Convergence d'intégrale
dans Analyse
bonjour à toutes et à tous, ami(e)s
Je cherche à prouver que F(x) = intégrale entre 0 et 1 (dt)/[t^a . (1-xt)] converge pour tout x € ]-inf,1[
Avec a € ]-inf,1[ et x € ]-inf,1[
Je coince....
Je cherche à prouver que F(x) = intégrale entre 0 et 1 (dt)/[t^a . (1-xt)] converge pour tout x € ]-inf,1[
Avec a € ]-inf,1[ et x € ]-inf,1[
Je coince....
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Réponses
sur la question (l'an dernier j'imagine).
Tu coinces sur quoi?
Eric
Je ne parviens pas à utiliser Riemann dans ce cadre...un coup de pouce plz?
Que dit Riemann pour ce genre d'intégrale?
Eric
Pour t=1, elle n'est pas impropre pardon car x<1 (strict)
Riemann intégrale 1/ t^a converge entre 0 et 1 ssi a <1
;-)
Eric
Donc Riemann ne majore pas mon intégrale:(
et que donc dans un voisinage de 0 tu peux minorer ce facteur, mais aussi le majorer, et ca
suffit amplement.
Eric
Pour moi je ne vois toujours pas comment Riemann peut expliquer la convergence de cette intégrale?
1/x € [0;1]
....
Sinon pour la redaction, $1/(1-xt)$ est continue en $0$ de valeur 1 en ce point, donc
pour un $\epsilon$ de ton choix il existe $\alpha$ tel que $1/(1-xt) < 1+\epsilon$ si $|t|<\alpha$
donc $\int_0^\alpha \frac{dt}{t^a(1-xt)} < \int_0^\alpha \frac{(1+\epsilon)dt}{t^a}$
et l'autre partie de l'intégrale (entre $\alpha$ et 1) est toujours convergente.
Bon je te laisse finir la rédaction quand même....
Eric
il faut examiner le comportement de la primitive aux bornes 0 et 1
sur la borne 0 la fonction primitive est équivalente à t^(1-a)/(1-a) qui tend vers 0 à condition que a < 1
sur la borne 1 la fonction primitive n'est pas définie lorsque x = 1 mais lorsque x < 1 la primitive est bien définie en 1
et lorsque x > 1 la primitive est également définie même si 1 - tx s'annule sur l'intervalle [0; 1]
en effet autour du pôle t = 1/x existe une compensation de divergence pour l'intégrale
au total F(x) existe sur R privé de 1 et à condition que le réel a soit inférieur strictement à 1
cordialement
pour x > 0 et a < 0 il est possible d'expliciter F(x) à partir de
intégrale de 0 à +oo de t^y.dt/(1-t) = pi/tan[(y+1)pi]
en posant t.x = u dans F(x) il vient:
F(x) = x^(a-1).[intégrale de 0 à +oo u^(-a).du/(1-u)] soit:
F(x) = - [pi/x^(1-a)]/tan(pi.a)
cordialement