paradoxe de physique - bis

Bonjour


Cette notion de paradoxe est quand même curieuse.
Il en est des théorèmes de physiques comme de ceux de maths, on vérifie les hypothèses et dans tous ces théorèmes une des hypothèses est qu'on parle d'un système isolé. Reste a bien définir le système avant d'écrire les équations.... quand je saute en l'air, je ne suis pas un système isolé, mais la terre+mon corps en est un...

Il serait curieux d'appeler paradoxe le fait de trouver une fonction non continue qui ne vérifie pas le théorème des valeurs intermédiaires.

Quand l'une des hypothèses d'un théorème n'est pas vérifiée, on parle en général de contre-exemple plus de paradoxe.

Pour finir, la grandeur la plus intéressante est la quantité de mouvement. Par exemple imaginons deux trains qui se croisent et les passagers de chacun des trains échangent très rapidement leur bagages avec ceux du train en face (les échanges étant suffisamment rapides pour que les masses restent constantes); hé bien comme il y a échange de quantités de mouvements opposées, les trains sont freinés (pour rendre à César, il me semble que cet exemple est tiré d'un cours de Castaing) .

Et dans le premier exemple donné par JLT dans l'ancienne discussion

JLT a écrit:

Soit $ E$ l'énergie nécessaire pour amener un objet $ M$ d'une vitesse nulle à la vitesse $ v$. Soit $ O$ un objet immobile, et $ \Omega$ un objet se déplaàant à la vitesse $ v$.

On fournit l'énergie $ E$ à l'objet $ M$ afin qu'il devienne immobile par rapport à $ \Omega$. On se place ensuite dans le référentiel $ \Omega$. On lui fournit encore l'énergie $ E$, de sorte qu'il ait une vitesse $ v$ par rapport à $ \Omega$. Au total, on a fourni l'énergie $ 2E$, et l'objet a une vitesse $ 2v$ par rapport à $ O$.

Conclusion : l'énergie est proportionnelle à la vitesse.

Êtes-vous d'accord avec moi sur le fait que l'erreur de raisonnement vient ici " Au total, on a fourni l'énergie $2E$". La première fois, $E$ est prise par rapport au référentiel de $O$ alors que la deuxième fois $E$ est prise par rapport au référentiel de $\Omega$ et qu'il n'y a aucune légitimité à additionner ces deux quantités qui sont dans des référentiels différents ?

pour ceux qui n ont pas envie d attendre un pdf de qualite hautement douteuse de ma part, je ne l ai pas sur moi mais je crojs que je l avis achete il y a longtmeps: il y a 5 manuels de physique ecrits par FEYNMAN a couverture grise. A ma connaissance c est le seul auteur de physique valable pour ce genre de chose (hypothetico deductives), ie qui PROUVE ce qu il dit. Je suis pret a parier qu il est du genre avoir a avoir DISCUTE COMPLETMENT cette question le connaissant a travers d autres textes qu il a discute sans erreur logique.

Donc voila pour info ceux qui ont ce cours a couverture grise et s interessent a ca. . . Bin ils sontchanceux

Mister Da a écrit:

Êtes-vous d'accord avec moi sur le fait que l'erreur de raisonnement vient ici " Au total, on a fourni l'énergie $ 2E$". La première fois, $ E$ est prise par rapport au référentiel de $ O$ alors que la deuxième fois $ E$ est prise par rapport au référentiel de $ \Omega$ et qu'il n'y a aucune légitimité à additionner ces deux quantités qui sont dans des référentiels différents ?

en effet.

Les équations de la physique "classique" supposent quelques hypothèses. En général on les applique dans un référentiel galiléen et pour un système bien défini.
Tout référentiel n'est pas nécessairement galiléen. Si on considère un canon tirant un obus c'est clair que la terre peut être considérée comme un référentiel galiléen. Si maintenant une planète explose en 2, aucun référentiel lié à un des morceaux n'en est un (mais un référentiel lié au centre de gravité des 2 corps si) . Dire qu'il y a transfert d'énergie d'un référentiel à un autre est sans doute abusif. Il serait plus correct de parler de transfert d'un système à un autre système.

Pour des paradoxes qui ne sont pas de simples contre-exemples http://fr.wikipedia.org/wiki/Catégorie:paradoxe_physique

[Correction du lien. AD]

Comme j'ai promis, je n'interviens plus sauf pour poster un pdf (je l'ai écrit vite faite, mais hélas, j'ai mangé quand-même, je voulais le substituer au repas).

