Quand je pense à 150 et 151, qui étaient séparés et dans 2 clusters différents jusque là, ils doivent être très heureux d'être enfin regroupés dans cette approche.
Ahh, ce salaud de $i$, il en a brisé, des fratries !
Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
Je suis sur la route des vacances (musique)
Je regarde le pdf des entiers de 3 à 20000 que j'ai mis sur le fil il y a quelques jours
Je signale que je ne conduis pas !
Je m'intéresse au groupe 2.
Cela fait des séries de ce type :
3 6 12 24 48 96 192
13 26 52 104 208 416
53 106 212 424
213 426 852...
Bref la deuxième étape paire +1 produit l'impair de la ligne suivante ou
si i' est l'impair de début de ligne,
Alors le i' suivant est 4i' +1
13 =3*4+1
53 = 3*4^2+4+1
213 = 3*4^3+4^2+4+1
Ect...
Attention ça ne marche que pour i =85 dans ce groupe 2
Mais c'est régulier.
En généralisant un peu
Dans chaque groupe orbital
Il y a une succession de i'
Qui se suivent en 4i'+1
À partir d'un i' initial du groupe qui s'associe à un i
Pour le groupe 2,
i' =3 pour i = 5
Et
i' = 113 pour i = 85
Je ne vais pouvoir trouver bcp d'exemples car c'est moyennement pratique sous android
Au niveau de la description structurelle des suites de Collatz, les orbites représentent le dernier niveau et il semble inutile de chercher une structure plus grande que celle-ci.
Le premier niveau est celui qui consiste à regrouper tous les entiers pairs sous la forme $ p' = i' * 2^{n'} $
Ainsi en choisissant i' = 47, les déclinaisons paires de 47 (47_0): 94, 188, 376, ... s'écrivent 47_1, 47_2, 47_3...
Ces déclinaisons vont appartenir à des clusters de même x et de même i mais dont le tdv et le n va s'incrémenter en +1 cluster_______________a____________i'_________n'
38_62_5_104_________47___________47_________0
38_63_5_105_________94___________47_________1
38_64_5_106_________188__________47_________2
38_65_5_107_________376__________47_________3
38_66_5_108_________752__________47_________4
38_67_5_109_________1504_________47_________5
38_68_5_110_________3008_________47_________6
38_69_5_111_________6016_________47_________7
38_70_5_112_________12032________47_________8
Donc en considérant l'orbite d'un impair i' quelconque, et celle de p'
$\large Orbite_{p'} = Orbite_{i'} + n' $
en prenant i' = 47 et n' = 40 p' = 51677046505472
et son orbite ou tdv est : 144
et son cluster est : 38_102_5_144
Dans une orbite, le minorant appartient au cluster dont le x est le plus grand du groupe. Et le majorant au cluster dont le x est le plus petit de l'orbite.
Si on repère correctement les sauts entre les entiers membres d'une orbite on trouve les séparations entre clusters.
Le saut entre le majorant d'un cluster et le minorant du cluster suivant sépare les membres d'une orbite
Un cluster peut être identifié des quatre façons suivantes :
avec $ \large a$ un entier pair ou impair, $ \large x$ le nombre d'étapes impaires, $ \large n$ le nombre d'étapes paires et $ \large orbite$ la valeur du tdv et $ \large i$ la dernière étape impaire avant 1
CLUSTER 1 : $\large x\_n\_i $
CLUSTER 2 : $ \large x \_\lceil log_2{a} \rceil \_ i $
Toutes les orbites peuvent être décrites par leur cluster $\large \lceil log_2{a} \rceil \_ n\_ i$
en indiquant pour chacun leur minorant et majorant de a
Dans Excel la formule est : PLAFOND(LOG(a;2);1)+ARRONDI(2,5855367244*x - 0,3138853941;0)
Sur 19.985 cas avec a <= 20000 (valeurs a=2^n omises)
valeur exacte de l'orbite : 18.504 cas
erreur -1 : 989 cas
erreur +1 : 492 cas
le pdf des calculs est joint à ce message
[size=large]Cette formule montrerait simplement que tout entier rejoint une orbite en fonction d'une valeur de x[/size]
Cette formule a l'air de fonctionner. Pourrais-tu expliquer comment tu as obtenu les constantes 2,5855367244 et 0,3138853941 ?
Hello Wilfrid
L'astuce a été de transformer a en $y = \lceil log_2{a} \rceil$
puis de faire une corrélation entre x (nbr d'étapes impaires) et tdv - y
Sur l'ensemble des a <=20000
on remarque alors que tdv-y = 2,5855367244*x - 0,3138853941
et on peut donc en déduire que :
Orbite (ou tdv) = $\lceil log_2{a} \rceil + \lfloor 2,5855367244*x - 0,3138853941 \rceil $
Ces corrections permettent d'obtenir une suite linéaire récurrente d'ordre 3, dont la relation de récurrence est
$\large n_r=n_{r-1}+n_{r-5}-n_{r-6}$
Par exemple, $20=18+7-5$. On peut créer une boucle pour retrouver n'importe quelle valeur de $tdv-log_2(a)$ pour $x$ donné, donc par récurrence, mais l'idéal serait d'utiliser la formule explicite de $n_r$, que je n'ai pas réussi à calculer. Je ne doute cependant pas que quelqu'un y parviendra.
@Wilfrid
A part x= 1 et 3 le tdv - log(a;2) = 5
pour tous les autres c'est deux suites arithmétiques de raison 5 de premiers terme 5 pour les x pair ; et de premier terme 13 pour les X impairs.
si on prend X = 2 suite arithmétique de raison 2 ; le tdv - log(a;2) = suite arithmétique 5 de raison 5
pour X = 5 suite arithmétique de raison 2 ; le tdv - log(a;2) = suite arithmétique 13 de raison 5
Comme la structure de Syracuse est arithmétique initialisé par des suites arithmétiques pour chaque rang d'itération , il n'y a rien d'étonnant...
donc je suppose, qu'il faut trouver les autres suites arithmétiques en fonction des caractéristiques du point de départ...
Problème (vérifié avec l'AS2) pour tous les vols i = 2i itérations paires ...Et ben il y a $2^n$ suites arithmétique entre chaque vol i de la forme $2^n - 1$ , ces vols serait des points ou axe de Transition....
Pour le premier rang d'itération une suite arithmétique de raison 6 ,
Pour le deuxième rang : deux suites arithmétique de raison 18 et 6
Pour le troisième rang : 4 suite arithmétique 54 , 18,18,6
Point de départ des suites l'axe d'abscisse i = -1 ,ce qui donne : -2,-2,-2 ....etc -2
on peut aussi formuler le calcul de l'orbite (ou tdv) en fonction de x et a ainsi
Dans Excel :
arrondi(2,58588706718019*x+0,190704522651274+LOG(a;2);0)
Cette formule donne 100% de résultats corrects.
Cela est dû au fait que l'erreur avant arrondi varie entre -0.23 et +0.12, donc l'arrondi simple d'Excel revient toujours sur le bonne valeur entière
La formule est donc :
$ Orbite = \large \lfloor 2,58588706718019*x+0,190704522651274+ log_2{a} \rceil $
le pdf joint montre les résultats pour a <=20.000 (hors 2^n)
Je pense que si suite il y a il faut plutot chercher dans l'ordre des a par catégorie de x (le pdf est trié de cette façon)
et en vérifiant cette nouvelle formule avec le script de Raoul S. https://repl.it/repls/EthicalTangibleLocations#main.py___________________________ a_______________________x_n_i_tdv_______________x__________formule
125467899_______________82_153_5_239___________82_________239
1254678993______________59_120_5_183___________59_________183
12546789937_____________67_136_5_207___________67_________207
125467899375____________87_171_5_262___________87_________262
1254678993759___________189_336_5_529__________189________529
12546789937591__________88_173_341_271_________88_________271
125467899375913_________176_322_5_502__________176________502
En cherchant une valeur qui peut servir de pivot dans les orbites, il est évident que le choix se porte sur les puissances de 2.
Je vous propose donc le tableau qui est joint où les colonnes sont des valeurs de x et les lignes des a impairs groupés entre deux puissances de 2. Par exemple le dernier groupe "129_255" se situe entre 2^7 et 2^8
Dans chaque cellule je calcule l'orbite (ou tdv) avec la formule
$\large Orbite = \lfloor 2,58588706718019*x + log_2{a} \rceil$
si la formule correspond au tdv du a, elle est colorée en jaune
Cela permet de faire quelques observations simples :
Si je pars du coin haut gauche, je prends par exemple 7 qui est en (a;x) = (3;2)
Je cherche la prochaine cellule en jaune décalée d'une colonne à droite, donc en x+1 et je trouve 12 en (17;3)
si je continue sur toutes les colonnes, je trouve cette suite a___________x_________tdv 3___________2_________7
17__________3_________12
23__________4_________15
29__________5_________18
37__________6_________21
49__________7_________24
51__________7_________24
65__________8_________27
67__________8_________27
87__________9_________30
89__________9_________30
115_________10________33
119_________10________33
153_________11________36
157_________11________36
203_________12________39
209_________12________39
211_________12________39
On remarque qu'à partir de a = 17
tdv = 3x+3
et en partant de a = 5 a___________x_________tdv 5___________1_________5
13__________2_________9
35__________3_________13
45__________4_________16
61__________5_________19
77__________6_________22
81__________6_________22
99__________7_________25
101_________7_________25
131_________8_________28
133_________8_________28
173_________9_________31
177_________9_________31
179_________9_________31
229_________10________34
237_________10________34
on trouve qu'à partir de a =35
tdv = 3x+4
il faut donc bien passer une puissance de 2 pour que le cycle fonctionne :
dans le premier tableau : 17>2^4
dans le deuxième tableau : 35> 2^5
il est possible que l'ensemble des ""cellules jaunes" ait des alignements de ce type. A vérifier.
