Borne sup

Gust
Gust
dans Analyse
Bonjour.

Soient $f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$, et $g : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}^n$.
Quand c'est bien défini, comment voir que : $$\frac{|g|^2}{2f} = \sup_{(u,v) \in E} \{ uf + v.g \}$$ où $E = \{ (u,v), u + \frac{|v|^2}{2} \le 0 \}$ ?

Réponses

  • nicolas.patrois
    nicolas.patrois
    Que sont u et v ?
    Sinon, tu as regardé à quoi ressemble E ?
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • Magnolia
    Magnolia
    Bonjour

    Problème d'énoncé! $|g|^2/2f$ qui d'ailleurs est probablement $||g||^2/2f$ est une fonction, et le second membre est un nombre (si $v\in\R^n$) ce qui n'est pas dit!
  • Gust
    Gust
    oui u est une fonction comme f et v comme g.
    |.| désigne une norme pour les fonctions comme g.

    $E = \{ (u,v) tq \forall x, u(x) + \frac{|v(x)|^2}{2} \le 0 \}$

    Cela doit découler "d'arguments simples" puisqu'il n'y a pas de détails de preuve...
  • Gust
    Gust
    E est une parabole d'axe (Ox) orientée vers les négatifs (en 2D). Je ne vois pas quel type d'arguments utilisés:
    convexité, inégalités, continuité ...
  • Magnolia
    Magnolia
    Mais tu n'as toujours pas donné un énoncé complet! Relis la première formule!

    Ensuite, $E\subset \R^{n+1}$ donc parabole est un peu osé!
  • egoroffski
    egoroffski
    Et si $uf+v.g$ est une fonction et pas un réel, qu'est-ce que $\sup_{(u,v)} uf+v.g$ ?
  • Gust
    Gust
    c'est une fonction de x à valeurs réelles. Le sup est réalisé "point par point".
    J'avoue c'est pas clair, bien posé, bien rigoureux mais je ne peux être plus explicite. C'est pioché dans une preuve où il n'y a pas de détails. Je viens juste chercher une méthode, pas une solution exacte.
  • egoroffski
    egoroffski
    D'accord. Puisque c'est point-par-point, autant simplifier en disant que $f \in \R$, $g \in \R^n$ et le sup est à prendre sur $E \subset \R^{n+1}$. Dans ce cas, tu peux commencer par montrer qu'il n'y a pas de points critiques pour $H(u,v)=uf+g \cdot v$ à l'intérieur de $E$, ce qui te ramène à un problème d'extrema liés : maximiser $H(u,v)$ sous une contrainte $J(u,v)=0$. La suite est assez simple.
  • Eric Chopin
    Eric Chopin
    C'est dejà plus compréhensible...
    De mon point de vue, vue la linéarité de l'expression que tu veux maximiser,
    la borne sup, si elle existe, est atteinte et forcément sur le bord du domaine (la parabole).
    Je te suggère alors de la parametrer en coordonnées cylindriques
    ce qui devrait simplifier le problème (n'ayant pas fait de calcul je peux être à côté de la
    plaque mais c'est comme ca que je procéderais je pense).

    Eric
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