Il y aurait à répondre à l'évidence à Diego sur un détail (un paradoxe est n'importe quoi qui ressemble à un raisonnement avec autant d'hypothèses fausses que tu veux, mais que l'énonciateur croit vrai. Il n'y a pas "de censure" pour le mot "paradoxe". Dès lors que chaque hypothèse $H_i$ est crue disons par plus de $90\%$ des gens et que tu démontres que $H_1$ et $H_2$ et .... et $H_{447}$ implique 0=1, tu as un paradoxe. Un paradoxe est une notion par excellence "démocratique". Par exemple, dans le cas présent, ce sont les gens troublés par le trucage (mais qui voient $H_1$ et .... et => absurdité sans vraiment trouver pour quel i ils ont une franche envie de rejeter $H_i$) qui vont faire que oui ou non c'est un paradoxe. Il n'y a pas de "temple des gardiens du mot paradoxe" ou d'appelation d'origine contrôlée pour le label paradoxe. A te lire, on finirait par, si on te suivait, n'attendre que des contradictions qu'elles soient des paradoxe (une contradiction est un théorème dont la conclusion est 0=1 par exemple dans une théorie officiellement acceptée comme ne contenant que des axiomes "vrais") et actuellement on n'en connait pas: ie aucun paradoxe {\it n'est sérieux} à part peut-être celui de Russel ou ceux générés par les avènements de la mécanique quantique ou la relativité (qui contredisent ce qu'on pouvait appeler des théories acceptées dans le passé). Ca ferait trop peu de monde pour le mot "paradoxe", mais je ne suis pas non plus gardien de ce mot.

Mais je tiens ma promesse, je ne m'étends pas.

Je mets d'ores et déjà le pdf (il est largement pourri, mais je l'améliorerai) promis pour ne pas trop faire attendre ceux qui l'espéraient (une ou deux personnes). Bien noter que je ne propose pas une résolution complète car ce serait hors-sujet et d'autres le feront mille fois mieux que moi. L'idée était déjà de détailler ce que veut dire respecter le candide, parler avec ses mots vagues, etc, de détailler aussi "comment jouer au jeu d'essayer d'utiliser son propre système de croyances pour lui montrer où ça déconne dans son propre système d'axiomes.

Comme je l'ai déjà dit, si on veut mille fois mieux que mon pdf écrit à l'heure du déjeuner caniculaire, ou des calculs d'experts qui ne prouvent rien car admettent ce qu'ils veulent prouver et dissertent sur du calcul de dérivée ou ce genre là, je suis intimement persuadé que Feynamn est du genre [size=x-large]à avoir prouvé[/size] dans ses livres la relation $E=\frac{1}{2}mv^2$ . En effet, pour autant que je me souvienne, il avait à coeur de "tout prouver" et de localiser avec une empathie et une emphase terrible les hypothèses admises de ses propos (il pouvait les répéter 15 fois "attention, j'ai admis ceci, j'ai admis cela).

Je suis donc persuadé qu'il a prouvé " $E=\frac{1}{2}mv^2$" dans son bon contexte dans ses cours. (Il va de soi que toute cette contine n'a pas juste pour rôle de prouver que $E\neq constante.v$ mais constitue avant tout un rappel du devoir qu'ont les gens qui se disent érudit en science de prouver ce qu'ils disent (par exemple $E=\frac{1}{2}mv^2$) qui bien entendu n'est pas un axiome de la physique classique

préversion brouillone, mais franche:

oups, j'oubliais (et j'ai pas trop non plus le temps d'améliorer le pdf tous les jours ), je donne la réponse à la devinette, mais je la mets en police blanche pour que ceux qui liront pas le pdf ou qui ont envie de continuer de chercher (et de pas lire le pdf):

"l'erreur" (c'est à dire l'hypothèse FAUSSE qu'on peut lui proposer honnêtement de REJETER définitviement commise par la candide est l'hypothèse qu'on peut se déplacer dans le vide (avec de l'énergie). (On peut pas (ie on ne peut pas modifier sa vitesse: le centre de gravité d'un système isolé se déplace à vitesse constante))

Important: je dois rendre justice a Gerard qui sur le fond en OBJECTANT a la possibilite d accelerer dans le vide suggerait (je reste vague sinon inutile d avoir mis la phrase en police blanche) le rejet de la meme hypothese que celle que je suggere. Je n ai pas identifie LE FOND de son objection [************* modéré ***************]

Pour info je suis fort mecontent de mon pdf surtout la fin. Pour moi une part du paradoxe subsiste tjs malgre la replique au candide contre laquelle il ne peut rien certes. Je le mettrai a jour (si je trouve)

@CC,
Peux tu essayer d'arrêter les critiques puériles et gratuites envers les personnes qui ne sont pas de ton avis!

Ton comportement redevient vraiment insupportable, ce serait bien que tu te calmes une fois
pour toutes (sur le forum).