A part x= 1 et 3 le tdv - log(a;2) = 5
pour tous les autres c'est deux suites arithmétiques de raison 5 de premiers terme 5 pour les x pair ; et de premier terme 13 pour les X impairs.
C'est inexact. Voici les termes de rang impair : 13, 18, 23, 28, 33, 39, 44, 49, ... Pour les termes de rang pair on a 5, 10, 15, 20, 26, 31, 36, 41, 46, ... Dans les deux cas la différence entre deux termes consécutifs est 5 ou 6. Ça veut dire qu'il ne faut pas considérer cette suite comme la réunion de deux suites arithmétiques, la preuve étant que la relation de récurrence que j'ai proposée ci-dessus fonctionne parfaitement sur la suite corrigée (voir plus bas).
Cela est dû au fait que l'erreur avant arrondi varie entre -0.23 et +0.12, donc l'arrondi simple d'Excel revient toujours sur le bonne valeur entière
Je ne suis pas partisan des cas particuliers, inexactitudes et autres approximations. Tout ceci sent le bricolage de la part de quelqu'un qui veut absolument prouver qu'il a fait une découverte extraordinaire, sans s'occuper de savoir si ses résultats sont consistants. Et malheureusement ils ne le sont pas. De la part d'un analyste de données ça a de quoi inquiéter.
2,58588706718019 est peut-être une nouvelle constante
Il faudra un peu plus qu'un nombre sorti tout droit d'un chapeau pour prétendre avoir découvert une nouvelle constante. Je crois que la recherche permanente de la satisfaction de ton ego te conduit à l'illusion.
Je crois que la recherche permanente de la satisfaction de ton ego te conduit à l'illusion.
Hormis ce passage à haute teneur psychanalytique, tu ne démontes pas vraiment ni ma formule, ni ma constante.
Cette ''constante" sort tout droit des données et jusqu'à preuve du contraire (bon courage pour trouver un contre exemple), je dis que tout tdv est calculable avec :
$\large Orbite = \lfloor 2,58588706718019*x + log_2{a} \rceil$
Il faut prendre ce résultat comme juste et chercher pourquoi et comment il fonctionne, et non pas se battre contre. C'est un fait.
SI avec cette formule, on peut sortir n'importe quel tdv à partir d'un x et d'un entier, il y a quelque part un processus et un seul qui va permettre de l'expliquer.
D'abord, cette formule demande un x pour calculer le tdv et comme on ne peut pas connaitre x sans connaitre le tdv (les deux sortent du calcul d'une suite de Collatz), la formule donne de fait une série de résultats pout tout x>=1 dont un seul sera le bon (mais toujours un). C'est le sens de mon tableau, où l'on voit bien qu'il y a par ligne qu'une cellule jaune parmi 41 cellule.
Si on veut monter cette formule d'un cran, il faudrait lui donner ou minorant/majorant de x, ou carrément la possibilité de savoir quel est le bon x. Ce n'est pas forcément impossible.
D'abord parce que l'on peut trouver des suites de x qui vont donner des cribles efficaces.
Par exemple
tdv = 3x+3 pour a : 17, 23, 29, 37, 49, 51, 65, 67, 87, 89, 115, 119, 153, 157, 203, 209, 211....
tdv = 3x+4 pour a : 35, 45, 61, 77, 81, 99, 101, 131, 133, 173, 177, 179, 229, 237
Ça veut dire qu'on peut prendre indifféremment l'entier inférieur ou supérieur ? (je plaisante).
Vu que tu changes de notation pratiquement à chaque message il faudrait que tu commences par définir les variables $\text{orbite}$, $\text{tdv}$, $a$ et $x$, avec de préférence un exemple de suite.
il faudrait que tu commences par définir les variables
Une petite piqure de rappel alors ;-)
x : nbr étapes impaires
n : nbr étapes paires
i : dernière étape impaire avant 1
i' : un entier impair >1 et <> i
a : n'importe quel entier pair ou impair
tdv : le temps de vol au sens classique de l'entier de départ à 1 qui est omis dans le décompte (idem Calculis.net)
orbite : ensemble des entiers pairs ou impairs ayant un même tdv
La formule qui permet de calculer pour tout a son tdv en fonction de x est :
$\large TDV = Orbite = \lfloor 2,58588706718019*x + log_2{a} \rceil$
donc c'est valable pour n'importe quel i' ou i :
$\large TDV = Orbite = \lfloor 2,58588706718019*x + log_2{i} \rceil$
$\large TDV = Orbite = \lfloor 2,58588706718019*x + log_2{i'} \rceil$
J'en profite donc pour rajouter une nouvelle variable u, un entier relatif tel que
$\large3x+u=tdv$ il est possible d'extraire cette variable $\large u$ des données. Elle apporte une information nouvelle sur les clusters et leurs alignements (ma chère latitude...)
En effet, non seulement tous les entiers membres d'un même cluster ont le même u, mais des clusters différents ayant le même u vont voir leurs premiers de clusters (minorant) s'aligner sur une même ''latitude"
Je joins aussi un pdf montrant les valeurs u pour les i'<1000
x : nbr étapes impaires
n : nbr étapes paires
i : dernière étape impaire avant 1
i' : un entier impair >1 et <> i
a : n'importe quel entier pair ou impair
tdv : le temps de vol au sens classique de l'entier de départ à 1 qui est omis dans le décompte (idem Calculis.net)
cluster : les valeurs x_n_i_tdv qui regroupent un ensemble d'entiers possédant ces valeurs
orbite : ensemble des entiers pairs ou impairs ayant un même tdv
u : un entier relatif tel que $ tdv = 3x+u $
Un cluster pourrait s'écrire sous la forme u_x_n_i_tdv
Dans ces exemples pour i' de 3 à 41, on peut vérifier facilement que tdv = 3x+u i'_________u_x_n_i_tdv
3_________1_2_1_5_7
5_________2_1_0_5_5
7_________1_5_7_5_16
9_________1_6_9_5_19
11________2_4_6_5_14
13________3_2_3_5_9
15________2_5_8_5_17
17________3_3_5_5_12
19________2_6_10_5_20
21________4_1_0_21_7
23________3_4_7_5_15
25________2_7_12_5_23
27________-12_41_66_5_111
29________3_5_9_5_18
31________-11_39_63_5_106
33________2_8_14_5_26
35________4_3_6_5_13
37________3_6_11_5_21
39________1_11_19_5_34
41________-11_40_65_5_109
Je suppose qu'il faut comprendre : $x=$ nbr d'étapes impaires jusqu'à $i$, à l'exclusion du premier terme $i'$ de la suite, et $n=$ nbr d'étapes paires entre $i'$ et $i$.
Dans la suite 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, $x=2$ et $n=5$. C'est comme ça que tu l'entends ?
tdv : le temps de vol au sens classique de l'entier de départ à 1 qui est omis dans le décompte
Le terme final 1 ne peut pas être omis dans le décompte du nombre d'étapes d'une suite. Celui qui est omis c'est $i'$. Si $L$ est la longueur totale d'une suite, $tdv=L-1$.
a : n'importe quel entier pair ou impair
Quel est le lien entre cette définition et $tdv-log_2(a)$, qui tendrait à assimiler $a$ à $i$, le prédécesseur impair de 1 ?
orbite : ensemble des entiers pairs ou impairs ayant un même tdv
Tu veux dire l'ensemble des entiers impairs $i'$ dont la suite possède un tdv donné ?
Dans la suite 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, x=2 et n=5. C'est comme ça que tu l'entends ?
non. Il faut toujours que $\large tdv = x + n + log_2{(3i+1)} $
Donc pour 17
selon calculis.net 17 - 52 - 26 - 13 - 40 - 20 - 10 - 5 - 16 - 8 - 4 - 2 - 1
La durée du vol pour 17 est de 12
i = 5
x = 3 soit 17, 13, 5 (i' de départ, i' intermédiaire et i)
n = 5 soit 52, 26, 40,20,10 (on s'arrête à la dernière étape paire avant i)
tdv = 12 soit 3 + 5 + log(3*5+1;2) = 12
x_n_i_tdv = 3_5_5_12
selon le script de Raoul S. https://repl.it/repls/EthicalTangibleLocations#main.py
i_prime = 17
x_n_i_tdv : 3_5_5_12
Donc j'ai adopté un ''standard" que tu peux retrouver dans d'autres méthodes que la mienne ( ce que collag3n n'a jamais contesté non plus et toutes ses formules utilisent mes x, n et i)
Le terme final 1 ne peut pas être omis dans le décompte du nombre d'étapes d'une suite. Celui qui est omis c'est i?. Si L est la longueur totale d'une suite, tdv=L?1.
si tu veux. mais i' est bien inclus dans x. sinon il faudrait dire que 1 est la dernière étape impaire et on la compterait dans x
ce qui est bien tiré par les cheveux et embrouille tout.
Quel est le lien entre cette définition et tdv?log2(a), qui tendrait à assimiler a à i, le prédécesseur impair de 1 ?
Non cela n'a rien a voir.
Par contre, ''i, le prédécesseur impair de 1'' est d'ailleurs une bonne définition que je vais employer maintenant
j'utilise $\large a $ pour bien indiquer que la formule marche pour des valeurs paires ou impaires, ce qui est important d'ailleurs
dans la formule :
$\large TDV = Orbite = \lfloor 2,58588706718019*x + log_2{a} \rceil$
le $\large log_2{a} $ ne doit pas être confondu à $\large log_2{3i+1} $ qui est utilisé pour $\large tdv = x + n + log_2{3i+1} $
En espérant avoir répondu à tes questions. Ce qui est surement utile pour éviter les confusions venant du fait que je m'exprime moins bien que vous en langage mathématique.
