nouvelle.
Ta méthode de vérification étant totalement indépendante de mon modèle, nous avons donc une confirmation que $n_{seed}$ et $D(n)$ sont les éléments de classification de tout $n$ en fonction de ses propriétés de cluster $i(n)$ et $p(n)$.
Reste une démonstration à venir montrant pourquoi la formule du modèle va toujours atteindre un $n$ dans un cluster décliné du cluster_seed.
Et de comprendre aussi la raison d'être des autres $n$ d'un cluster décliné du cluster_seed.
1) Je vous conseille d'abord de cliquer sur le tableau joint pour bien voir les valeurs affichées. Ce tableau est un peu complexe, il faut donc lire les informations ci-dessous et revenir sur l'agrandissement autant de fois que nécessaire.
2) Pour construire ce tableau, j'ai d'abord classé tous les clusters de la bdd par ordre de $i(n)$ et $p(n)$ pair puis par $i(n)$ et $p(n)$ impair
et je les ai numéroté selon cet ordre. Cette liste comprend pour chaque cluster, la valeur du $n_{seed}$
3) Si je cherche un numéro correspondant à la dernière déclinaison d'un cluster_seed (n°16 dans cet exemple), le sous-tableau orange à droite va montrer toutes les déclinaisons jusqu'au cluster_seed en affichant les valeurs min et max des $n$ de ces clusters, ainsi que le calcul de $\large n{seed}*2^k$
On notera que la valeur de $k$ est ajustée pour que $k=0$ corresponde toujours au cluster_seed avec un incrément de 2 entre chaque cluster.
4) dans la partie gauche, le sous_tableau en vert affiche les résultats du calcul $\large \frac{(n-(2^{2k}-1)/3 )}{4^k}$
si ce résultat est entier et impair (les $n$ affichés sont ceux du cluster n°16 : 4_20_5_28).
5) ce qui est intéressant, c'est que par valeur de $k$ on voit apparaître les $n$ de chaque déclinaison du cluster_seed 4_6_5_14
On peut facilement s'en rendre compte en comparant chaque colonne de la partie verte aux valeurs min et max des $n$ dans la partie orange
Analyse :
Cette manipulation de données un peu compliquée montre une façon assez précise de comprendre pourquoi un cluster dérivé d'un cluster_seed contient certains $n$ et pas d'autres. Et montre aussi quelle relation unit les $n$ entre chaque déclinaison.
Je tiens tout de même à dire que cet exemple est assez "vendeur" puisque à chaque fois le bornage des $n$ par valeur de $k$ est le bon. Mais ce n'est pas toujours le cas. De même cette méthode fonctionne à "à l'envers" puisqu'elle part de la dernière déclinaison.
En tout cas, cette formule $\large \frac{(n-(2^{2k}-1)/3 )}{4^k}$ est certainement à prendre en considération.
La relation de chaque $n$ dans le tableau vert en allant de la droite à la gauche est de la forme $4n+1$
Ta capacité à t'étonner m'étonnera toujours...
je vais finir par en faire ma phrase de signature.
J'en profite pour glisser cette jolie citation de Pierre Gapenne :
Si dans un premier temps la curiosité est d’abord un attrait, un appas qui crée la surprise, la surprise nous saisit à l’improviste, face à l’inattendu, nous sommes pris au dépourvu ; à la longue, la curiosité se fait étonnement, elle nous ébranle, c’est-à-dire qu’elle agit en profondeur dans la durée.
Noter que "un appas" n'est pas une faute mais qu'il est rare au singulier.
Et pour citer Heidegger, lui-même cité par Pierre Gapenne :
Notre envie d’y voir plus clair est d’abord un plaisir des yeux qui crée la surprise, mais la véritable curiosité est un éveil (erschlossenheit) qui approfondit le sujet de son objet : elle est un étonnement.
Si je comprends bien, tu appelles $n_{seed}$ le plus petit entier impair dont la suite compte $i$ termes impairs. Alors tu as peut-être besoin de cette liste. Chacun de ses termes est le plus petit $i'$ dont la suite compte un nombre de termes impairs égal à son rang dans la liste. Pour être plus clair, si on appelle $N$ cette liste, la suite de $N_6=7\,$, soit 7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, compte 6 termes impairs. Celle de $N_{13}=105\,$ en compte 13. Etc.
