Équation fonctionnelle

$f(1)=f(-1)=1/2$, ensuite on choisit arbitrairement $f$ pour $|x|>1$ et on en déduit
$f$ pour $|x|<1$ non nul, non?

Eric

@Mamane, comme l'ont dit alea et EC, si $f$ est une application quelconque qui va de $E:=]-1,1[\setminus \{0\}$ dans $\R^*$, l'application $g:=T(f)$ définie par:

1) $x\in E\mapsto f(x)$
2) $x\in \{-1,1\}\mapsto 0,5$
3) $x\in \R\setminus [-1,1]\mapsto 1-f(1/x)$

vérifie $\forall x\neq 0: g(x)+g(1/x)=1$

Réciproquement, si $\forall x\neq 0: g(x)+g(1/x)=1$ alors $f=T(f_{|E})$

Si on rajoute la condition "continue partout où est définie", on doit se restreindre aux applications définies sur $E$ qui tendent vers $0,5$ aux bornes 1 et -1 et prendre leur $T(f)$. (Enfin sauf erreur).

Il n'est pas exclu que myrtille ait oublié une hypothèse (et sauf erreur de ma part).

Bonjour,

D'anciens souvenirs et liens ..........je laisse à lecture les trois points suivants:

i) Directement en " solution particulière"

Ay(x^a) + By(x^b) + y(x) = 0.
This functional equation has particular solutions of the form y(x) = C| ln x|^p, where C is an arbitrary
constant, and p is a root of the transcendental equation A|a|^1p + B|b|^p + 1 = 0.
Reference
Polyanin, A. D. and Manzhirov, A. V., Handbook of Integral Equations: Exact Solutions (Supplement. Some Functional
Equations) [in Russian], Faktorial, Moscow, 1998.
(Il existe une version plus récente en anglais ~1500 pages).


ii) plus générale..

y(x) + y(a/x) = b.
Solution:
y(x) = 1/2 b + H(x, a/x),
where H(x, z) = -H(z, x) is any antisymmetric function of two arguments.
Reference
Polyanin, A. D. and Manzhirov, A. V., Handbook of Integral Equations: Exact Solutions (Supplement. Some Functional
Equations) [in Russian], Faktorial, Moscow, 1998.

iii) Lectures introductives sur équations fonctionnelles:

Aczel J. Lectures on functional equations and their applications (AP, 1966)(528s)


Bien à vous

thierrypp

@ Merci Gérard,

Ce serait assez utile que @ Myrtille-la-douce veuille nous préciser son domaine, pour ma part, je me réfère à des liens en analyse-option mécanique analytique; pour vous Gérard, je pense un autre domaine ( probabilités, traitement de signaux ? )...

Toujours est-il que ces équations fonctionnelles sont à répertorier précieusement car sources de nombreuses publications et historiquement beaucoup s'y sont consacrés......une option de forum spécifique à envisager ? Pour ma part, je trouverais cette sub-division / option intéréssante.

Bien à vous,

thierrypp