0 divise 0 ?
La division "0 / 0" constitue un cas particulier de la division par 0. Intuitivement, nous réalisons bien qu'une division par 0 est impossible. Par exemple, si une somme de 20 euros est attribuée à deux personnes à parts égales (division par 2), chacune touchera 10 euros. Si elle est attribuée à une seule personne (division par 1), celle-ci recevra les 20 euros. Si elle n'est pas du tout attribuée (division par 0), nous sommes alors dans un autre cas de figure : pas la peine de faire une division ! Celle-ci n'aboutira à rien, est en fait impossible.
D'un point de vue arithmétique, la division d'un nombre non nul par 0 aboutit d'ailleurs à des illogismes. Voyons par exemple cette suite, avec N (nombre non nul) et X (quotient éventuel) :
1) N / 0 = X (ou X / 1)
2) N × 1 = 0 × X
3) N = 0
Autrement dit, un nombre non nul (N) sera égal à 0 : par exemple, 4 serait identique à 0 !
Par contre, la division "0 / 0" n'est pas illogique à première vue :
1) 0 / 0 = X (ou X / 1)
2) 0 × 1 = 0 × X
3) 0 = 0
Remplaçons toutefois X par un nombre quelconque, 4 par exemple : 0 / 0 = 4
On pourrait aussi remplacer X par un autre nombre, 8 par exemple : 0 / 0 = 8
Si "0 / 0" est égal à 4 et si "0 / 0" est aussi égal à 8, il s'ensuit que 4 = 8 !
La division "0 / 0" n'aboutit donc à rien non plus. Elle permet aussi d'établir que la multiplication par 0 n'est pas commutative.
Plus précisément, la multiplication par 0 est cohérente quand le premier nombre à multiplier est 0. On n'aboutira alors jamais à des incohérences du type "4 = 8" !
1) 0 × N = 0
2) 0 = 0 / N
3) 0 = 0
Par contre, la multiplication par 0 aboutit à des incohérences quand le premier nombre est N :
1) N × 0 = 0
2) N = 0 / 0
On retombe alors dans le même cas que la division "0 / 0" (plus haut). Avec N dont les valeurs sont diverses, nous aurons des incohérences du type "4 = 8" !
En voyant les choses de manière intuitive, il est d'ailleurs bizarre de multiplier un nombre (N) par 0 ! Cela reviendrait à l'annuler alors qu'il existe déjà au départ.
Nous pouvons donc poser en principe que la multiplication avec 0 est impossible quand celui-ci est en deuxième position. De même, la division avec 0 est impossible quand celui-ci est le dénominateur.
Le nombre 0 présente d'autres particularités arithmétiques, ce qui est assez normal puisque c'est le seul entier naturel n'ayant pas de nombre inférieur : nombre infini de diviseurs, influence nulle sur le résultat d'une addition ou d'une soustraction, déterminante au contraire dans une multiplication (avec 0 en premier) ou une division (avec 0 pour numérateur).
D'un point de vue arithmétique, la division d'un nombre non nul par 0 aboutit d'ailleurs à des illogismes. Voyons par exemple cette suite, avec N (nombre non nul) et X (quotient éventuel) :
1) N / 0 = X (ou X / 1)
2) N × 1 = 0 × X
3) N = 0
Autrement dit, un nombre non nul (N) sera égal à 0 : par exemple, 4 serait identique à 0 !
Par contre, la division "0 / 0" n'est pas illogique à première vue :
1) 0 / 0 = X (ou X / 1)
2) 0 × 1 = 0 × X
3) 0 = 0
Remplaçons toutefois X par un nombre quelconque, 4 par exemple : 0 / 0 = 4
On pourrait aussi remplacer X par un autre nombre, 8 par exemple : 0 / 0 = 8
Si "0 / 0" est égal à 4 et si "0 / 0" est aussi égal à 8, il s'ensuit que 4 = 8 !
La division "0 / 0" n'aboutit donc à rien non plus. Elle permet aussi d'établir que la multiplication par 0 n'est pas commutative.
Plus précisément, la multiplication par 0 est cohérente quand le premier nombre à multiplier est 0. On n'aboutira alors jamais à des incohérences du type "4 = 8" !