Eric
ps: ca fait combien de messages que tu as dit que ce serait ton dernier message dans ce fil?

Merci j essairai de regarder ca en detail! Par fois en voyant energie potentielle energie cinetique il m arrive.de.penser que la.conservation vient du fait que comme en comptabilite on ajoute un champ ou on met la.difference entre les deux colonnes de sorte qu a la.fin elles ne peuvent.etre que egales, mais je fouillerai l argument car.je.veux.dissiper.totalement le paradoxe et je trouve mon pdf insatisfaisant

@EC bin je comprends pas jai envoye un mp a Gerard pour lui demander s il l avait lu c etait un post ou je lui rendais hommage en plus je me rappelle plus les details de ce que j avais ecrit mais je n ai aucune conscience d avoir critique. Aucun de mes.posts ne.sont des reponses au debat ce sont des details pratiques.

L'invariance dans le temps de l'énergie et de la quantité de mouvement résulte de l'application du théorème de Noether
(celui des physiciens) qui à chaque symétrie locale du Lagrangien associe un courant conservé.

Théorème de Noether (physique)

L'invariance par translation (dans le temps et dans l'espace) donne la conservation
de l'énergie et de la quantité de mouvement.

L'invariance de jauge amène à la conservation de la charge électrique et du courant total.
Eric

[Correction du lien. AD]

Alors on sait que la quantité de mouvement d'un système isolé non soumis à des forces se conserve d'où :
$$ mv=\text{Cte}$$
On dérive par rapport au temps cette formule (en considérant $m$ constante):
$$m\dot{v}=0$$
on prémultiplie cette dernière égalité par $v$ d'où
$$m\dot{v}v=0$$
autrement dit par intégration:
$$1/2mv^2=\text{Cte}$$
mais on aurait pu aussi multiplier par $v^2$ non ? d'où
$$m\dot{v}v^2=0$$
soit
$$1/3mv^3=\text{Cte}$$
j'ai l'impression qu'il y pas mal des invariants. Pourquoi choisit-on le premier et décide-t-on de l'appeler "énergie cinétique" ?

@Mister Da,

Tu pars d'un Lagrangien possédant une symétrie, tu peux alors en déduire
un courant de Noether qui se conserve au cours du temps. La composante temps
de ton courant de Noether (qu'on appelle énergie mécanique quand la symétrie
est la translation) coincïde effectivement avec l'Hamiltonien, et les composantes vectorielles avec
les variables conjuguées $p_i$. Mais si tu changes de référentiel, en fonction
des nouvelles coordonnées ton Lagrangien présentera t'il encore une symétrie
par translation dans toutes les directions? Dans un référentiel en rotation tu vas
"simuler" une symétrie par rotation et tomber sur la conservation du moment cinétique...


Eric

Bonjour,

merci à tous pour vos réponses, votre aide et le temps que vous me consacrez. J'avoue être très vite dépassé dès que je sors des exemples scolaires archi vus et revus...

@albanv oui je suis d'accord, il y a des choses comme le potentiel de Schering pour prendre en compte les forces non-dissipatives qui sont fonctions de la vitesse ou les fonctions de dissipation de Rayleigh pour prendre en compte les forces dissipatives de mémoire. Mais dans le cas d'un choc inélastique je ne suis pas convaincu qu'il faille utiliser de telles choses, si ?

@JTL "1) si tu prends comme Lagrangien l'énergie cinétique, tu considères que les particules n'interagissent pas entre elles."
Oui tout à fait, en fait je voulais simplifier le modèle à l’extrême en disant que deux particules vivent leur vie de manière indépendante sur une droite. A un moment elles se trouvent au même endroit au même moment et c'est seulement là qu'elles interagissent via un choc élastique ou inélastique. (C'est pour cela que j'avais dis : Si on accepte que les particules rentrent en collisions). Mais au final tu as raison, un choc traduit quelque chose de discontinu qui doit être effectivement horrible à écrire en formalisme hamiltonien.


Cordialement,
Mister Da

@JLT est-ce que l expression "qui derive d un potentiel" est suffisamment generale (je relisais ton calcul d il y a 14h): par exemple le cadre suivant y entre t il?

"la force exercee par a sur b est un vecteur dont un representant est proportionnel au vecteur ba et dont la longueur est egale a exponentielle de (1/d) ou d est la distance entre a et b"

Bonjour, \begin{enumerate} \item Plusieurs personnes se sont mis en tête de démontrer qu'il y aurait conservation de la quantité $E=\frac{1}{2}mv^{2}$ (parfois réécrite sous la forme $E=\sum\,\frac{1}{2}mv^{2}$). Et elles s'émerveillent de ne pas y arriver. C'est pourtant tout simple~: la quantité $E=\sum\,\frac{1}{2}mv^{2}$ ne se conserve pas.