Comme je ne savais pas ce qu'était $a$ dans tout ça, et sachant que le tdv de 1856853 est 26, j'ai calculé $log_2(a) = 26-5.1718 = 20.8282$, ce qui a donné $a=1.86175*10^6$, donc le premier terme de la suite. Alors une fois c'est $i'$ et une autre fois c'est $a$. Un cochon n'y retrouverait pas ses petits. Il aurait suffi de préciser que $i'$ pouvait être pair ou impair.
Au final ça donne $tdv=\lfloor 2.58588706718019 \times 2+log_2(1856853) \rfloor=25$.
C'est bien, mais le problème est qu'il faut connaître $x$, donc avoir au préalable calculé la suite de $i'$ (ou $a$). Tu aurais trouvé le moyen de calculer le tdv de n'importe quel nombre impair sans avoir à calculer sa suite, ç'aurait été le jackpot !
Pour voir s'il existe des contrexemples il faudra passer par un programme.
@Wilfrid
Désolé si je t'ai un peu embrouillé. De fait j'avais bien précisé ce qu'était $a$ dans mes premiers messages à ce sujet mais je ne l'ai pas systématiquement répété.
J'essaie de faire de mon mieux pour exprimer mon travail dans un langage mathématique correct. Ça commence à aller mieux avec le Latex donc je l'utilise en priorité.
Pour le x de la formule ce n'est pas un blocage non plus.
D'abord parce qu'on peut calculer des résultats sur une série de x probables et savoir que le bon tdv sera un de ces résultats.
Après avec $u$ un entier relatif on peut aussi avancer.
$ \large u = n + log_2{(3i+1)} -2x $
On voit qu'une seule valeur condense x, n, i . Et qu'on peut chercher avec $ tdv = 3x+u $ pourquoi et comment les clusters partagent le même $u$ et que des clusters ayant le même $u$ sont alignés sur les mêmes "latitudes".
La latitude étant une courbe logarithmique qui relie les minorants de cluster avec les mêmes paramètres.
Donc si ça veut bien s'ouvrir sur ce point, la dépendance de ma formule au x va réduire ou disparaître.
Revenons à la définition de la suite de Syracuse, sur un exemple.
On part de l'entier a=116.
100 -> 50 -> 25 -> 76 -> 38 -> 19 ->
116 -> 58 -> 29 -> 88 -> 44 -> 22 -> 11 -> 34 -> 17 -> 52 -> 26 -> 13 -> 40 -> 20 -> 10 -> 5 -> 16 -> 8 -> 4 -> 2 -> 1
C'est le chemin qui part de 116 et qui arrive à 1
On a 15 étapes paires (en comptant le point de départ 116) et donc 15 divisions par 2
Et on a 5 étapes impaires (en comptant le point de départ si on commence par un nombre impair). Ici, ces 5 étapes impaires se traduisent par 5 multiplications, respectivement par 88/29, 34/11, 52/17, 40/13 et 16/5.
Autrement dit, 5 multiplications par des nombres un tout petit peu plus grand que 3.
On peut donc déterminer un nombre k, un tout petit peu plus grand que 3, qui serait une certaine moyenne 'géométrique' des 5 nombres ci-dessus, et du coup :
$116 * 0.5^{15} * k^5=1$ (relation strictement exacte, pas d'arrondi ...)
Quand je parle de moyenne géométrique, ce n'est pas par hasard, c'est le terme exact.
Si $n$ est le nombre d'étapes paires (en comptant le nombre initial s'il est pair) (ici, n=15), et $x$ le nombre d'étapes impaires (en comptant le nombre initial s'il est impair), on a donc la relation :
$a*0.5^n*k^x=1$, soit $a=2^n/k^x$
Où $k$ est un nombre très légèrement supérieur à 3. Dans l'exemple ci-dessus, $k=3.0971$.
Ici a=116 est dans l'orbite 20. 20 coincide avec $n+x$ ... normal.
Si on note $t$ le numéro d'orbite, on a donc ces 2 relations :
$a=2^n/k^x$ et $t=x+n$
La première relation donne :
$ln(a) = n*ln(2)- x*ln(k)$
Pour retrouver une relation entre $a$ , $t$ et $x$, on doit donc faire en sorte d'éliminer $n$ de cette équation.
Or, $n=t-x$ donc
$ln(a) = (t-x)*ln(2)-x*ln(k) = t*ln(2) - x *ln(2k)$
$ln(a)+x*ln(2k) = t*ln(2)$
$t = x* ln(2k)/ln(2) + ln(a)/ln(2) $
On retrouve bien une expression très similaire à celle proposée par PMF, pas de surprise.
Mon nombre $k$, il vaut combien ? Sur l'exemple ci-dessus, $k=3.0971$ ; Mais on l'a vu, on avait plein de diviseurs impairs tout petits (5,13,11,17...) ;
Quelle est la valeur qu'il faut donner à mon coefficient $k$ pour retomber sur la constante magique 2.585887 de PMF ?
$k=3.001923$ .. ce nombre donne $ln(2k)/ln(2) = 2.585887$
Le nombre $k$ trouvé ici est plus petit que le 3.0971 de cet exemple ; il nous rappelle un 3.01 qu'on avait déjà vu dans certains raisonnements, bien avant qu'on ne parle d'orbites...
La propriété marche pour les nombres pairs, mais aussi pour les nombres impairs, à condition de bien prendre en compte le 1er nombre dans le décompte des étapes impaires.
Est-ce que cette propriété magique va continuer de marcher pour des nombres $a$ très grands ? Non, bien entendu.
Si je prends un nombre avec plein d'étapes impaires , et plus précisément des étapes impaires toutes très grandes, que va-t-il se passer ?
Prenons un nombre dont la 'souche' soit $(2^{28}-1)/3=89478485$
A priori, toute les étapes impaires de ce nombre seront plus grandes que $89478485$ ; de toutes façons, on peut construire sur mesure un nombre vérifiant cela.
La vraie formule (exacte, pas approximative) est $ln(a) = n*ln(2)- x*ln(k)$, et ici, k sera entre $3$ et $(3*89478485+1)/3$ ; donc entre $3$ et $3.0000000111759$
Si j'ai par exemple $10000$ étapes impaires, la vraie formule va donner $ln(a) = n*ln(2) - 10000 * ln(k)$ avec $k$ quelque part entre $3$ et $3.0000000111759$
L'écart entre cette formule (exacte) et la formule approchante $ln(a) = n*ln(2) - 1000 *ln(3.001923)$ sera plus grand que $1$.
Et donc, même en faisant l'arrondi à l'unité, la formule sera fausse.
Pour des nombres 'normaux', on a besoin d'un $k$ proche de 3.002, et pour des nombres extrèmement grands, il faut un $k$ plus petit.
Bel exemple d'une propriété qui semble vraie très longtemps (jusqu'à $a$ égal à plusieurs milliards, la formule doit être exacte), mais qui finit par devenir fausse.
Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
Si je reprends le début de tes explications, très intéressantes, je peux systématiser le calcul selon le tableau joint
on tombe alors sur une puissance de 2 qui est la jonction vers 1
ici c'est 16 puisque i =5
$\large log_2{(3*5+1)} = 5 $
pour faire ce tableau, il faut tout connaitre de la suite, ce qui peut sembler décevant. Mais son intérêt est de montrer ceci :
$ \large 3i+1 = R_{last_x} * 0.5^{n} $
$ \large R_{last_x} $ dont le tableau montre bien le calcul, est tel que
$\large a* 3^{x}< R_{last_x} < a* 3^{x+1}$
et donc
$\large a* 3^{x}< \frac{3i+1}{0.5^{n}} < a* 3^{x+1}$
en rappelant :
[size=x-small]x : nbr étapes impaires
n : nbr étapes paires
i : dernière étape impaire avant 1
i' : un entier impair >1 et <> i
a : n'importe quel entier pair ou impair
tdv : le temps de vol au sens classique de l'entier de départ à 1 qui est omis dans le décompte (idem Calculis.net)
orbite : ensemble des entiers pairs ou impairs ayant un même tdv[/size]
Relis mon message 10 fois, apprends-le par coeur s'il le faut. Le 'dernier impair', on s'en moque.
Si le dernier impair est 5, alors, le k (avec ma notation) va probablement être 'grand' , c'est à dire proche de 3.1 par exemple, mais ce n'est pas sûr du tout.
Tant que tu joues avec des petits nombres, oui, c'est le cas.
Mais imagine un nombre comme celui-ci :
Je parcours le chemin de Syracuse, en partant de la fin, en partant de 1:
1 2 4 8 16 5 10 20 40 80 ... etc . et là, je multiplie par 2 quelques milliers de fois. Ensuite, on met quelques étapes impaires, environ 2000, pour se faire plaisir ; on obtient un nombre très grand.
Sa 'souche', c'est 5. Et pourtant, ce nombre là, il sera de la forme a=2^n/k^x avec k vraiment très très proche de 3.
Inversement, si tu 'bâtis' un nombre avec plein d'étapes impaires, 2000 environ, mais le plus petit possible, puis que tu multiplies ce nombre quelques milliers de fois par 2, tu auras un nombre du même cluster (x_n_i_tdv), mais il sera de la forme a=2^n/k^x avec k un peu plus grand que dans l'autre exemple.
Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
C'est ma faute. Depuis plusieurs semaines je ne lis plus ce fil qu'en diagonale. J'aurais dû éviter de donner mon avis.
Je viens de tester la "constante" sur une suite de 200 000 termes pour laquelle $x=2$, donc 2 termes impairs avant 1. Le tdv calculé diffère d'une unité du tdv réel. Ça fonctionne.
D'après lourran, cependant, cette valeur ne fonctionnerait plus avec des suites comprenant plusieurs milliers de termes impairs. J'ai donc testé des suites comptant 1000, 2000, ... termes impairs (1 compris), le prédécesseur impair de 1 étant toujours 5. Voici les résultats au format "nbr de termes impairs : tdv réel, tdv calculé (delta)" :
@lourran
je jure d'apprendre par coeur ton message ;-)
Pour mieux en comprendre les subtilités, j'ai d'ailleurs mis tout cela dans mes petits tableaux favoris.