Seulement, toi tu omets le 1 final. La suite qui d'après toi compte $i$ termes impairs en compte en réalité $i+1$. Par conséquent, tu dois prendre le terme $N_{i+1}$ de la liste. Pour reprendre l'exemple de 51, dont le cluster 7_13_5_24 indique que sa suite compte 7 termes impairs, tu dois considérer $N_8=25$. Sa suite est 25, 76, 38, 19, 58, 29, 88, 44, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1. Selon ta manière de compter on a 7 termes impairs et 12 termes pairs, et un tdv de 23. 25 doit donc appartenir au cluster 7_12_5_23, dont il est le plus petit nombre.
Je précise que tous les nombres de cette liste sont le plus petit prédécesseur d'un nombre impair – le sens que je donne à $n_{seed}$ et auquel tu ne pourras pas échapper malgré tes efforts –, à l'exception de 5, qui est le second prédécesseur de 1.
Je connais la liste $N$ depuis plusieurs années mais n'ai jamais trouvé la formule qui permettrait de la produire. Jusqu'à ce que quelqu'un y parvienne il faudra calculer chacun de ses termes, ce qui passé les 400 premiers rendrait nécessaire la mise à contribution des machines de Météo France (qui finiraient elles aussi par être confrontées à un temps de calcul rédhibitoire).
Si en plus du nombre de termes impairs tu cherches la plus petite suite comptant un nombre donné de termes pairs, mais également terminée par $D$, alors tu devras te consacrer à cette occupation durant plusieurs incarnations. Tu te simplifierais la vie si tu considérais la méthode de calcul que voici :
Tout d'abord : $a=4^k\,n+\dfrac{4^k-1}{3}=(4^k\,(3\,n+1)-1)/3\,$, où $n$ est un entier impair.
Lorsque $k=0\,$, $a$ est un $n_{seed}$. Lorsque $k>0\,$, $a$ est un $n_{prédit}$.
Le cluster de $a$ est $i\,$__$\,p+2k\,$__$\,t+2k$. J'ai omis volontairement $D$, qui ne sert à rien puisque tu comptes le nombre de termes pairs avant lui.
La suite du terme de rang $r$ dans la liste $N$, c'est-à-dire celle de $N_r$, possède $r$ termes impairs. Avec ta méthode de comptage on sait que $i=r-1$. On peut créer deux autres listes : $P$, qui est celle de $p$ (avant $D$) pour chacun des $N_r$, et $T$, celle de $t$, leur tdv respectif :
$P=\,$ 0, 0, 1, 5, 6, 7, 9, 12, 14, 16, 18, 19, 22, 24, 26, 27, 29, 31, 32, 35, 36, 38, 39, 40, 41, 44, 46, 47, 48, 50, 51, 52, 54, 55, 57, 59, 60, 61, 62, 63, 65, 66, 69, 71, 73, 75, 77, 79, 81, 83, 85, 86, 87, 90, 92, 93, 95, 97.
$T=\,$ 0, 5, 7, 12, 14, 16, 19, 23, 26, 29, 32, 34, 38, 41, 44, 46, 49, 52, 54, 58, 60, 63, 65, 67, 69, 73, 76, 78, 80, 83, 85, 87, 90, 92, 95, 98, 100, 102, 104, 106, 109, 111, 115, 118, 121, 124, 127, 130, 133, 136, 139, 141, 143, 147, 150, 152, 155, 158.
Le cluster de $a$ est $r-1\,$__$\,P_r+2k\,$__$\,T_r+2k$.
c'est effectivement un peu long et cela demande de croire en sus à la réincarnation.
Il y a peut-être un moyen plus court et plus simple .
Cela demande d'organiser la bdd d'une certaine façon que l'on peut voir dans le pdf joint.
Les clusters sont classés par $n_{seed}$ en allant du cluster_seed à toutes les déclinaisons.
Attention je n'ai pas dépassé l'affichage de plus de 12 $n$ par cluster pour des soucis de lisibilité et de poids de fichier
Mais je suis sûr de ceci :
Pour tout $n_{seed}$ la formule $n_{seed}*4+1$ puis $\text{dernier resultat}*4+1$ permet de toujours trouver un $n$ dans le cluster suivant, c'est une variante de la formule centrale de mon modèle.
Tu trouveras par exemple le cluster 7_12_5_23 au début de la page 2 du pdf
Ce que je devine, c'est que l'on peut faire cette opération pour n'importe quel $n$ d'un cluster
si je prend par exemple 433, 435, 441 dans le cluster 7_16_5_27 (début page 2 aussi) et que je fais
4*433+1=1733
4*435+1=1741
4*441+1=1765
je peux trouver ces 1733 , 1741, 1765 dans la ligne du cluster de la ligne en dessous 7_18_5_29
De cette façon, je pense y arriver dans ce karma B-)
Ca fait x fois que tu dis, quand a, b, c sont dans le cluster 7_16_5_27, alors les nombres 4a+1, 4b+1, 4c+1 sont dans le cluster 7_18_5_29
Tu ne prends pas le même cluster à chaque fois, mais tu dis à chaque fois : encore un nouveau groupe de valeurs pour lesquelles ça marche.