\item Par exemple pluton (768647) croit que la conservation de $\frac{1}{2}mv^{2}$ est une conséquence de la conservation de $mv$. Regardons son calcul. Pour commencer, il n'y a pas conservation de $mv$, mais conservation de $\sum mv$ pour un système isolé. On a donc le choix suivant:

\begin{enumerate}

\item ou bien $m$ est la masse totale et $v$ la vitesse globale du système par rapport au repère choisi, et alors $v$ est constante. On en déduit alors que~:\[ 217\,\log\left|v\right|+\cos v^{2}\vphantom{b^b}\] est une constante: tant que $v$ ne change pas, aucune fonction de $v$ ne peut changer. Ce n'est pas faux, mais il n'y aurait pas de quoi faire tant de bruit.

\item ou bien on regarde comment interagissent certains sous ensembles du système. Si l'on a deux sous ensembles, on a $m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}=Cte$. Puis $m_{1}\gamma_{1}+m_{2}\gamma_{2}=0\vphantom{b^b}$. Et puis quoi ? On multiplie $m_{1}\gamma_{1}\vphantom{b^b}$ par $v_{1}\vphantom{b^b}$ et $m_{2}\gamma_{2}\vphantom{b^b}$ par $v_{2}\vphantom{b^b}$ parce qu'il plaît à Dieu d'avoir des volontés différentes en différents endroits ? Si l'on faisait cela, évidemment, il suffirait d'intégrer pour obtenir $\sum\frac{1}{2}\, mv^{2}=Cte$. C'est un résultat bien connu en logique formelle: une fois le faux introduit, on peut démontrer n'importe quoi.

\item Ce que l'on peut tirer des calculs de pluton, c'est un renforcement de la conviction selon laquelle la conservation de l'énergie n'est pas une conséquence de la conservation de l'impulsion. Cette conviction ne fait qu'exprimer le fait suivant~: si l'une des deux lois de conservation se déduisait de l'autre, on ne se casserait pas les pieds à énoncer deux lois au lieu d'une. \end{enumerate}

\item Il a été rappelé par Mister\_Da (768625) que la conservation de l'impulsion était liée à l'homogénéité de l'espace, tandis que la conservation de l'énergie était liée à l'homogénéité du temps. Oui, en effet. Cela est expliqué en détail dans Landau, Physique Théorique, Tome 1: mécanique, Chap 2: lois de conservation. Cette propriété se conserve en mécanique relativiste: l'homogénéité de l'espace-temps est liée à la conservation de l'impulsion-énergie $P=\left(p,iE/c\right)$.

\item C'est le moment de rappeler que corrélation n'est pas causalité. Ce n'est pas \textbf{parce que} la fonction de Hamilton est invariante par translation qu'il y a conservation de l'impulsion-énergie. Au contraire, c'est \textbf{parce que} l'impulsion-énergie se conserve qu'il devient possible de décrire le monde réel en termes de moindre action sur une fonction de Hamilton.

\item chalons tient à nous faire savoir qu'il est intimement persuadé que "Feynamn est du genre à avoir prouvé dans ses livres la relation $E=\frac{1}{2}mv^{2}$". Cela suffirait à prouver que chalons n'est pas un spécialiste du domaine. Il est vrai que~: "J'y pense, je n'arrive plus à me rappeler si j'ai assisté à des cours de physique au lycée, c'est vraiment loin d'être sûr (768394)" et le fait que le brave homme est réputé s'endormir chaque fois qu'il ouvre un livre sont également des indices intéressants.

\item Le cours de Feynman est de couleur grise. En effet. C'est l'une des rares choses que l'on peut en retenir si l'on s'en est seulement servi comme d'un oreiller pour une sieste, sur une aire d'autoroute. Mais on peut aussi se servir de ce cours comme d'un livre, c'est à dire en le lisant, au lieu de prétendre deviner ce que l'on pourrait bien y lire si on le lisait.

\item Voyons donc comment Feynman présente la notion d'énergie (cours, tome 1: mécanique, Chap 4: conservation de l'énergie, page 43). \emph{L'énergie apparaît sous un très grand nombre de formes différentes (il en explicite un certain nombre de sortes), et il existe une formule pour chacune d'elles. Si nous additionnons ces formules, pour chacune des contributions, il n'y aura pas de changements à l'exception de l'énergie qui entre ou qui sort.}

\item Quelle est la première formule mentionnée par Feynman à propos de l'énergie ? Cela se trouve page 49 (op.cit.). On a, pour un pendule simple, la relation~:\[ W_{cin}-mgh=Cte\] et l'on peut en conclure que $W_{cin}=\frac{1}{2}mv^{2}$. Cette formule prouve à elle toute seule que $\sum\frac{1}{2}mv^{2}$ ne se conserve pas, bien au contraire: à chaque instant une certaine quantité de $\frac{1}{2}mv^{2}$ disparaît ou apparaît, remplacée par une quantité équivalente de $mgh$ et le tout à somme constante. Au passage, cela prouve le facteur $1/2$ dans la formule $\frac{1}{2}mv^{2}$.