D'abord je remarque que la première partie de ta démonstration prouve surtout que les étapes impaires de i' à i sont essentielles, ce que j'essaie de prouver depuis des semaines. En effet en regardant le tableau joint , tu verras que le produit des ratios des étapes impaires i' et des étapes paires qui les précèdent (3i+1) que j'appelle $\large P_{imp}$ est tel que :
$ \large P_{imp} * 0.5^{n} = 3i+1 $
ou $P_{imp} $ et 3i+1 sont toujours des puissances de 2
ce qui pourrait s'écrire ainsi :
$ \large 2^{log_2{P_{imp} }} * 0.5^{n} = 2^m $
en rappelant que m=4 pour i = 5
De ce fait, il m'apparait évident que n'importe quelle suite de Collatz, avec a (ou i') aussi grand que l'on voudra est toujours définie par ses variables x, n, i et le tdv qui en découle. Et que toute structuration de ces suites en clusters et orbites dépend uniquement de ces 3 variables et d'autres indicateurs ou classificateurs (tdv, k, u...) qui les utiliseront.
Sans garantir la bonne formulation en LaTex pour $\large P_{imp}$
$\large P_{imp} = \prod_{i' à i}^x f(3i'+1/i') $
si quelqu'un peut la corriger, merci d'avance
Bonne nouvelle, dans les chiffres donnés par Wilfrid, le tdv calculé est supérieur au tdv réel. Si ça avait été dans l'autre sens, il y aurait eu un erreur quelque part, soit dans mon analyse, soit dans son traitement.
L'ordre de grandeur de l'écart est aussi complètement conforme à l'analyse.
On sait que $t= x * ln(2k)/ln(2) + ln(a)/ln(2)$
avec k un nombre un tout petit peu plus grand que 3.
PMF a pris comme estimateur pour ce nombre k $k=3.001923$ ; n peut prendre une autre estimation, un minorant : k=3
Et quand on a 10000 étapes étapes impairs, ça donne quel écart ?
$ln(2k)/ln(2)$ vaut 2.585887 dans l'estimateur de PMF, et 2.584963 dans le minorant obtenu avec k=3.
L'écart est de 0.000961
Pour 10000 étapes impaires, on a donc un écart de 9.61 entre l'estimateur de PMF et le minorant. Et l'écart obtenu par Wilfrid (8) nous confirme que la vraie valeur de k est en fait beaucoup plus proche de 3 que de 3.0019 quand on a des grands nombres.
Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
Un petit tour sur l'orbite 21 en profitant du paramètre k proposé par @Lourran
Cette orbite englobe les clusters suivants
13_24_5_41
12_25_5_41
12_19_341_41
11_26_5_41
11_22_85_41
11_20_341_41
10_27_5_41
10_23_85_41
10_21_341_41
9_28_5_41
On voit sur le graphique que les k se regroupent suivant les clusters
et que les 3 alignements bien perceptibles correspondent aux i =5, 85 et 341
les 5 clusters de la ligne la plus haute sont ceux de i =5, au milieu i = 85 et en bas i = 341
pour rappel on calcule dans Excel: k = EXP((n*LN(2)-LN(a))/x)
ce qui se déduit de :
$\large ln(a) = n*ln(2)- x*ln(k) $
J'ai donc testé des suites comptant 1000, 2000, ... termes impairs (1 compris), le prédécesseur impair de 1 étant toujours 5
waouh ! super calcul et les erreurs ne sont pas si grandes que cela sur une constante calculée avec des petits x (de l'orde de 100) et qui reste juste avec des x = 1000
il me semble que si on pouvait calculer la constante ''pmf'' sur des séries plus grandes, elle trouverait forcément la précision nécessaire
En effet cette constante est en théorie parfaite si elle peut être calculée sur des séries en rapport avec l'ordre de grandeur mesuré
Le nombre d'étapes paires ou impaires, bien sur que c'est important.
Retourne voir le lien sur le sited'Eric Roosendaal, ça date d'il y a 10 ans, et à peu près tous les travaux qu'on y trouve parle de nombre d'étapes paires et impaires.
On a en particulier la définition du résidu, qui est très proche de ce qu'on regarde en ce moment.
Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
J'ai refait le calcul avec 10 000 termes impairs, mais en supprimant le floor du tdv calculé de manière à obtenir une valeur plus précise. Les résultats sont constants selon que $i$, le prédécesseur impair de 1, vaut 5, 85, 341, 5461 ou 21845. Format "$i$ : tdv réel, tdv calculé (delta en arrondissant à l'entier le plus proche)" :
Je calcule la suite $n_{-(m-2)},...,n_{-3},n_{-2},n_{-1},5,1$ où $m$ est le nombre de termes impairs qu'on désire obtenir. A chaque étape, $n_{i-1}$ est le plus petit prédécesseur impair non multiple de 3 de $n_i$. La suite créée est donc déterministe. Si $m_1=1000$ et $m_2=2000$, les 1000 derniers termes de $m_2$ sont identiques aux 1000 termes de $m_1$. Une fois $n_{-(m-2)}$ obtenu il ne reste plus qu'à calculer sa suite standard, dont on déduit le tdv, ainsi que le tdv calculé avec la formule de PMF, puisque $x$ est connu.
@wilfrid
c'est un super boulot. Je t'en suis vraiment reconnaissant.
c'est de plus une excellente démonstration de "l'esprit" de cette formule : si la constante avait été obtenue par une coincidence heureuse de quelques résultats sur des petites valeurs de x, elle "exploserait" sur les grandes valeurs avec des résultats abérrants partant dans tous les sens.
Ce qui n'est absolument pas le cas. L'erreur va toujours dans le même sens, de manière quasi proportionnelle au nombre de x. Une différence de 92 sur un tdv = 333081, c'est 0,003%. Pour une suite ayant 100.000 étapes impaires ! L'erreur est aussi la même sur des i différents à nbr de x egal.
L'amélioration de cette constante est possible. Ce que j'ai fait sur Excel peut se reproduire sans problème.
il faut faire deux colonnes pour une série assez longue de $\large a$ le plus grands possible :
COL1 : x
COL2 : $tdv-log_2{a} $
dans excel on fait alors DROITEREG(COL1;COL2;VRAI;FAUX)
le premier paramètre est la constante : 2,585536724365600
En gagnant des décimales, on peut viser de supprimer les erreurs je pense jusqu'à 100.000 x
On est quand même sur un chantier surprenant.
On cherche à calculer le temps de vol d'un nombre a, en connaissant son nombre d'étapes impaires.
Si on a pris le soin de calculer son nombre d'étapes impaires (noté x), pourquoi n'a-t-on pas calculé en même temps son nombre d'étapes paires (n), et ainsi, on aurait tout simplement $tdv=x+n$ .
Comme on a pensé à calculer $x$ mais qu'on a oublié de noté n, peut-on retrouver ce $n$? Non.
Sauf dans des cas particuliers où x/ln(a) est assez petit.
Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
Bravo Wilfrid
Cest sûrement la meilleure formule à ce jour. J'espère que l'on va trouver des développements surprenants à partir de cette nouvelle base.
Réponses
Ahh, ce salaud de $i$, il en a brisé, des fratries !
et oui les pairs et les impairs ont rejoint la grande fraternité du i'
je reconnais qu'on ne peut pas concevoir les orbites sans les pairs - tu as le point
néanmoins le regroupement des ''a'' par i' est bien pratique surtout pour les formules
si tu as 5 minutes, ouvre le fichier excel (sans macro) et joue avec les filtres
a et a+1 partagent le même groupe orbital
à partir de a = 14
a et a+1 partagent le même groupe orbital et le même cluster
bon ça y est je fais ma valise B-)
Je regarde le pdf des entiers de 3 à 20000 que j'ai mis sur le fil il y a quelques jours
Je signale que je ne conduis pas !
Je m'intéresse au groupe 2.
Cela fait des séries de ce type :
3 6 12 24 48 96 192
13 26 52 104 208 416
53 106 212 424
213 426 852...
Bref la deuxième étape paire +1 produit l'impair de la ligne suivante ou
si i' est l'impair de début de ligne,
Alors le i' suivant est 4i' +1
13 =3*4+1
53 = 3*4^2+4+1
213 = 3*4^3+4^2+4+1
Ect...
Attention ça ne marche que pour i =85 dans ce groupe 2
Mais c'est régulier.
Mais cette fois il il suffit de partir de 113
113 226 452
453
453 = 4×113+1
Dans chaque groupe orbital
Il y a une succession de i'
Qui se suivent en 4i'+1
À partir d'un i' initial du groupe qui s'associe à un i
Pour le groupe 2,
i' =3 pour i = 5
Et
i' = 113 pour i = 85
Je ne vais pouvoir trouver bcp d'exemples car c'est moyennement pratique sous android
Le groupe orbital 3 semble aussi avoir une construction régulière à partir de 17
pour les clusters dont i = 5 et x = 3
Le premier niveau est celui qui consiste à regrouper tous les entiers pairs sous la forme $ p' = i' * 2^{n'} $
Ainsi en choisissant i' = 47, les déclinaisons paires de 47 (47_0): 94, 188, 376, ... s'écrivent 47_1, 47_2, 47_3...