C'est un THEOREME : si A (impair) est dans le cluster (x,n,i,tdv) alors 4A+1 est dans le cluster (x,n+2,i,tdv+2)
C'est démontré, ça va rester vrai pour chaque nouvel entier impair A.
Donc arrête de dire : encore un exemple où ça marche.
ok, ok !
super théorème ! je joins le pdf consacré au $n{seed} = 203$ qui le montre en détail
Mais pour info, ce théorème (si on peut avoir son nom, son auteur, sa démonstration au cas où...) résout mon S3 en partie.
Prenons les $n$ du cluster 12_25_5_41 : 813, 817, 819, 827, 837, 841, 843, 845, 863, 911
leurs $4n+1$ respectifs occupent les positions 1, 2, 3, 4, 7, 11, 12, 13, 16, 21 dans le cluster 12_27_5_43
qui a 27 $n$. Il manque donc les positions 5, 6, 8, 9, 10, 15, 17, 18, 19, 20, 22, 23, 24, 25, 26, 27
D'où viennent ces $n$ qui ne sont pas des $4n+1$ du cluster précédent, telle est la question !
Mais au moins cette question se précise et S3 est un peu moins inatteignable.
Mouhahaha PMF tu me fais trop marrer. Lourrran a démontré ce truc depuis je ne sais pas combien de pages et tu as l'air de le découvrir maintenant.
Tu comprends maintenant pourquoi lorsque lourrran te dit "ta capacité à t'étonner m'étonnera toujours..." il n'est pas en train de te faire un compliment ?
PS. c'était ma parenthèse rabat-joie (:P)
Mais le calcul est extrêmement simple.
Prends ton nombre 433 par exemple. Dans le chemin de Syracuse partant de 433 vers 1, on commence par :
444 ->1300 ->650 etc etc
En fait , seulement 1300 nous intéresse.
Tous les nombres après 1300, il y a un certain nombre d'étapes paires (p) et un certain nombre d'étapes impaires (i)
Ce 1300, si on le multiplie par 4, on arrive à 5200, puis si on multiplie encore par 4, autant de fois qu'on veut, on arrive à 20800, 83200 etc etc
Et tous les nombres de cette série, ils ont un fils impair :
fils_impair(1300) = (1300-1)/3 = 433
fils_impair(5200) = (5200-1)/3 = 1733
fils_impair(20800) = (20800-1)/3 = 6933
etc
Le chemin de Syracuse de tous ces nombres est le même, quasiment le même :
Une montée (multiplication par 3 plus 1)
Soit on est arrivé à 1300, soit on a plein de descentes, jusqu'à arriver à 1300
Et la suite du chemin est la même pour tous ces nombres.
Donc tous ces nombres, non seulement on sait les associer, parce qu'ils ont le même nombre d'étapes impaires, et un nombre d'étapes paires qu'on sait prédire. Mais en plus, la route pour aller de 433 ou 1733 vers 1, c'est la même route ; la bretelle d'accès est au point 1300, et à partir de ce 1300, tous suivent la même route.
Et du coup, je t'ai dit à différentes reprises que les $4x+1$ étaient plutôt les plus petits du cluster alors que les $4x+3$ étaient plutôt les plus grands du cluster.
Ici, on a l'explication. Vois-tu le lien, ou pas ?
Je ne lis pas ce forum depuis des années non plus...et je suis un modeste analyste de données pas un mathématicien.
Ceci aussi pour la piqûre de rappel.
A part ça l'étonnement n'est très certainement pas dans mon système de valeurs une injure. Ce serait plutôt son contraire que j'aurais tendance à critiquer...
Donc ce théorème est un point central et je suis tout de même content que mon modèle le mette en valeur.
D'un point de vue technique je peux sortir les statistiques de position des $n$ trouvés par $4n+1$ et ceux qui échappent à cette règle. Sinon j'ai déjà le calcul intégral de toute la bdd en ce sens mais le pdf fait 1500 pages. Un peu lourd pour le forum.
Ca aussi, comme on est dans 'ton' fil de discussion, ce serait bien que tu le trouves toi-même.
On se donne un impair non divisible par 3, et on voudrait que le 1er cluster (de ses antécédents) de cardinal > 1 soit le plus éloigné possible de l'origine, dans le sens somme des montées + somme des descentes. Quels nombres impairs faut-il choisir et que vaut l'éloignement ?