\item Un minimum de bon sens devrait d'ailleurs faire percevoir que, au cas où $\sum\frac{1}{2}mv^{2}$ se conserverait, il serait totalement stupide de garder un facteur $1/2$ dans l'énoncé de la propriété. Ce n'est pas pour rien que la conservation de $\sum mv$ s'énonce sous cette forme, et non pas sous la forme $\sum\frac{1}{317}\, mv$ se conserve.

\item Voyons où cela nous mène. JLT nous dit (768484) "l'individu agrippe un barreau de l'échelle et dépense encore l'énergie $E$" et la conservation de l'énergie nous donne $E=\frac{1}{2}mv^{2}+\frac{1}{2}MV^{2}$. Décidément, la sauce "hypothético-déductive" n'est pas la bonne façon d'assaisonner la physique. Faisons une expérience avant de nous lancer dans les calculs. Dépensons une partie de nos crédits de recherche et allumons un barbecue. Que constate-t-on ? On constate que le barbecue ne se met pas à voler dans les airs. Bilan: il ne suffit pas de dépenser de l'énergie pour qu'elle se transforme en énergie mécanique. C'est comme cela, il faut s'y faire.

\item En outre JLT semble croire que la situation avec une seule échelle est une simplification de la situation avec plusieurs échelles. Ce n'est pas le cas: la situation avec une seule échelle est absolument différente des autres. J'ai déjà indiqué ce qui se passe pour une seule échelle, mais je vais le rappeler, de façon à faciliter la comparaison avec la seconde situation.

\item Supposons donc qu'il existe une échelle de masse $M$ et de vitesse uniforme $v$ par rapport à un observateur neutre (extérieur). Supposons que l'individu ait une masse $m$ et une vitesse uniforme $v+\delta v$. Supposons enfin que le résultat de leur interaction soit l'accrochage de l'individu sur l'échelle, donnant une masse $m+M$ et une vitesse $V$. On remarquera que l'on ne cherche pas une description chronologique détaillée du processus (écrasement instantané ou mécanisme d'amortissement, etc). Seule est en vue une comparaison entre l'état initial et l'état final.

\item La conservation de l'impulsion détermine totalement la vitesse finale. Nous avons \[ M\, v+m\left(v+\delta v\right)=\left(M+m\right)\, V\] Nous en déduisons que~: \[
V=v+{\frac{m}{M+m}\,\delta v}^{\vphantom{Q}} \] Et il n'y a aucun moyen d'aucune sorte pour que~: $v=v_{0}\sqrt{1+m/M}$. Qu'en est-il de l'énergie cinétique ? On trouve que~:\begin{eqnarray*} \Delta W_{cin} & =\vphantom{b^b} & \frac{1}{2}M\, v^{2}+\frac{1}{2}m\left(v+\delta v\right)^{2}-\frac{1}{2}\left(M+m\right)V^{2}\\ & =\vphantom{b^b} & {\frac{1}{2}\,\frac{m\, M}{M+m}\,\left(\delta v\right)^{2}}^\vphantom{b^b}\end{eqnarray*}


\item Ceci est donc une preuve de plus de la non conservation de $\sum\frac{1}{2}mv^{2}$: dans un choc absorbant entre deux corps, il y a perte d'énergie cinétique (celle-ci se transformant en autre chose, chaleur par exemple).

\item Il n'y a pas moyen de sauver cette affirmation fausse en considérant l'énergie thermique comme une sorte d'énergie cinétique des molécules. D'abord parce que cela ne sauve pas le cas $\frac{1}{2}mv^{2}-mgh$. Mais en second lieu, parce que l'énergie thermique se comporte de façon spécifique: ce n'est pas pour rien que les moteurs thermiques ont un rendement limité par l'écart entre source chaude et source froide, etc.

\item Pour voir les choses de façons positive, le dispositif à une échelle, du fait même que $\sum\frac{1}{2}mv^{2}$ ne se conserve pas, permet de donner une définition expérimentale de l'énergie cinétique d'un mobile dans un repère donné: c'est l'énergie qui apparaîtra (sous forme de chaleur ou autre) lors d'un choc absorbant entre le mobile et un corps de masse "bien plus grande" et placé au repos par rapport au repère.