Ces déclinaisons vont appartenir à des clusters de même x et de même i mais dont le tdv et le n va s'incrémenter en +1
cluster_______________a____________i'_________n'
38_62_5_104_________47___________47_________0
38_63_5_105_________94___________47_________1
38_64_5_106_________188__________47_________2
38_65_5_107_________376__________47_________3
38_66_5_108_________752__________47_________4
38_67_5_109_________1504_________47_________5
38_68_5_110_________3008_________47_________6
38_69_5_111_________6016_________47_________7
38_70_5_112_________12032________47_________8
Donc en considérant l'orbite d'un impair i' quelconque, et celle de p'
$\large Orbite_{p'} = Orbite_{i'} + n' $
en prenant i' = 47 et n' = 40 p' = 51677046505472
et son orbite ou tdv est : 144
et son cluster est : 38_102_5_144
Si on repère correctement les sauts entre les entiers membres d'une orbite on trouve les séparations entre clusters.
Le saut entre le majorant d'un cluster et le minorant du cluster suivant sépare les membres d'une orbite
avec $ \large a$ un entier pair ou impair, $ \large x$ le nombre d'étapes impaires, $ \large n$ le nombre d'étapes paires et $ \large orbite$ la valeur du tdv et $ \large i$ la dernière étape impaire avant 1
CLUSTER 1 : $\large x\_n\_i $
CLUSTER 2 : $ \large x \_\lceil log_2{a} \rceil \_ i $
CLUSTER 3 : $ \large Orbite \_ x \_ n $
CLUSTER 4 : $ \large \lceil log_2{a} \rceil \_ n\_ i $
Ces quatre méthodes ont le même pouvoir séparateur et identificateur d'un cluster
Enfin dans une même orbite, il suffit de classer les a selon $ \large \lceil log_2{a} \rceil $ pour identifier les groupes de a de chaque cluster.
en indiquant pour chacun leur minorant et majorant de a
l'orbite (ou le tdv) peut être précisement calculée selon cette formule :
$\large orbite-1\leq\lceil log_2{a} \rceil + \lfloor 2,5855367244*x - 0,3138853941 \rceil \leq orbite+1$
Dans Excel la formule est : PLAFOND(LOG(a;2);1)+ARRONDI(2,5855367244*x - 0,3138853941;0)
Sur 19.985 cas avec a <= 20000 (valeurs a=2^n omises)
valeur exacte de l'orbite : 18.504 cas
erreur -1 : 989 cas
erreur +1 : 492 cas
le pdf des calculs est joint à ce message
[size=large]Cette formule montrerait simplement que tout entier rejoint une orbite en fonction d'une valeur de x[/size]
Cette formule a l'air de fonctionner. Pourrais-tu expliquer comment tu as obtenu les constantes 2,5855367244 et 0,3138853941 ?
En utilisant le script de Raoul.S , cette formule donne les valeurs exactes de l'orbite ou tdv pour les valeurs suivantes :
a_______________________x_n_i_tdv_______________x__________formule tdv
125467899_______________82_153_5_239___________82_________239
1254678993______________59_120_5_183___________59_________183
12546789937_____________67_136_5_207___________67_________207
125467899375____________87_171_5_262___________87_________262
1254678993759___________189_336_5_529__________189________529
12546789937591__________88_173_341_271_________88_________271
125467899375913_________176_322_5_502__________176________502
https://repl.it/repls/EthicalTangibleLocations#main.py
Hello Wilfrid
L'astuce a été de transformer a en $y = \lceil log_2{a} \rceil$
puis de faire une corrélation entre x (nbr d'étapes impaires) et tdv - y
Sur l'ensemble des a <=20000
on remarque alors que tdv-y = 2,5855367244*x - 0,3138853941
et on peut donc en déduire que :
Orbite (ou tdv) = $\lceil log_2{a} \rceil + \lfloor 2,5855367244*x - 0,3138853941 \rceil $
ma précision maximale est
tdv-y = 2,585536724365630*x - 0,313885394121527
Suivant la méthode de regression, j'ai aussi
2,585536724365600
-0,313885394120717
x_________tdv - log(a;2)
1_________2
2_________5
3_________7
4_________10
5_________13
6_________15
7_________18
8_________20
9_________23
10_________26
11_________28
12_________31
13_________33
14_________36
15_________39
16_________41
17_________44
18_________46
19_________49
20_________51
21_________54
22_________57
23_________59
24_________62
25_________64
26_________67
27_________69
28_________72
29_________75
30_________77
31_________80
32_________82
33_________85
34_________88
35_________90
36_________93
37_________95
38_________98
39_________101
40_________103
41_________106
42_________108
43_________111
44_________113
45_________116
46_________119
47_________121
48_________124
49_________126
50_________129
51_________132
52_________134
53_________137
54_________139
55_________142
56_________145
57_________147
58_________150
59_________152
60_________155
61_________157
62_________160
63_________163
64_________165
65_________168
66_________170
67_________173
68_________176
69_________178
70_________181
71_________183
72_________186
73_________188
74_________191
75_________194
76_________196
77_________199
78_________201
79_________204
80_________207
81_________209
82_________212
83_________214
84_________217
85_________219
86_________222
87_________225
88_________227
89_________230
90_________232
91_________235
92_________238
93_________240
94_________243
95_________245
96_________248
97_________250
98_________253
99_________256
100_________258
101_________261
102_________263
Avant :
2, 5, 7, 10, 13, 15, 18, 20, 23, 26, 28, 31, 33, 36, 39, 41, 44, 46, 49, 51, 54, 57, 59, 62, 64, 67, 69, 72, 75, 77, 80, 82, 85, 88, 90, ...
Après :
2, 5, 7, 10, 13, 15, 18, 20, 23, 26, 28, 31, 33, 36, 39, 41, 44, 46, 49, 52, 54, 57, 59, 62, 65, 67, 70, 72, 75, 78, 80, 83, 85, 88, 91, ...
Ces corrections permettent d'obtenir une suite linéaire récurrente d'ordre 3, dont la relation de récurrence est
$\large n_r=n_{r-1}+n_{r-5}-n_{r-6}$
Par exemple, $20=18+7-5$. On peut créer une boucle pour retrouver n'importe quelle valeur de $tdv-log_2(a)$ pour $x$ donné, donc par récurrence, mais l'idéal serait d'utiliser la formule explicite de $n_r$, que je n'ai pas réussi à calculer. Je ne doute cependant pas que quelqu'un y parviendra.
A part x= 1 et 3 le tdv - log(a;2) = 5
pour tous les autres c'est deux suites arithmétiques de raison 5 de premiers terme 5 pour les x pair ; et de premier terme 13 pour les X impairs.
si on prend X = 2 suite arithmétique de raison 2 ; le tdv - log(a;2) = suite arithmétique 5 de raison 5
pour X = 5 suite arithmétique de raison 2 ; le tdv - log(a;2) = suite arithmétique 13 de raison 5
Comme la structure de Syracuse est arithmétique initialisé par des suites arithmétiques pour chaque rang d'itération , il n'y a rien d'étonnant...
donc je suppose, qu'il faut trouver les autres suites arithmétiques en fonction des caractéristiques du point de départ...
Problème (vérifié avec l'AS2) pour tous les vols i = 2i itérations paires ...Et ben il y a $2^n$ suites arithmétique entre chaque vol i de la forme $2^n - 1$ , ces vols serait des points ou axe de Transition....
Pour le premier rang d'itération une suite arithmétique de raison 6 ,
Pour le deuxième rang : deux suites arithmétique de raison 18 et 6
Pour le troisième rang : 4 suite arithmétique 54 , 18,18,6
Point de départ des suites l'axe d'abscisse i = -1 ,ce qui donne : -2,-2,-2 ....etc -2
Bon courage...
Dans Excel :
arrondi(2,58588706718019*x+0,190704522651274+LOG(a;2);0)
Cette formule donne 100% de résultats corrects.
Cela est dû au fait que l'erreur avant arrondi varie entre -0.23 et +0.12, donc l'arrondi simple d'Excel revient toujours sur le bonne valeur entière
La formule est donc :
$ Orbite = \large \lfloor 2,58588706718019*x+0,190704522651274+ log_2{a} \rceil $
le pdf joint montre les résultats pour a <=20.000 (hors 2^n)
Je pense que si suite il y a il faut plutot chercher dans l'ordre des a par catégorie de x (le pdf est trié de cette façon)
https://repl.it/repls/EthicalTangibleLocations#main.py___________________________
a_______________________x_n_i_tdv_______________x__________formule
125467899_______________82_153_5_239___________82_________239
1254678993______________59_120_5_183___________59_________183
12546789937_____________67_136_5_207___________67_________207
125467899375____________87_171_5_262___________87_________262
1254678993759___________189_336_5_529__________189________529
12546789937591__________88_173_341_271_________88_________271
125467899375913_________176_322_5_502__________176________502
$\large Orbite = \lfloor 2,58588706718019*x + log_2{a} \rceil$
Dans ce cas, l'erreur varie entre -0.045 et 0.314 et donc l'arrondi simple marche toujours
le pdf est joint avec les nouveaux calculs
2,58588706718019 est peut-être une nouvelle constante B-)
Je vous propose donc le tableau qui est joint où les colonnes sont des valeurs de x et les lignes des a impairs groupés entre deux puissances de 2. Par exemple le dernier groupe "129_255" se situe entre 2^7 et 2^8
Dans chaque cellule je calcule l'orbite (ou tdv) avec la formule
$\large Orbite = \lfloor 2,58588706718019*x + log_2{a} \rceil$
si la formule correspond au tdv du a, elle est colorée en jaune
Cela permet de faire quelques observations simples :
Si je pars du coin haut gauche, je prends par exemple 7 qui est en (a;x) = (3;2)
Je cherche la prochaine cellule en jaune décalée d'une colonne à droite, donc en x+1 et je trouve 12 en (17;3)
si je continue sur toutes les colonnes, je trouve cette suite
a___________x_________tdv
3___________2_________7
17__________3_________12
23__________4_________15
29__________5_________18
37__________6_________21
49__________7_________24
51__________7_________24
65__________8_________27
67__________8_________27
87__________9_________30
89__________9_________30
115_________10________33
119_________10________33
153_________11________36
157_________11________36
203_________12________39
209_________12________39
211_________12________39
On remarque qu'à partir de a = 17
tdv = 3x+3
et en partant de a = 5
a___________x_________tdv
5___________1_________5
13__________2_________9
35__________3_________13
45__________4_________16
61__________5_________19
77__________6_________22
81__________6_________22
99__________7_________25
101_________7_________25
131_________8_________28
133_________8_________28
173_________9_________31
177_________9_________31
179_________9_________31
229_________10________34
237_________10________34
on trouve qu'à partir de a =35
tdv = 3x+4
il faut donc bien passer une puissance de 2 pour que le cycle fonctionne :
dans le premier tableau : 17>2^4
dans le deuxième tableau : 35> 2^5
il est possible que l'ensemble des ""cellules jaunes" ait des alignements de ce type. A vérifier.
