Conjecture étonnante
dans Shtam
Bonjour.
Conjecture : pour tous nombres premiers $p,q$ distincts supérieur ou égaux à 5, le nombre $6+pq$ est premier.
Je n’ai pas trouvé de contre exemple, je vais faire un programme cette nuit. On s’éclate pendant ce confinement!
Conjecture : pour tous nombres premiers $p,q$ distincts supérieur ou égaux à 5, le nombre $6+pq$ est premier.
Je n’ai pas trouvé de contre exemple, je vais faire un programme cette nuit. On s’éclate pendant ce confinement!
Réponses
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Salut Boole et Bill.
$13\times19+6=11\times 23$
Bonne nuit. :-D -
Soient $p$ et $q$ deux nombres premiers congrus à $1$ mod $7$. Alors $6+pq$ est divisible par $7$. Il existe une infinité de tels nombres premiers d'après le théorème de la progression arithmétique de Dirichlet.
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Dommage, le théorème de Boole et Bill ne verra pas le jour aujourd’hui ^^
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Bonsoir,
$5\times 17+6=91=7\times 13$
$7\times 17+6=125$
par exemple.
Cordialement,
Rescassol
Edit: Je suis trop lent !! :-X -
le théorème de la progression arithmétique de Dirichlet.
Est-ce qu'il dit que toute suite arithmétique ayant une raison première avec un de ses termes contient un terme premier?Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Peut-être peux-tu montrer que ces nombres là sont ultimes ou fertiles...
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@Christophe : oui c'est exactement ça.
Très mauvais souvenir pour moi : c'est en partie grâce à ça que j'ai raté à $\varepsilon$ l'admissibilité à l'ENS Saint-Cloud (l'ancêtre de Lyon) en 1978.
Le problème d'algèbre consistait précisément à démontrer ce théorème.
Si je me souviens bien, soit $D_{a,r}$ l'ensemble des nombres de la forme $a+nr$.
On démontre que la densité de l'ensemble des nombres premiers dans $D_{a,r}$ est égale à $1/\varphi(r)$, où $\varphi$ est la fonction indicatrice d'Euler, ce qui entraîne trivialement l'infinitude de cet ensemble.
Et le pire c'est qu'en 5/2 j'avais tout misé sur Cloud, ça m'a valu une année de rebelote. Et quand j'ai commencé à rebosser pour les concours, en février 79, j'ai éclaté aussi bien le pb d'algèbre que celui d'analyse dans le temps imparti. Je devais être très mal dans mes baskets au moment du concours. (Je précise cependant que je n'avais bu que du café et de la flotte). -
@Martial : c'est plus subtil que ça. Le fait que la densité des nombres premiers dans $D_{a,r}$ vaut $\frac{1}{\varphi(r)}$ c'est le théorème des nombres premiers en progressions arithmétiques, autrement plus difficile à démontrer que le théorème de Dirichlet (et qui est arrivé 60 ans après celui-ci).
Le théorème de Dirichlet dit la chose plus faible suivante : $$\sum_{p \equiv a [r]} \frac{1}{p^x} \underset{x \to 1^+}{\sim} \frac{1}{\varphi(r)} \log \left(\frac{1}{x-1}\right).$$ On appelle bien sûr cette notion de limite "densité de Dirichlet" en l'honneur de celui-ci. -
@Poirot : Pourtant je me souviens que l'énoncé de l'épreuve se terminait par "en déduire que toute progression arithmétique dont la raison et le 1er terme sont premiers entre eux contient une infinité de nombres premiers", aux détails de formulation près.
Je vais essayer de discuter de ça avec google. -
Bon, ben je n'arrive pas à retrouver le sujet.
Si quelqu'un a plus de chance que moi... -
Non mais le résultat de Dirichlet prouve en particulier qu'il existe une infinité de nombres premiers dans $D_{a,r}$, regarde le membre de droite !
J'ai écrit ces précisions car ton message laisse sous-entendre que le théorème de Dirichlet c'est $\frac{\pi(x;r,a)}{\pi(x)} \underset{x \to +\infty}{\longrightarrow} \frac{1}{\varphi(r)},$ où tu auras reconnu mes notations je pense. Sauf que ça c'est le théorème des nombres premiers en progressions arithmétiques, c'est beaucoup plus fort que le résultat de Dirichlet. -
Oui j'avais bien compris le lien : le truc de droite tend vers l'infini, donc s'il n'y avait qu'un nombre fini de premiers dans la progression on aurait un problème...
Mais j'ai vraiment le souvenir que le problème de Cloud nous faisait démontrer ce que tu appelles le théorème des nombres premiers en progressions arithmétiques.
Mais je peux me tromper, ça fait 42 ans... -
J'émets de sérieux doutes, mais après tout c'était une autre époque. Si l'analyse complexe était au programme alors pourquoi pas.
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Il me semble voir de quel sujet Martial parle. Mon prof de spé me l'avait donné lorsque je lui avait demandé si il avait des trucs sympa d'analyse complexe en stock. Il m'a moins marqué que Martial, puisque je n'en ai qu'un vague souvenir, mais il me semble aussi que le résultat prouvé était ce que tu appelles le théorème des nombres premiers en progression arithmétique.
L'analyse complexe n'était pas au programme, du coup je me souviens qu'une bonne partie du sujet consistait justement à reprouver de manière un peu ad hoc des trucs d'analyse complexe.
J'ai fouillé un peu dans mes affaires qui me restent de la prépa, malheureusement, je n'ai pas pu retrouver le sujet. -
@Chat : oui, c'est exactement ça. Evidemment, tout le sujet était dans le programme de M', donc il y avait 5 parties dont 4 de préliminaires avant de pouvoir attaquer le preuve proprement dite du théorème.