\item Passons au dispositif à deux échelles. Nous avons deux échelles $M$, avec les vitesses $v$ et $v+\delta v$. A l'état initial, l'individu de masse $m$ est accroché sur la première échelle; à l'état final, il est accroché sur la deuxième échelle (vitesses $V$ et $V+\delta V$). Nous ne nous intéressons pas aux détails du processus, et en particulier à la façon dont l'individu change de vitesse plus ou moins progressivement.

\item Cette fois-ci, la présence de trois corps permet d'organiser le processus pour qu'il se déroule de façon élastique, avec conservation de l'énergie cinétique.\begin{eqnarray*} v\left(M+m\right)+M\left(v+\delta v\right) & =\vphantom{b^b} & MV+\left(M+m\right)\left(V+\delta V\right)\\
{\left(M+m\right)v^{2}+M\left(v+\delta v\right)^{2}}^\vphantom{b} & =\vphantom{b^b} & {MV^{2}+\left(M+m\right)\left(V+\delta V\right)^{2}}^\vphantom{b}\end{eqnarray*} Ce qui conduit à deux solutions. L'échange des vitesses $V=v+\delta v,\:\delta V=-\delta v$ est possible, mais n'est pas raccordable en $M\rightarrow\infty$. L'autre solution est~:\[ V=v-{\dfrac{m}{2\, M+m}\delta v}^{\vphantom{Q}} ,\;\delta V=\delta v\] autrement dit ralentissement, d'une même quantité, de chacune des deux échelles.


\item Si l'on calcule les variations d'énergie cinétique, on trouve (0= le gymnaste, 1,2= les échelles)~:\begin{eqnarray*} \Delta W_{0} & =\vphantom{b^b} & { \left(\frac{1}{2}m\left(\delta v\right)^{2}+m\, v\,\delta v\right)+\left(-\frac{1}{2}\, v\,\delta v-\frac{1}{2}\,\left(\delta v\right)^{2}\right)\frac{m^{2}}{M}}^\vphantom{Q}
\\ \Delta W_{1} & =\vphantom{b^b} &
{\left(\qquad\qquad\:-\frac{1}{2}m\, v\,\delta v\right)+\left(\frac{1}{4}\, v\,\delta v+\frac{1}{8}\,\left(\delta v\right)^{2}\right)\frac{m^{2}}{M}}^\vphantom{Q}\\ \Delta W_{2} & =\vphantom{b^b} &
{\left(-\frac{1}{2}m\left(\delta v\right)^{2}-\frac{1}{2}m\, v\,\delta v\right)+\left(\frac{1}{4}\, v\,\delta v+\frac{3}{8}\,\left(\delta v\right)^{2}\right)\frac{m^{2}}{M}}^\vphantom{Q} \end{eqnarray*} Non seulement l'énergie cinétique d'entraînement (le terme $m\, v\,\delta v$) provient des échelles, mais il en est de même pour l'énergie cinétique de variation de vitesse (le terme ${\frac{1}{2}\, m\,\left(\delta v\right)^{2} }^\vphantom{b}$). Aucune partie de cette énergie ne trouve sa source dans une prétendue consommation de ressources internes (prendre un train en marche ne fait pas maigrir).


\item Prenons un exemple, avec 8 échelles, ayant des vitesses $0,10,20,...,70\vphantom{b^b}$, une masse chacune $M=500$ et un individu de masse $m=50$. Sous l'hypothèse de mouvements élastiques, les vitesses finales sont~:\[ \begin{array}{r} -0.47619\\ 9.02494\\ 19.00119\\ 29.00006\\ 39.00000\\ 49.00000\\ 59.00000\\ 69.50000\end{array}\] tandis que les transferts sont~:\[ \begin{array}{ccrr} \# & & \Delta impulsion & \Delta energie\\ 1 & & -238.09524 & 56.68934\\ 2 & & -487.52834 & -4637.59956\\ 3 & & -499.40611 & -9738.71577\\ 4 & & -499.97172 & -14749.17987\\ 5 & & -499.99865 & -19749.94748\\ 6 & & -499.99994 & -24749.99686\\ 7 & & -500.00000 & -29749.99982\\ 8 & & -250.00000 & -17437.49999\\ bilan & & 3475.00000 & 120756.25000\end{array}\] On remarquera que même les transferts d'impulsion ne se comportent pas "comme on pourrait l'imaginer en l'absence de toute réflexion". Ce n'est qu'au bout de quelques étapes que le transfert d'impulsion se stabilise autour de $50\times10\vphantom{b^b}$, et il en est ainsi parce que l'échelle de départ du prochain saut a suffisamment ralenti par rapport à sa vitesse initiale pour que le saut de vitesse soit "à la bonne valeur" qui, ici, est $11$.