1) 0 × N = 0
2) 0 = 0 / N
3) 0 = 0
Par contre, la multiplication par 0 aboutit à des incohérences quand le premier nombre est N :
1) N × 0 = 0
2) N = 0 / 0
On retombe alors dans le même cas que la division "0 / 0" (plus haut). Avec N dont les valeurs sont diverses, nous aurons des incohérences du type "4 = 8" !
En voyant les choses de manière intuitive, il est d'ailleurs bizarre de multiplier un nombre (N) par 0 ! Cela reviendrait à l'annuler alors qu'il existe déjà au départ.
Nous pouvons donc poser en principe que la multiplication avec 0 est impossible quand celui-ci est en deuxième position. De même, la division avec 0 est impossible quand celui-ci est le dénominateur.
Le nombre 0 présente d'autres particularités arithmétiques, ce qui est assez normal puisque c'est le seul entier naturel n'ayant pas de nombre inférieur : nombre infini de diviseurs, influence nulle sur le résultat d'une addition ou d'une soustraction, déterminante au contraire dans une multiplication (avec 0 en premier) ou une division (avec 0 pour numérateur).
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Réponses
Je viens faire un petit hors sujet avec la petite remarque que $0\ne0$ car $A\ne B$ et $A\times0\ne B\times0$ aboutit à $0\ne0$
On peut déjà éliminer $\frac{0}0=1$.
PS. À l'attention du lecteur de passage, je dis ça parce que Spalding avait posté son message dans "Arithmétique" au début, sans savoir qu'il avait déjà toutes les qualité requise pour aller direct dans SHTAM donc...
Conjecture: $\frac 0 0 = \bar{\R}$
La division "0 / 0" n'est pas illogique à première vue :
1) 0 / 0 = X (ou X / 1)
2) 0 × 1 = 0 × X
3) 0 = 0
Remplaçons toutefois X par un nombre quelconque, 4 par exemple : 0 / 0 = 4
On pourrait aussi remplacer X par un autre nombre, 8 par exemple : 0 / 0 = 8
Si "0 / 0" est égal à 4 et si "0 / 0" est aussi égal à 8, il s'ensuit que 4 = 8 !
La division "0 / 0" n'aboutit donc à rien. Elle permet aussi d'établir que la multiplication par 0 n'est pas commutative.
Plus précisément, la multiplication par 0 est cohérente quand le premier nombre à multiplier est 0. On n'aboutira alors jamais à des incohérences du type "4 = 8" !
1) 0 × N = 0
2) 0 = 0 / N
3) 0 = 0
Par contre, la multiplication par 0 aboutit à des incohérences quand le premier nombre est N :
1) N × 0 = 0
2) N = 0 / 0
On retombe alors dans le même cas que la division "0 / 0" (plus haut). Avec N dont les valeurs sont diverses, nous aurons des incohérences du type "4 = 8" !
En voyant les choses de manière intuitive, il est d'ailleurs bizarre de multiplier un nombre (N) par 0 ! Cela reviendrait à l'annuler alors qu'il existe déjà au départ.
Nous pouvons donc poser en principe que la multiplication avec 0 est impossible quand celui-ci est en deuxième position. De même, la division avec 0 est impossible quand celui-ci est le dénominateur. N'importe quelle équation le démontre. Par exemple : 4 / 0 = X aboutit à 4 = 0 !
Au départ, une incompréhension : malgré l'analogie, il est vrai (et pas paradoxal pour un sou) que $0$ divise $0$ et cela n'a rien à voir avec la possibilité de donner un sens à l'expression $0/0$.
Le premier paragraphe, qui souligne qu'il serait tout aussi légitime de poser $0/0=4$ que $0/0=8$, est correct mais banal.
Le deuxième paragraphe ne tient pas debout. La multiplication des entiers est commutative, $0\times N=0=N\times0$ pour tout entier $N$, sans paradoxe d'aucune sorte.
Au lieu de raconter des banalités et des énormités, Spalding pourrait se payer le luxe de lire un cours en ligne pour savoir ce qu'est une division euclidienne (pas définie avec un diviseur nul) ou un rationnel (pas défini s'il a un dénominateur nul) ou, plus sophistiqué, ce que donne la localisation quand $0$ est un des dénominateurs.
S'il est juste, on ne voit pas alors comment une multiplication avec 0 pourrait être commutative ! Pas de problèmes pour "0 x 4 = 0" et pour "0 x 8 = 0". Dans les deux cas, nous aboutissons à 0 = 0 !
