continuité d'une fonction

Shine · January 2014

Bonjour
Merci de m'aider avec l'exercice suivant,
Soit la fonction $f : \R \to\R$
$f(x) = x^2$ si $x$ est rationnel et $f(x)= 0$ si $x$ est irrationnel.
Montrer que $f$ est continue uniquement en $x = 0$

on as si $x$ est rationnel $f(x)=x^2$ donc $f$ est continue dans $\Q \to \R$ \Rightarrow $f$ n'est pas continue dans $\R \to \R$
et si $x$ est irrationnel $f(x)=0$ donc $f$ est continue dans $\R/Q to \R$ \Rightarrow $f$ n'est pas continue dans $\R \to \R$
est ce juste?

gb · January 2014

Bonjour,

A-t-on : $\lim\limits_{n\to+\infty} f\left( 1+\dfrac{\sqrt{2}}{n} \right) = f\left( \lim\limits_{n\to+\infty} \left(1+\dfrac{\sqrt{2}}{n} \right) \right)$ ?

Braun · January 2014

Bonsoir,
Si on considère un point $x_{0}$ je crains fort que toute boule ouverte de centre $x_{0} \not= 0$ et de rayon $\eta \leq \dfrac{\vert x_{0}\vert}{2}$ contienne des points dont l'image est supérieure à $\left( \dfrac{x_{0}}{2} \right) ^{2}$ et d'autres dont l'image est nulle.
@ Shine, tu n'aurais pas dû modifier ta question, nos réponses en deviennent inadaptées.

Shine · January 2014

On a : $\lim\limits_{x \to \infty}f = 1$
et $f\big(\lim\limits_{x \to \infty}(1+\frac{ \sqrt2}x)\big) = 1 + \sqrt2$
donc non, mais qu'est-ce que c'est ?
Je sais que si une fonction est continue au point $x_0$, alors $\lim\limits_{x \to x_0}f(x) = f(x_0)$

Toto.le.zero · January 2014

1) Par la non continuité sur $\R^*$:

Tu peux utiliser le critère suivant:

"f est continue en $x_0$ $\Longleftrightarrow$ pour tout suite $(u_n)$ convergeant vers $x_0$, alors $f(u_n)$ converge vers $f(x_0)$"

en exhibant deux suites $u_n$ et $v_n$ tendant vers $x_0$ tels que les suites $f(u_n)$ et $f(v_n)$ n'aient pas la même limite.

Indication pour trouver deux de ces suites: tu peux utiliser la densité de $\R / \Q$ et $\Q$ dans $\R$.

2) Pour la continuité en 0:
tu peux simplement remarquer que pour tout réel $x$, $|f(x)|\leq x^2$.

continuité d'une fonction

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