\item En résumé: l'énergie cinétique ne se conserve pas, sauf dans les cas où elle se conserve. Et alors, ça madame, c'est du paradoxe de premier choix. \end{enumerate}

Cordialement, Pierre.

@JLT merci beaucoup

@pldx + rappels du paradoxe et précisions:

\begin{enumerate}


\item Faut-il préciser que quand les gens parlent de conservation de $E=\frac{1}{2}mv^2$ , c'est juste un code pour aller plus vite et ne pas faire une phrase complète et longue? Le rappel du calcul par JLT le montre bien puisqu'il fait bien apparaitre l'énergie potentielle! Brocarder les quelques personnes qui utilisent cette abréviation n'est pas très courtois. Je traduis la longue longue phrase à laquelle elle se substitue: c'est quoi déjà la démonstration du fait que $E=\frac{1}{2}mv^2$ est la bonne formule dans le long chapitre de physique classique, option mécanique, qui attribue à la grandeur énergie une importance fondamentale à propos de laquelle d'ailleurs, il est donné une démonstration à partir de certaines hypothèses quil y a une loi de conservation de l'énergie. Heureusement qu'on la recopie pas à chaque fois.

\item J'ai vraiment eu du mal à capter la dimension du $\sum (\frac{1}{2}mv^2 - V.unedistance$ dans ta formule JLT, car je dérivais par rapport au temps le potentiel alors qu'une force est une dérivée du potentiel par rapport à l'espace (Du coup l'unité de potentiel est bien une unité d'énergie)

\item Voici un pari dont il est impossible de rêver mieux: on appelle énergie potentielle le défaut de conservation d'énergie cinétique dans une histoires de particules, en prenant l'énergie de chaque particule $E=\frac{1}{2}mv^2$. Théorème : il y a conservation de l'énergie (en appelant énergie la somme de l'énergie potentielle et de l'énergie cinétique). On ne peut rêver meilleur pari. C'est un peu ce que je disais au post http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,768484,768623#msg-768623 en parlant de tableau comptable. Dans un tabelau comptable si les deux colonnes ne sont pas égales on ajoute une case différence des deux colonnes dans celle de droite par convention et on obtient une égalité garantie des tableaux comptables

\item la question est: est-ce que dans le théorème rappelé par JLT il y a un peu plus? Apparemment, il semble qu'il y a une collection très très large d'histoires de multiparticules (et apparemment ce sont celles qui comptent) où le paramètre défaut de conservation de l'énergie cinétique est une fonction qui ne dépend que des positions des particules (autrement dit, ni des instants, ni du répère (à une constante près)), et même mieux c'est une fonction qui est une somme de fonctions de deux variables (une variable par particule). Dans cette collection très large il y a toutes les situations où on a une ``action-réaction'' , ie la force exercée par A sur B est le vecteur opposé (et pointé vers A?) du vecteur de la force exercée par B sur A (Et où les fonctions sont continues et ne dépendent que de la distance entre les deux particules?)


\item pldx: évoquer le second principe de la thermodynamique ou la relativité comme tu l'as fait me parait ``surjoué'' dans un contexte où à la rigueur on pourrait imaginer qu'on traite une question dans la physique de 1820 (donc même avant Carnot). Le fait même que tu utilises l'expression cette énergie cinétique disparue est passée quelque part montre que tu tombes dans ta propre dénonciation, à savoir l'envie de supposer une conservation. Prenons par exemple $\sum 54,5.m^2.2^v$ et appelons ça onergie. Prenons des histoires où ça varie. On peut toujours (comme en comptabilité) appeler ``onergie potentielle'' le défaut de conservation et dire ``il est passé quelque part'', mais bon on le fait pas car il y a quand-même des raisons qui justement sont ici candidement en question