C'est inexact. Voici les termes de rang impair : 13, 18, 23, 28, 33, 39, 44, 49, ... Pour les termes de rang pair on a 5, 10, 15, 20, 26, 31, 36, 41, 46, ... Dans les deux cas la différence entre deux termes consécutifs est 5 ou 6. Ça veut dire qu'il ne faut pas considérer cette suite comme la réunion de deux suites arithmétiques, la preuve étant que la relation de récurrence que j'ai proposée ci-dessus fonctionne parfaitement sur la suite corrigée (voir plus bas).
Je ne suis pas partisan des cas particuliers, inexactitudes et autres approximations. Tout ceci sent le bricolage de la part de quelqu'un qui veut absolument prouver qu'il a fait une découverte extraordinaire, sans s'occuper de savoir si ses résultats sont consistants. Et malheureusement ils ne le sont pas. De la part d'un analyste de données ça a de quoi inquiéter.
Suite 1 :
2, 5, 7, 10, 13, 15, 18, 20, 23, 26, 28, 31, 33, 36, 39, 41, 44, 46, 49, 51, 54, 57, 59, 62, 64, 67, 69, 72, 75, 77, 80, 82, 85, 88, 90, ...
Suite 2 (corrigée) :
2, 5, 7, 10, 13, 15, 18, 20, 23, 26, 28, 31, 33, 36, 39, 41, 44, 46, 49, 52, 54, 57, 59, 62, 65, 67, 70, 72, 75, 78, 80, 83, 85, 88, 91, ...
Dans la suite 2 on trouve la relation suivante, où $n$ est un terme de cette suite :
$x=\dfrac{n_x+n_{x+1}+n_{x+2}+n_{x+3}+n_{x+4}-24}{13}$
Bien évidemment ça ne marche pas avec la suite 1.
Il faudra un peu plus qu'un nombre sorti tout droit d'un chapeau pour prétendre avoir découvert une nouvelle constante. Je crois que la recherche permanente de la satisfaction de ton ego te conduit à l'illusion.
Hormis ce passage à haute teneur psychanalytique, tu ne démontes pas vraiment ni ma formule, ni ma constante.
Cette ''constante" sort tout droit des données et jusqu'à preuve du contraire (bon courage pour trouver un contre exemple), je dis que tout tdv est calculable avec :
$\large Orbite = \lfloor 2,58588706718019*x + log_2{a} \rceil$
Il faut prendre ce résultat comme juste et chercher pourquoi et comment il fonctionne, et non pas se battre contre. C'est un fait.
SI avec cette formule, on peut sortir n'importe quel tdv à partir d'un x et d'un entier, il y a quelque part un processus et un seul qui va permettre de l'expliquer.
D'abord, cette formule demande un x pour calculer le tdv et comme on ne peut pas connaitre x sans connaitre le tdv (les deux sortent du calcul d'une suite de Collatz), la formule donne de fait une série de résultats pout tout x>=1 dont un seul sera le bon (mais toujours un). C'est le sens de mon tableau, où l'on voit bien qu'il y a par ligne qu'une cellule jaune parmi 41 cellule.
Si on veut monter cette formule d'un cran, il faudrait lui donner ou minorant/majorant de x, ou carrément la possibilité de savoir quel est le bon x. Ce n'est pas forcément impossible.
D'abord parce que l'on peut trouver des suites de x qui vont donner des cribles efficaces.
Par exemple
tdv = 3x+3 pour a : 17, 23, 29, 37, 49, 51, 65, 67, 87, 89, 115, 119, 153, 157, 203, 209, 211....
tdv = 3x+4 pour a : 35, 45, 61, 77, 81, 99, 101, 131, 133, 173, 177, 179, 229, 237
Ça veut dire qu'on peut prendre indifféremment l'entier inférieur ou supérieur ? (je plaisante).
Vu que tu changes de notation pratiquement à chaque message il faudrait que tu commences par définir les variables $\text{orbite}$, $\text{tdv}$, $a$ et $x$, avec de préférence un exemple de suite.
Une petite piqure de rappel alors ;-)
x : nbr étapes impaires
n : nbr étapes paires
i : dernière étape impaire avant 1
i' : un entier impair >1 et <> i
a : n'importe quel entier pair ou impair
tdv : le temps de vol au sens classique de l'entier de départ à 1 qui est omis dans le décompte (idem Calculis.net)
orbite : ensemble des entiers pairs ou impairs ayant un même tdv
La formule qui permet de calculer pour tout a son tdv en fonction de x est :
$\large TDV = Orbite = \lfloor 2,58588706718019*x + log_2{a} \rceil$
donc c'est valable pour n'importe quel i' ou i :
$\large TDV = Orbite = \lfloor 2,58588706718019*x + log_2{i} \rceil$
$\large TDV = Orbite = \lfloor 2,58588706718019*x + log_2{i'} \rceil$
J'en profite donc pour rajouter une nouvelle variable u, un entier relatif tel que
$\large3x+u=tdv$
il est possible d'extraire cette variable $\large u$ des données. Elle apporte une information nouvelle sur les clusters et leurs alignements (ma chère latitude...)
En effet, non seulement tous les entiers membres d'un même cluster ont le même u, mais des clusters différents ayant le même u vont voir leurs premiers de clusters (minorant) s'aligner sur une même ''latitude"
Je joins aussi un pdf montrant les valeurs u pour les i'<1000
n : nbr étapes paires
i : dernière étape impaire avant 1
i' : un entier impair >1 et <> i
a : n'importe quel entier pair ou impair
tdv : le temps de vol au sens classique de l'entier de départ à 1 qui est omis dans le décompte (idem Calculis.net)
cluster : les valeurs x_n_i_tdv qui regroupent un ensemble d'entiers possédant ces valeurs
orbite : ensemble des entiers pairs ou impairs ayant un même tdv
u : un entier relatif tel que $ tdv = 3x+u $
Un cluster pourrait s'écrire sous la forme u_x_n_i_tdv
Dans ces exemples pour i' de 3 à 41, on peut vérifier facilement que tdv = 3x+u
i'_________u_x_n_i_tdv
3_________1_2_1_5_7
5_________2_1_0_5_5
7_________1_5_7_5_16
9_________1_6_9_5_19
11________2_4_6_5_14
13________3_2_3_5_9
15________2_5_8_5_17
17________3_3_5_5_12
19________2_6_10_5_20
21________4_1_0_21_7
23________3_4_7_5_15
25________2_7_12_5_23
27________-12_41_66_5_111
29________3_5_9_5_18
31________-11_39_63_5_106
33________2_8_14_5_26
35________4_3_6_5_13
37________3_6_11_5_21
39________1_11_19_5_34
41________-11_40_65_5_109
Je suppose qu'il faut comprendre : $x=$ nbr d'étapes impaires jusqu'à $i$, à l'exclusion du premier terme $i'$ de la suite, et $n=$ nbr d'étapes paires entre $i'$ et $i$.
Dans la suite 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, $x=2$ et $n=5$. C'est comme ça que tu l'entends ?
Le terme final 1 ne peut pas être omis dans le décompte du nombre d'étapes d'une suite. Celui qui est omis c'est $i'$. Si $L$ est la longueur totale d'une suite, $tdv=L-1$.
Quel est le lien entre cette définition et $tdv-log_2(a)$, qui tendrait à assimiler $a$ à $i$, le prédécesseur impair de 1 ?
Tu veux dire l'ensemble des entiers impairs $i'$ dont la suite possède un tdv donné ?
non. Il faut toujours que $\large tdv = x + n + log_2{(3i+1)} $
Donc pour 17
selon calculis.net
17 - 52 - 26 - 13 - 40 - 20 - 10 - 5 - 16 - 8 - 4 - 2 - 1
La durée du vol pour 17 est de 12
i = 5
x = 3 soit 17, 13, 5 (i' de départ, i' intermédiaire et i)
n = 5 soit 52, 26, 40,20,10 (on s'arrête à la dernière étape paire avant i)
tdv = 12 soit 3 + 5 + log(3*5+1;2) = 12
x_n_i_tdv = 3_5_5_12
selon le script de Raoul S.
https://repl.it/repls/EthicalTangibleLocations#main.py
i_prime = 17
x_n_i_tdv : 3_5_5_12
Donc j'ai adopté un ''standard" que tu peux retrouver dans d'autres méthodes que la mienne ( ce que collag3n n'a jamais contesté non plus et toutes ses formules utilisent mes x, n et i)
si tu veux. mais i' est bien inclus dans x. sinon il faudrait dire que 1 est la dernière étape impaire et on la compterait dans x
ce qui est bien tiré par les cheveux et embrouille tout.
Non cela n'a rien a voir.
Par contre, ''i, le prédécesseur impair de 1'' est d'ailleurs une bonne définition que je vais employer maintenant
j'utilise $\large a $ pour bien indiquer que la formule marche pour des valeurs paires ou impaires, ce qui est important d'ailleurs
dans la formule :
$\large TDV = Orbite = \lfloor 2,58588706718019*x + log_2{a} \rceil$
le $\large log_2{a} $ ne doit pas être confondu à $\large log_2{3i+1} $ qui est utilisé pour $\large tdv = x + n + log_2{3i+1} $
En espérant avoir répondu à tes questions. Ce qui est surement utile pour éviter les confusions venant du fait que je m'exprime moins bien que vous en langage mathématique.
