Convergence d'intégrale

Si $x \in ]-\infty; 1[$ et $x$ non nul alors $1/x$ n'est justement pas dans $[0;1]$....

Sinon pour la redaction, $1/(1-xt)$ est continue en $0$ de valeur 1 en ce point, donc
pour un $\epsilon$ de ton choix il existe $\alpha$ tel que $1/(1-xt) < 1+\epsilon$ si $|t|<\alpha$
donc $\int_0^\alpha \frac{dt}{t^a(1-xt)} < \int_0^\alpha \frac{(1+\epsilon)dt}{t^a}$
et l'autre partie de l'intégrale (entre $\alpha$ et 1) est toujours convergente.

Bon je te laisse finir la rédaction quand même....

Eric

bonjour

il faut examiner le comportement de la primitive aux bornes 0 et 1

sur la borne 0 la fonction primitive est équivalente à t^(1-a)/(1-a) qui tend vers 0 à condition que a < 1

sur la borne 1 la fonction primitive n'est pas définie lorsque x = 1 mais lorsque x < 1 la primitive est bien définie en 1

et lorsque x > 1 la primitive est également définie même si 1 - tx s'annule sur l'intervalle [0; 1]
en effet autour du pôle t = 1/x existe une compensation de divergence pour l'intégrale

au total F(x) existe sur R privé de 1 et à condition que le réel a soit inférieur strictement à 1

cordialement