Et je me suis embourbé dans des trucs faciles.
Fait ch... de ne pas pouvoir remettre la main sur ce satané sujet ! -
Avec beaucoup de retard et toutes mes excuses, un grand merci pour avoir répondu à ma question !!Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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Martial, Chat-Maths,
Est ce que ce n'est pas le sujet de 1993 dont vous parlez ? Première composition de mathématiques, sujet commun ENS Ulm et Lyon. Le corrigé est dans la revue RMS 9-10, Mai Juin 1994, p. 600-611 (12 pages, c'est petit), intitulé Corrigé du 6637. Je n'y ai pas accès (à l'ex R.M.S).
PS : je trouve que je poste beaucoup dans Shtam ces derniers temps, faut que je fasse gaffe. -
@Claude
J'ai regardé le sujet dont tu parles, et du coup je dois bel et bien parler du même sujet que Martial, car ce n'est pas ce sujet que j'avais en tête! -
Je renouvelle mon appel : si quelqu'un parvient à retrouver ce diabolique sujet de 1978 (algèbre), au moins Chat et moi sommes preneurs.
En analyse c'étaient des produits de convolutions mélangés avec des interversions séries-intégrales, et j'ai réussi à me gameller comme c'est pas permis. J'ai eu 8 alors que j'aurais pu avoir 16 en étant davantage concentré. Et tout ça c'est psychologique : j'ai mal lu l'énoncé, donc j'ai raisonné comme si les fonctions étaient définies sur $\R$, et au bout d'1/2h j'ai réalisé qu'elles étaient définies sur $\C$. Il m'a fallu tout recommencer, et ça m'a sapé le moral car je me suis dit : ça y est c'est mort, c'est un concours et les autres m'ont déjà mis 1/2h dans la vue. Du coup j'ai passé le reste de l'épreuve le moral dans les chaussettes, ce qui n'est jamais bon pour la réussite.
Mais bon, on apprend de ses erreurs... -
Est-ce que c'est ce sujet ?
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En tout ce n'est pas du tout le théorème des nombres premiers en progressions arithmétiques, mais le théorème de Dirichlet qui y est démontré.
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Oui, merci Marco!
Effectivement Poirot, c'est bien le théorème de Dirichlet tel que tu l'as énoncé. Je me suis m'embrouillé parce que le sujet formule cela avec une notion de "densité" d'un ensemble de nombres, et demande de déterminer la "densité" des nombres premiers de la forme $an+m$, mais visiblement, cette notion de densité n'est pas celle dont tu parles. -
@marco : il y a confusion. Le sujet que tu proposes est le sujet d'analyse Ulm 79. Moi je parlais du sujet d'algèbre Saint-Cloud 78.
J'ai également composé sur le sujet que tu as posté, mais là je n'en ai strictement aucun souvenir. Bizarrement je me suis grave gauffré à Ulm en 7/2, alors qu'en 5/2 j'avais été sous-admisssible (GRRRR!!!). Faut dire aussi, à ma décharge, que la veille de la 1ère épreuve d'Ulm j'ai appris que j'étais admissible à l'ENSET. Du coup je me suis moralement plus focalisé sur l'oral de l'ENSET (où je savais avoir des chances sérieuses, la preuve) que sur l'écrit d'Ulm, où ma probabilité de réussite était voisine de zéro, même en cas d'admissibilité. J'avais appris par quelques indiscrétions qu'à Ulm on n'aime pas beaucoup les 7/2... -
Voici les sujets de Saint-Cloud et Fontenay en 1978, trouvés sur le site de l'UPS, je n'y vois pas clairement de nombres premiers (même s'il manque des morceaux dans l'épreuve pratique).
PS : Ça a existé jusqu'à quand, 7/2 ? -
Ah, je pensais vraiment qu'on parlait du même sujet Martial! En tout cas je parlais bien de celui que Marco a posté.
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Purée je suis vraiment à la ramasse ! C'est la honte !
Je me suis tout simplement planté d'année.
Il s'agit de Saint-Cloud 79, et non pas 78.
Math-Coss, tu peux nous les trouver ? (Par contre le sujet d'analyse que tu as posté est bien celui où j'ai eu 8).
Je me souviens même (mais seulement maintenant) que j'avais montré le sujet à Cossart, qui à l'époque faisait des TDs en algèbre commutative, à moins que ce soit en théorie des nombres, je ne sais plus. Il avait reconnu que le sujet était particulièrement non trivial.
Sorry -
Ça a existé jusqu'à quand, 7/2 ? Il me semble que le ministre de la défense Bourgès-Maunoury a supprimé la possibilité de triplement de la Spé vers 1956 ou 57 ; actuellement, cela reste possible sous condition (par exemple : maladie pendant les concours de l'année de 5/2).
Cordialement, j__j -
@john-john : 7/2 est un raccourci de ma part.
J'ai fait 5/2, suis parti en L3 avec une équivalence, et j'ai repassé les ENS en candidat libre, ce qui était possible puisque pour chaque concours on dispose de 3 tentatives -
Voici les sujets de Fontenay-Saint-Cloud 1979. Pas grand-chose à voir avec Dirichlet.
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Je ne comprends plus rien, je dois être à l'ouest. Je réfléchis à ça demain
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A la réflexion je pense que j'ai dû vivre dans un univers parallèle jusqu'à une date Lambda, et qu'un jour un élève à qui j'avais foutu une salle note en maths a cherché à se débarrasser de moi "proprement" et m'a propulsé dans celui-ci. Je ne m'en suis pas aperçu jusqu'à hier, parce que les 2 univers sont assez proches l'un de l'autre, avec seulement quelques différences ténues. Par exemple, le sujet de Saint-Cloud 79 change d'un univers à l'autre.
Franchement, nous n'avons pas d'autre explication...
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