1856853, 5570560, 2785280, 1392640, 696320, 348160, 174080, 87040, 43520, 21760, 10880, 5440, 2720, 1360, 680, 340, 170, 85, 256, 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1
$x=2,\,n=16,\,tdv=2.58588706718019 \times 2+log_2(a)=\,?$ (j'ai omis floor).
Comme je ne savais pas ce qu'était $a$ dans tout ça, et sachant que le tdv de 1856853 est 26, j'ai calculé $log_2(a) = 26-5.1718 = 20.8282$, ce qui a donné $a=1.86175*10^6$, donc le premier terme de la suite. Alors une fois c'est $i'$ et une autre fois c'est $a$. Un cochon n'y retrouverait pas ses petits. Il aurait suffi de préciser que $i'$ pouvait être pair ou impair.
Au final ça donne $tdv=\lfloor 2.58588706718019 \times 2+log_2(1856853) \rfloor=25$.
C'est bien, mais le problème est qu'il faut connaître $x$, donc avoir au préalable calculé la suite de $i'$ (ou $a$). Tu aurais trouvé le moyen de calculer le tdv de n'importe quel nombre impair sans avoir à calculer sa suite, ç'aurait été le jackpot !
Pour voir s'il existe des contrexemples il faudra passer par un programme.
Désolé si je t'ai un peu embrouillé. De fait j'avais bien précisé ce qu'était $a$ dans mes premiers messages à ce sujet mais je ne l'ai pas systématiquement répété.
J'essaie de faire de mon mieux pour exprimer mon travail dans un langage mathématique correct. Ça commence à aller mieux avec le Latex donc je l'utilise en priorité.
Pour le x de la formule ce n'est pas un blocage non plus.
D'abord parce qu'on peut calculer des résultats sur une série de x probables et savoir que le bon tdv sera un de ces résultats.
Après avec $u$ un entier relatif on peut aussi avancer.
$ \large u = n + log_2{(3i+1)} -2x $
On voit qu'une seule valeur condense x, n, i . Et qu'on peut chercher avec $ tdv = 3x+u $ pourquoi et comment les clusters partagent le même $u$ et que des clusters ayant le même $u$ sont alignés sur les mêmes "latitudes".
La latitude étant une courbe logarithmique qui relie les minorants de cluster avec les mêmes paramètres.
Donc si ça veut bien s'ouvrir sur ce point, la dépendance de ma formule au x va réduire ou disparaître.
On part de l'entier a=116.
100 -> 50 -> 25 -> 76 -> 38 -> 19 ->
116 -> 58 -> 29 -> 88 -> 44 -> 22 -> 11 -> 34 -> 17 -> 52 -> 26 -> 13 -> 40 -> 20 -> 10 -> 5 -> 16 -> 8 -> 4 -> 2 -> 1
C'est le chemin qui part de 116 et qui arrive à 1
Très exactement :
$116*0.5*0.5*(88/29)*0.5*0.5*0.5*(34/11)*0.5*(52/17)*0.5*0.5*(40/13)*0.5*0.5*0.5*(16/5)*0.5*0.5*0.5*0.5=1$
$$116* (0.5)^{15} * (88/29)*(34/11)*(52/17)*(40/13)*(16/5)=1$$
On a 15 étapes paires (en comptant le point de départ 116) et donc 15 divisions par 2
Et on a 5 étapes impaires (en comptant le point de départ si on commence par un nombre impair). Ici, ces 5 étapes impaires se traduisent par 5 multiplications, respectivement par 88/29, 34/11, 52/17, 40/13 et 16/5.
Autrement dit, 5 multiplications par des nombres un tout petit peu plus grand que 3.
On peut donc déterminer un nombre k, un tout petit peu plus grand que 3, qui serait une certaine moyenne 'géométrique' des 5 nombres ci-dessus, et du coup :
$116 * 0.5^{15} * k^5=1$ (relation strictement exacte, pas d'arrondi ...)
Quand je parle de moyenne géométrique, ce n'est pas par hasard, c'est le terme exact.
Si $n$ est le nombre d'étapes paires (en comptant le nombre initial s'il est pair) (ici, n=15), et $x$ le nombre d'étapes impaires (en comptant le nombre initial s'il est impair), on a donc la relation :
$a*0.5^n*k^x=1$, soit $a=2^n/k^x$
Où $k$ est un nombre très légèrement supérieur à 3. Dans l'exemple ci-dessus, $k=3.0971$.
Ici a=116 est dans l'orbite 20. 20 coincide avec $n+x$ ... normal.
Si on note $t$ le numéro d'orbite, on a donc ces 2 relations :
$a=2^n/k^x$ et $t=x+n$
La première relation donne :
$ln(a) = n*ln(2)- x*ln(k)$
Pour retrouver une relation entre $a$ , $t$ et $x$, on doit donc faire en sorte d'éliminer $n$ de cette équation.
Or, $n=t-x$ donc
$ln(a) = (t-x)*ln(2)-x*ln(k) = t*ln(2) - x *ln(2k)$
$ln(a)+x*ln(2k) = t*ln(2)$
$t = x* ln(2k)/ln(2) + ln(a)/ln(2) $
On retrouve bien une expression très similaire à celle proposée par PMF, pas de surprise.
Mon nombre $k$, il vaut combien ? Sur l'exemple ci-dessus, $k=3.0971$ ; Mais on l'a vu, on avait plein de diviseurs impairs tout petits (5,13,11,17...) ;
Quelle est la valeur qu'il faut donner à mon coefficient $k$ pour retomber sur la constante magique 2.585887 de PMF ?
$k=3.001923$ .. ce nombre donne $ln(2k)/ln(2) = 2.585887$
Le nombre $k$ trouvé ici est plus petit que le 3.0971 de cet exemple ; il nous rappelle un 3.01 qu'on avait déjà vu dans certains raisonnements, bien avant qu'on ne parle d'orbites...
La propriété marche pour les nombres pairs, mais aussi pour les nombres impairs, à condition de bien prendre en compte le 1er nombre dans le décompte des étapes impaires.
Est-ce que cette propriété magique va continuer de marcher pour des nombres $a$ très grands ? Non, bien entendu.
Si je prends un nombre avec plein d'étapes impaires , et plus précisément des étapes impaires toutes très grandes, que va-t-il se passer ?
Prenons un nombre dont la 'souche' soit $(2^{28}-1)/3=89478485$
A priori, toute les étapes impaires de ce nombre seront plus grandes que $89478485$ ; de toutes façons, on peut construire sur mesure un nombre vérifiant cela.
La vraie formule (exacte, pas approximative) est $ln(a) = n*ln(2)- x*ln(k)$, et ici, k sera entre $3$ et $(3*89478485+1)/3$ ; donc entre $3$ et $3.0000000111759$
Si j'ai par exemple $10000$ étapes impaires, la vraie formule va donner $ln(a) = n*ln(2) - 10000 * ln(k)$ avec $k$ quelque part entre $3$ et $3.0000000111759$
L'écart entre cette formule (exacte) et la formule approchante $ln(a) = n*ln(2) - 1000 *ln(3.001923)$ sera plus grand que $1$.
Et donc, même en faisant l'arrondi à l'unité, la formule sera fausse.
Pour des nombres 'normaux', on a besoin d'un $k$ proche de 3.002, et pour des nombres extrèmement grands, il faut un $k$ plus petit.
Bel exemple d'une propriété qui semble vraie très longtemps (jusqu'à $a$ égal à plusieurs milliards, la formule doit être exacte), mais qui finit par devenir fausse.
Si je reprends le début de tes explications, très intéressantes, je peux systématiser le calcul selon le tableau joint
on tombe alors sur une puissance de 2 qui est la jonction vers 1
ici c'est 16 puisque i =5
$\large log_2{(3*5+1)} = 5 $
pour faire ce tableau, il faut tout connaitre de la suite, ce qui peut sembler décevant. Mais son intérêt est de montrer ceci :
$ \large 3i+1 = R_{last_x} * 0.5^{n} $
$ \large R_{last_x} $ dont le tableau montre bien le calcul, est tel que
$\large a* 3^{x}< R_{last_x} < a* 3^{x+1}$
et donc
$\large a* 3^{x}< \frac{3i+1}{0.5^{n}} < a* 3^{x+1}$
en rappelant :
[size=x-small]x : nbr étapes impaires
n : nbr étapes paires
i : dernière étape impaire avant 1
i' : un entier impair >1 et <> i
a : n'importe quel entier pair ou impair
tdv : le temps de vol au sens classique de l'entier de départ à 1 qui est omis dans le décompte (idem Calculis.net)
orbite : ensemble des entiers pairs ou impairs ayant un même tdv[/size]
Si le dernier impair est 5, alors, le k (avec ma notation) va probablement être 'grand' , c'est à dire proche de 3.1 par exemple, mais ce n'est pas sûr du tout.
Tant que tu joues avec des petits nombres, oui, c'est le cas.
Mais imagine un nombre comme celui-ci :
Je parcours le chemin de Syracuse, en partant de la fin, en partant de 1:
1 2 4 8 16 5 10 20 40 80 ... etc . et là, je multiplie par 2 quelques milliers de fois. Ensuite, on met quelques étapes impaires, environ 2000, pour se faire plaisir ; on obtient un nombre très grand.
Sa 'souche', c'est 5. Et pourtant, ce nombre là, il sera de la forme a=2^n/k^x avec k vraiment très très proche de 3.
