MP - Série entière - cercle de convergence

Bonjour,


j'étude la série entière des Un.zⁿ avec z complexe et pour tout n entier naturel non nul Un =intégrale de 1 à + infini de (exp(-xⁿ).dx )
Après un changement de variable dans l'intégrale je trouve Un = intégrale de 1 à + infini de (exp(-u)/(u^1-1/n).du )

Puis par encadrement de Un j'ai réussi à montrer qu'il existe 2 constantes A et B tel que A/n <=Un <= B/n
ainsi je peux affirmer en utilisant 2 fois la règle de D'Alembert que le rayon de convergence de la série entière que j'étudie est 1.

Je cherche maintenant à déterminer l'ensemble des z complexe de module égal à 1 et tel que Un.zⁿ converge.

Pouvez-vous m'aidez?

NB: J'ai remarqué que pour z=1 la série diverge et mon prof m'a donné une piste en me disant d'écrire zⁿ sous la forme d'une différence de deux sommes partielles (dualité suite-série), mais mes calculs n'ont pas aboutis, il aurait fallu que je réussisse à montrer que Un - Un+1 est équivalent à une constante près à 1/n².