Par contre, "4 x 0 = 0" aboutit à "4 = 0 / 0". De son côté, "8 x 0 = 0" donne "8 = 0 / 0"
Par conséquent, si "0 / 0 = 4" et si "0 / 0 = 8", 4 = 8 ! Nous retrouvons la même incohérence que plus haut. Comment la multiplication avec 0 pourrait-elle être commutative dans ces conditions ? Math Coss ne m'explique pas du tout cette logique très originale !
1) 0 / 0 = X (ou X / 1)
2) 0 × 1 = 0 × X
3) 0 = 0
Remplaçons toutefois X par un nombre quelconque, 4 par exemple : 0 / 0 = 4
On pourrait aussi remplacer X par un autre nombre, 8 par exemple : 0 / 0 = 8
Si "0 / 0" est égal à 4 et si "0 / 0" est aussi égal à 8, il s'ensuit que 4 = 8 !
La division "0 / 0" n'aboutit donc à rien. Elle permet aussi d'établir que la multiplication par 0 n'est pas commutative.
Plus précisément, la multiplication par 0 est cohérente quand le premier nombre à multiplier est 0. On n'aboutira alors jamais à des incohérences du type "4 = 8" !
1) 0 × N = 0
2) 0 = 0 / N
3) 0 = 0
Par contre, la multiplication par 0 aboutit à des incohérences quand le premier nombre est N :
1) N × 0 = 0
2) N = 0 / 0
On retombe alors dans le même cas que la division "0 / 0" (plus haut). Avec N dont les valeurs sont diverses, nous aurons des incohérences du type "4 = 8" !
En voyant les choses de manière intuitive, il est d'ailleurs bizarre de multiplier un nombre (N) par 0 ! Cela reviendrait à l'annuler alors qu'il existe déjà au départ.
Nous pouvons donc poser en principe que la multiplication avec 0 est impossible quand celui-ci est en deuxième position. De même, la division avec 0 est impossible quand celui-ci est le dénominateur. Une simple équation le démontre : "4 / 0 = X" aboutit à "4 = 0" !
Si tu baptises ce "nombre" $0/0$, nombre quantique, tu peux peut-être acquérir une certaine renommée parmi les newageux comme découvreur du premier "nombre quantique". B-)
A) "0 x N = 0" aboutit à "0 = 0 / N", donc à "0 = 0". Aucun problème !
Par contre, "N x 0 = 0" aboutit à "N = 0 / 0". Si nous attribuons à N la valeur 4, il s'ensuit que "0 / 0 = 4". Si nous donnons par contre à N la valeur 8, "0 / 0 = 8". Par conséquent, "0 / 0 = 4 = 8", donc "4 = 8" ! Difficilement soutenable, non ?
Pour résumer, la multiplication "0 x N" est valide. Par contre, l'inverse "N x 0" est manifestement impossible. Conclusion très logique : les multiplications avec 0 ne sont pas commutatives puisqu'elles ne fonctionnent que dans un sens ! Le nombre 0 est par ailleurs assez spécial, puisque c'est le seul ne pouvant figurer au dénominateur d'une division : par exemple, "4 / 0 = X" aboutit à "4 = 0" !
Entre nous, tout cela est quand même assez évident. Pas la peine de discuter des heures là-dessus ! ;-)
La multiplication entre $a$ et $b$ dite commutative lorsque $a \times b = b \times a$. La multiplication entre deux entiers est toujours commutative, et en particulier la multiplication de n'importe quel entier avec $0$ est commutative.
Passer de la formule $a \times b = c$ à la formule $a = c/b$ nécessite des précautions, quels que soient les sens des symboles $\times$ et $/$. Dans le langage des nombres, pour que ça ait bien un sens, il faut bien sûr que $a$ soit le seul nombre tel que $a \times b = c$. Comme ce n'est pas le cas lorsque $b=0$, puisqu'on a $a \times 0 = 0$ pour n'importe quel nombre $a$, ça n'a aucun sens de "diviser par $0$", et donc aucun sens d'écrire quelque chose de la forme $a/0$ (même si $a=0$).