Inversement, si tu 'bâtis' un nombre avec plein d'étapes impaires, 2000 environ, mais le plus petit possible, puis que tu multiplies ce nombre quelques milliers de fois par 2, tu auras un nombre du même cluster (x_n_i_tdv), mais il sera de la forme a=2^n/k^x avec k un peu plus grand que dans l'autre exemple.
C'est ma faute. Depuis plusieurs semaines je ne lis plus ce fil qu'en diagonale. J'aurais dû éviter de donner mon avis.
Je viens de tester la "constante" sur une suite de 200 000 termes pour laquelle $x=2$, donc 2 termes impairs avant 1. Le tdv calculé diffère d'une unité du tdv réel. Ça fonctionne.
D'après lourran, cependant, cette valeur ne fonctionnerait plus avec des suites comprenant plusieurs milliers de termes impairs. J'ai donc testé des suites comptant 1000, 2000, ... termes impairs (1 compris), le prédécesseur impair de 1 étant toujours 5. Voici les résultats au format "nbr de termes impairs : tdv réel, tdv calculé (delta)" :
1000 : 3332, 3332 (0)
2000 : 6684, 6685 (+1)
3000 : 9971, 9973 (+2)
4000 : 13343, 13346 (+3)
5000 : 16715, 16719 (+4)
6000 : 19962, 19967 (+5)
7000 : 23262, 23268 (+6)
8000 : 26548, 26555 (+7)
9000 : 29997, 30005 (+8)
10 000 : 33344, 33352 (+8)
11 000 : 36666, 36675 (+9)
12 000 : 39999, 40009 (+10)
Ces chiffres parlent d'eux-mêmes.
je jure d'apprendre par coeur ton message ;-)
Pour mieux en comprendre les subtilités, j'ai d'ailleurs mis tout cela dans mes petits tableaux favoris.
D'abord je remarque que la première partie de ta démonstration prouve surtout que les étapes impaires de i' à i sont essentielles, ce que j'essaie de prouver depuis des semaines. En effet en regardant le tableau joint , tu verras que le produit des ratios des étapes impaires i' et des étapes paires qui les précèdent (3i+1) que j'appelle $\large P_{imp}$ est tel que :
$ \large P_{imp} * 0.5^{n} = 3i+1 $
ou $P_{imp} $ et 3i+1 sont toujours des puissances de 2
ce qui pourrait s'écrire ainsi :
$ \large 2^{log_2{P_{imp} }} * 0.5^{n} = 2^m $
en rappelant que m=4 pour i = 5
De ce fait, il m'apparait évident que n'importe quelle suite de Collatz, avec a (ou i') aussi grand que l'on voudra est toujours définie par ses variables x, n, i et le tdv qui en découle. Et que toute structuration de ces suites en clusters et orbites dépend uniquement de ces 3 variables et d'autres indicateurs ou classificateurs (tdv, k, u...) qui les utiliseront.
Sans garantir la bonne formulation en LaTex pour $\large P_{imp}$
$\large P_{imp} = \prod_{i' à i}^x f(3i'+1/i') $
si quelqu'un peut la corriger, merci d'avance
L'ordre de grandeur de l'écart est aussi complètement conforme à l'analyse.
On sait que $t= x * ln(2k)/ln(2) + ln(a)/ln(2)$
avec k un nombre un tout petit peu plus grand que 3.
PMF a pris comme estimateur pour ce nombre k $k=3.001923$ ; n peut prendre une autre estimation, un minorant : k=3
Et quand on a 10000 étapes étapes impairs, ça donne quel écart ?
$ln(2k)/ln(2)$ vaut 2.585887 dans l'estimateur de PMF, et 2.584963 dans le minorant obtenu avec k=3.
L'écart est de 0.000961
Pour 10000 étapes impaires, on a donc un écart de 9.61 entre l'estimateur de PMF et le minorant. Et l'écart obtenu par Wilfrid (8) nous confirme que la vraie valeur de k est en fait beaucoup plus proche de 3 que de 3.0019 quand on a des grands nombres.
Cette orbite englobe les clusters suivants
13_24_5_41
12_25_5_41
12_19_341_41
11_26_5_41
11_22_85_41
11_20_341_41
10_27_5_41
10_23_85_41
10_21_341_41
9_28_5_41
On voit sur le graphique que les k se regroupent suivant les clusters
et que les 3 alignements bien perceptibles correspondent aux i =5, 85 et 341
les 5 clusters de la ligne la plus haute sont ceux de i =5, au milieu i = 85 et en bas i = 341
pour rappel on calcule dans Excel: k = EXP((n*LN(2)-LN(a))/x)
ce qui se déduit de :
$\large ln(a) = n*ln(2)- x*ln(k) $
il me semble que si on pouvait calculer la constante ''pmf'' sur des séries plus grandes, elle trouverait forcément la précision nécessaire
En effet cette constante est en théorie parfaite si elle peut être calculée sur des séries en rapport avec l'ordre de grandeur mesuré
Retourne voir le lien sur le sited'Eric Roosendaal, ça date d'il y a 10 ans, et à peu près tous les travaux qu'on y trouve parle de nombre d'étapes paires et impaires.
On a en particulier la définition du résidu, qui est très proche de ce qu'on regarde en ce moment.
5 : 33344, 33352.927197 (+9)
85 : 33321, 33330.231405 (+9)
341 : 33294, 33303.234395 (+9)
5461 : 33207, 33216.244618 (+9)
21845 : 33344, 33353.244633 (+9) – même tdv que pour $i=5$
Même calcul avec des suites comptant beaucoup plus de termes impairs, toujours $i=5$ et sans floor :
20 000 : 66570, 66588.172862 (+18)
25 000 : 83254, 83276.795694 (+23)
30 000 : 99891, 99918.418526 (+27)
50 000 : 166584, 166629.90986 (+46)
100 000 : 333081, 333173.13818 (+92) – temps de calcul : 27 s
Méthodologie :
Je calcule la suite $n_{-(m-2)},...,n_{-3},n_{-2},n_{-1},5,1$ où $m$ est le nombre de termes impairs qu'on désire obtenir. A chaque étape, $n_{i-1}$ est le plus petit prédécesseur impair non multiple de 3 de $n_i$. La suite créée est donc déterministe. Si $m_1=1000$ et $m_2=2000$, les 1000 derniers termes de $m_2$ sont identiques aux 1000 termes de $m_1$. Une fois $n_{-(m-2)}$ obtenu il ne reste plus qu'à calculer sa suite standard, dont on déduit le tdv, ainsi que le tdv calculé avec la formule de PMF, puisque $x$ est connu.
c'est un super boulot. Je t'en suis vraiment reconnaissant.
c'est de plus une excellente démonstration de "l'esprit" de cette formule : si la constante avait été obtenue par une coincidence heureuse de quelques résultats sur des petites valeurs de x, elle "exploserait" sur les grandes valeurs avec des résultats abérrants partant dans tous les sens.
Ce qui n'est absolument pas le cas. L'erreur va toujours dans le même sens, de manière quasi proportionnelle au nombre de x. Une différence de 92 sur un tdv = 333081, c'est 0,003%. Pour une suite ayant 100.000 étapes impaires ! L'erreur est aussi la même sur des i différents à nbr de x egal.
L'amélioration de cette constante est possible. Ce que j'ai fait sur Excel peut se reproduire sans problème.
il faut faire deux colonnes pour une série assez longue de $\large a$ le plus grands possible :
COL1 : x
COL2 : $tdv-log_2{a} $
dans excel on fait alors DROITEREG(COL1;COL2;VRAI;FAUX)
le premier paramètre est la constante : 2,585536724365600
En gagnant des décimales, on peut viser de supprimer les erreurs je pense jusqu'à 100.000 x
On cherche à calculer le temps de vol d'un nombre a, en connaissant son nombre d'étapes impaires.
Si on a pris le soin de calculer son nombre d'étapes impaires (noté x), pourquoi n'a-t-on pas calculé en même temps son nombre d'étapes paires (n), et ainsi, on aurait tout simplement $tdv=x+n$ .
Comme on a pensé à calculer $x$ mais qu'on a oublié de noté n, peut-on retrouver ce $n$? Non.
Sauf dans des cas particuliers où x/ln(a) est assez petit.
1000 : 3332, 3333 (+1)
2000 : 6684, 6686 (+2)
4000 : 13343, 13346 (+3)
8000 : 26548, 26555 (+7)
16 000 : 53293, 53307 (+14)
32 000 : 106597, 106626 (+29)
64 000 : 213238, 213297 (+59)
128 000 : 426696, 426814 (+118)
256 000 : 853140, 853376 (+236)
Il en ressort que la formule suivante donne le tdv exact :
$tdv=2.58588706718019\;x + log_2(a) - (0.0009233249826768293\;x - 0.3132295719844365)$
$=round(2.584963742197513\;x + 1.4426950408889634\;ln(a) + 0.3132295719844365)$
En reprenant les mêmes valeurs :
1000 : 3332, 3332 (0)
2000 : 6684, 6684 (0)
4000 : 13343, 13343 (0)
8000 : 26548, 26548 (0)
16 000 : 53293, 53293 (0)
32 000 : 106597, 106597 (0)
64 000 : 213238, 213238 (0)
128 000 : 426696, 426696 (0)
256 000 : 853140, 853140 (0)
Et avec des valeurs aléatoires de $x$ :
132 : 439, 439
69 : 233, 233
748 : 2504, 2504
404 : 1357, 1357
194 : 648, 648
603 : 2026, 2026
142 : 474, 474
Cest sûrement la meilleure formule à ce jour. J'espère que l'on va trouver des développements surprenants à partir de cette nouvelle base.
Et donc celles de $n$ aussi
À suivre de près !
Plutôt $tdv=\lceil \log_2(a\,6^x) \rceil-3$. Tu aurais épargné beaucoup de boulot à tout le monde si tu l'avais dit plus tôt... :-X