Lien entre inversibilité et jacobien

... Je me sens idiot...

A force de cloisonner les notions entre les différents domaines, je n'ai juste pas pensé à utiliser ces notions là.

Merci

Je m'en souviendrais pour la suite, je te remercie

Par contre, je souhaiterais un avis sur la solution que j'ai trouvée pour la suite de l'exercice. Tout en la jugeant bancale, je n'arrive pas à trouver mieux...

Après avoir dû prouver que $f$ est un $C^1$-difféomorphisme de $\mathbb R²$ sur $f(\mathbb R² )$ (ça c'est bon), on me demande de montrer que $f^{-1}$ est lipschitzienne, en utilisant la norme $||(x,y)||=|x|+|y|$. Il faut donc montrer que :$\exists C \in \mathbb R, \forall ((x,y),(x',y')) \in (\mathbb R² )²$,$||f^{-1}(x,y)-f^{-1}(x',y')|| \le C||(x,y)-(x',y')||$.

Après différentes manipulations, l'inéquation ci-dessus est équivalente à :

$\frac{\left | x - \sin{\frac{y}{2}} - x' + \sin{\frac{y'}{2}} \right |+\left | y - \sin{\frac{x}{2}} - y' + \sin{\frac{x'}{2}} \right |}{|x-x'|+|y-y'|} \ge C^{-1}$

- On a d'une part, lorsque $|x-x'|$ et $|y-y'|$ tendent vers $+ \infty$, $\frac{\left | x - \sin{\frac{y}{2}} - x' + \sin{\frac{y'}{2}} \right |+\left | y - \sin{\frac{x}{2}} - y' + \sin{\frac{x'}{2}} \right |}{|x-x'|+|y-y'|} $ tend vers 1
- D'autre part, lorsque $|x-x'|$ et $|y-y'|$ tendent vers 0, $\frac{\left | x - \sin{\frac{y}{2}} - x' + \sin{\frac{y'}{2}} \right |+\left | y - \sin{\frac{x}{2}} - y' + \sin{\frac{x'}{2}} \right |}{|x-x'|+|y-y'|} $ tend également vers 1
- Dans tous les autres cas de figures, il est évident que $|x-x'|+|y-y'|>0$, donc l'expression est toujours définie. D'autre part, puisque $f$ est injective (montré dans une question précédente), alors, si $(x,y) \neq (x',y')$, alors $f_1 (x,y) = f_1 (x',y') \rightarrow f_2 (x,y) \neq f_2 (x',y')$, et réciproquement. Autrement dit, si $(x,y) \neq (x',y')$, alors $\left | x - \sin{\frac{y}{2}} - x' + \sin{\frac{y'}{2}} \right | = 0 \rightarrow \left | y - \sin{\frac{x}{2}} - y' + \sin{\frac{x'}{2}} \right | \neq 0$, et réciproquement. Donc l'expression ne s'annule jamais.



On a donc $\frac{\left | x - \sin{\frac{y}{2}} - x' + \sin{\frac{y'}{2}} \right |+\left | y - \sin{\frac{x}{2}} - y' + \sin{\frac{x'}{2}} \right |}{|x-x'|+|y-y'|} > 0$, donc il existe bien un $C$ tel que $\frac{\left | x - \sin{\frac{y}{2}} - x' + \sin{\frac{y'}{2}} \right |+\left | y - \sin{\frac{x}{2}} - y' + \sin{\frac{x'}{2}} \right |}{|x-x'|+|y-y'|} \ge C^{-1}$.

Voilà. Comme dit plus haut, cette démonstration me semble bancale, et je vois quelques éléments qui me permettraient de la formaliser, notamment le théorème des accroissements finis sur des fonctions à variable vectorielle, mais, comme ce n'est pas une notion "au programme", je suppose qu'il nous est possible de résoudre l'exercice sans l'utiliser.

Merci d'avance pour vos retours.

Je te remercie, c'est en effet beaucoup plus clair comme démonstration