C'est comme pour le passage de l'addition à la soustraction : comment définit-on $a-b$ ? C'est le seul nombre $c$ qui vérifie $c+b=a$. Dans ce contexte additif, il n'y a aucun cas à exclure car quels que soient les nombres $a$ et $b$, il existe un et un seul nombre $c$ tel que $c+b=a$. Dans le contexte multiplicatif précédent, il y a un problème d'unicité dans le cas d'une multiplication par $0$, de sorte que "la division par $0$" n'a tout simplement pas de sens.
Il faut d'abord en effet s'entendre sur le sens d'une commutation. Pourquoi dit-on par exemple que "2 x 4" commute avec "4 x 2" ? Parce que le résultat (8) est le même dans les deux cas. Comment vérifier toutefois le résultat d'une multiplication (ou une autre opération) ? Par le principe de la cohérence interne. Si "2 x 4 = 8" équivaut à "2 = 8 / 4", on peut supposer que la première équation est valable. Idem bien sûr avec "4 x 2 = 8" équivalant à "4 = 8 / 2".
Dans l'esprit de ton explication, tu me dis que "0 x 4" commute avec "4 x 0" car le résultat (0) est le même dans les deux cas. C'est justement cela qu'il faut démontrer !
Si nous appliquons la même vérification que précédemment, "0 x 4 = 0" équivaut bien à "0 = 0 / 4". Voyons maintenant avec 8 : "0 x 8 = 0" équivaut à "0 = 0 / 8". Par conséquent, "0 / 4" = "0 / 8" : avec 0 au numérateur et un autre nombre au dénominateur, les quotients sont les mêmes. Cela ne choque pas, car "0 / 4" et "0 / 8" ne sont pas des nombres. En tout cas, "0 x 4 = 0" est vérifié de la même façon que "2 x 4 = 8" (plus haut).
Passons maintenant à "4 x 0". Si le résultat est aussi 0, comme pour "0 x 4", la commutativité se vérifie. Nous sommes bien d'accord. Mais le problème est justement de savoir si "4 x 0" aboutit bien à 0 ! En faisant le même genre de vérification que précédemment, c'est beaucoup moins évident que pour "0 x 4". En effet, "4 x 0 = 0" équivaut à "4 = 0 / 0". Si nous avions choisi 8 au lieu de 4, cela aurait été "8 = 0 / 0". Par conséquent, "0 / 0 = 4 = 8", donc "4 = 8" ! Cela choque car il s'agit ici de nombres, pas de divisions comme avec "0 / 4" et "0 / 8" dans le paragraphe précédent.
Par conséquent, je suis bien obligé d'en déduire que la multiplication "4 x 0" est absurde, car son résultat supposé (0) n'est pas valide d'après la vérification effectuée. Par contre, la multiplication "0 x 4" n'est pas absurde, car son résultat supposé (0) est confirmé par la vérification effectuée.
Si nous avons un résultat valide avec "0 x 4" (0 en l'occurrence) alors que "4 x 0" ne donne aucun résultat valide, tout cela après vérifications, nous sommes bien obligés de constater que la commutativité ne fonctionne pas dans les multiplications avec 0.
Le nombre 0 est assez particulier. Si une division avec 0 ne fonctionne pas quand 0 est au dénominateur, on ne s'étonnera pas trop que ce soit aussi le cas d'une multiplication quand 0 est en deuxième position. Intuitivement, il peut d'ailleurs sembler bizarre qu'un nombre posé au départ soit ensuite annulé. De même, chacun peut réaliser intuitivement qu'une division par 0 n'a aucun sens. Quand il n'existe aucune personne (0) à qui attribuer une somme, la division n'a aucun sens. Les intuitions sont souvent confirmées par les analyses théoriques !
Je m'arrête là, car ce n'est quand même pas un problème essentiel en maths ! J'ai aussi autre chose à faire... ;-)
Oui je crois qu'on est tous dans la même situation...
Comme cela a déjà été expliqué, ceci est faux: tout simplement parce que $a\times b=c$ n'est pas équivalent à $a=\dfrac{c}{b}$.
Cordialement,
Rescassol
$4\times 0=0+0+0+0=0$
Cordialement
Alors $0\times 0=$
Comme il n'existe pas de notation pour le résultat qui n’apparaît pas on pourrais l'appeler $0^1$ qui serait comme le 0 mais différent.
$0\times 0=0^1$
Du coup il est possible d’écrire $0=\frac{0^1}{0}$
Je dis ça je dis rien on est dans Shtam.
Personne ne dit ça, on dit que $2$ commute avec $4$.
C'est bien le cas puisqu'il s'agit de deux formules vraies. Ça n'implique pas pour autant comme tu sembles le croire que, pour tous $a,b$ et $c$, "$a \times b = c$" équivaut à "$a = c/b$", et ce pour plusieurs raisons. Tout d'abord tu fais une généralisation abusive ("c'est vrai pour le triplet $(2,4,8)$ donc ça doit être vrai pour tous les triplets $(a,b,c)$"). Ensuite, avant d'écrire la formule "$a = c/b$", il faut définir ce que veut dire le symbole $c/b$. Comme je l'ai dit dans mon précédent message, ce symbole n'a de sens que s'il existe un unique $a$ tel que $a \times b = c$, ce qui n'est pas le cas lorsque $b=0$.
Très bien, voici la démonstration. On partira du principe que, lorsque $a$ est un nombre supérieur ou égal à $1$, on a défini le nombre $a \times b$ par $b + b + \dots + b$ où le nombre $b$ apparaît $a$ fois, et qu'on souhaite étendre cette opération notée $\times$ à tous les couples de nombres de sorte que la multiplication soit distributive sur l'addition. On a donc d'un côté $4 \times 0 = 0 + 0 + 0 + 0 = 0$. De l'autre côté, on a $0 \times 4 = 0$ car $0 \times 4 + 4 = 0 \times 4 + 1 \times 4 = (0+1) \times 4 = 1 \times 4 = 4$ : le nombre $z = 0 \times 4$ vérifie $z+4=4$, c'est donc que $z=0$ (si tu crois en la soustraction).
La vérification du fait que la multiplication des entiers est commutative ne peut passer par des divisions !
$$
a/b:=\{x\mid \exists y\in \C,\ by=a\ \text{et}\ x\in y\}.
$$ Cela répond disons aux "compulsions de stress" des amateurs qui se grattent la tête tout en respectant les réalités mathématiques officielles.
Maintenant est-ce que Spalding acceptera de franchir l'exigence de formalisme indispensable aux maths...? L'avenir dira.
Que signifie $x \in y$ ?
$3/0=\emptyset$
$0/0=$ la réunion de tous les complexes.
Le bon résultat dans les autres cas.
Bêtement, je ne suis pas au niveau.
Ce n’est pas la première fois que je bute là-dessus.
Par exemple, qu’est-ce qu’un « $x$ » qui appartiendrait à $1$ ?
Vais-je m’en sortir avec wiki et sa théorie des ensembles ou bien vais-je manquer un truc, même trivial ?
Je réfléchis à haute voix : ici $y$ est une classe issue d’une construction de $\mathbb C$ par quotient, par exemple.
Donc on a bien des choses « dedans ». Et pour $1$ c’est la « classe complexe de $1$ ».
Par exemple $1_{\mathbb N} \in 1_{\mathbb C}$.
Je repars et retourne réfléchir si le temps me le permets...
Sauf si vous trouvez des énormités. Ok ?
Je m’autorise la digression car ça ne déclenche pas les foules désirées ;-)
Mais pas pour l'exemple que je t'ai donné avec les constructions usuelles.
Si vous voulez vous occuper de manière un peu plus productive, en supposant que les maths aient un intérêt professionnel pour vous, je peux vous annoncer que mon message 4 sur les nombres infinis de Cantor sera lancé demain. Vous aurez alors l'occasion de phosphorer utilement ! ;-)
Le maître ès melon est revenu.
Je précise par ailleurs que la réponse de Poirot ne m'avait pas du tout convaincu, car elle éludait l'essentiel, à savoir que "0 x N = 0" ne fonctionne pas comme "N x 0 = 0". Cela dit, le nombre 0 pose des problèmes particuliers, par exemple au dénominateur. Je n'ai pas poursuivi cette discussion, mais seulement parce que le sujet est trop mince. 8-)
Cette phrase démontre que tu n'as pas lu ce qui se passe sur les autres sous forums, mais il est vrai que ça échapperait probablement à ta compréhension.
Nous ne te répondons pas ici tout simplement parce qu'après avoir lu le début, nous avons compris à quel genre d'énergumène nous avions affaire, tes messages n'ont pas grand intérêt.
D'ailleurs, s'ils sont sur Shtam, ce n'est pas pour rien.
Bon melon pour la suite...
Cordialement,
Rescassol