\item Je rappelle quand-même le paradoxe pour ne pas donner l'illusion que pldx (que malgré sa discourtoisie, je remercie des détails nombreux qu'il a développé) a apporté un élément nouveau à sa résolution candide-correct: on dispose d'un vaisseau mère très grand très lourd et très équipé et on se place dans un repère où il est immobile. On a un autre vaisseau X (plus léger mais lourd quand-même) très loin de lui et se dirigeant en ligne droite vers le vaisseau mère (à une vitesse quasi-nulle qu'on négligera). On est dans un monde classique qui ressemble au nôtre à ceci près que X peut appeler le père Noel (ou Dieu si vous voulez) et troquer de l'énergie de sa pile contre de l'énergie cinétique. (Ce faisant, on respecte le principe de conservation). Le prix accepté par Dieu est constant, et le monde est isotropique (La réponse de Dieu est indépendante du répère Galiléen où X adresse sa demande). Le vaisseau X et le vaisseau mère font partie d'une même civilisation. Le vaisseau mère accepte de rembourser de l'énergie pile à X à condition qu'il lui en fournisse autant de toute autre manière de son choix. (On se fiche complètement pour l'heure des nouvelles physique ou même du second principe de la thermodynamique). Voici une histoire paramétrée par un entier n: le vaiseau x appelle toute les heures Dieu pour troquer une quantité Q d'énergie de sa pile contre une augmentation (progressive ou non, Dieu a le choix) de 100 m/s de sa vitesse. A chaque appel, il se voit dans un repère qui pour lui est immobile et après satisfaction de la demande, dans ledit repère il va à 100m/s. Dans le repère du vaisseau mère sa vitesse a augmenté de 100m/s. Il fait ça n fois et paie donc n.Q joules à Dieu (qui sont retirés de sa pile). A l'approche du vaisseau mère, il va s'insérer (en ligne droite) dans un piston-dynamo qui va extirper son énergie cinétique et alimenter une dynamo que le vaisseau-mère considèrera comme un paiement en énergie digne d'être remboursé en rechargeant la pile de X. L'énergie cinétique donnée par la formule $E=\frac{1}{2}mv^2$ est ici une énergie égale à une constante $E$ multipliée par $n^2$. Si $n$ est assez grand, le gain qui vient de nulle part (à part le mariage de Dieu avec la formule magique $E=\frac{1}{2}mv^2$ ) est $n^2\times E - n\times Q$.

\item Cette version du paradoxe a le mérite d'exhiber sa propre faiblesse. L'hypothèse fausse (par l'académisme) n'a pas besoin d'être cherchée: c'est le recours au père Noel (ou à Dieu, mot qui était plus rapide à taper). Je n'ai pas pris en compte le recul infligé par le vaisseau X au vaisseau mère . J'ignore si ce recul a un rôle essentiel ou non. La réponse de JLT de ce matin à propos des grains de sable semble avoir accepté le rôle mineur joué par la non prise en compte de ce recul. Cette version a aussi le mérite (le prix payée est le recours au père Noel) de mettre en vedette la formule $E=\frac{1}{2}mv^2$ (qui n'est pas compatible avec $nQ$)

\item J'espère que cette version (qui met en conflit plusieurs hypothèses claires de manière explicite) permettra de voir où commence et où s'arrête la validité du principe de la conservation de l'énergie. Il s'arrête manifestement AVANT le recours au père Noel, mais la question est d'arriver à décrire ``où'' sans trop tomber dans des considérations trop savantes (si c'est possible, je n'en sais rien, je voulais juste retaper une version générique du paradoxe pour éviter qu'on ne focalise trop sur la version ``échelles'' qui a bien trop de défaut pour mettre en vedette la subtantifique moelle purement paradoxale de cette contine générique.

\item Comme promis, je me contente (ce n'est d'ailleurs pour ce fil que je me suis engagé à ne pas intervenir) de rappeler des détails neutres ``autour'' du pdf promis ou ``des versions'' que j'essaie de rendre les plus saillantes possibles. Je ne donnerai pas mon avis ou ne réagirai pas à une débat ``pour ou contre'' telle réponse (je suis de toute façon dans le réel bien plus proche du candide que je simule que des physiciens aguerris pour que ne soit accordé le moindre crédit à quelque argument non déductif que je produirai)

\end{enumerate}

Bonsoir,

Après le vaisseau qui ne peut avancer puisque le centre de masse du système est immobile (!), voici l'énergie potentielle définie comme la variation d'énergie cinétique !

Application : lors des crash tests des constructeurs automobiles, l'annulation de l'énergie cinétique fait que le tas de ferraille obtenu est bourré d'énergie potentielle...

Eh ben !

@GG Je n'ai pas compris ton analogie, en fait. Est-ce que tu as lu les deux fils? La différence importante là est que "c'est argumenté" et même "vrai": (pendant un temps, certes, forcément fini, une fusée (par exemple qui éjecte du gaz pour se mouvoir) va avoir un rapport constant entre son accélération et sa "puissance"**? (Voir réponse de JLT face aux grains de sable)

@Félix: passe le film du crash-test à l'envers. Il existe effectivement tout un tas de dénominations, dont je ne suis pas spécialiste, dans les tableaux comptables énergétiques ("cinétique", "potentielle", "quantité de chaleur", etc). Si je comprends ton post, tu nous informes qu'on n'appelle pas "énergie potentielle" la réunion de toutes celles qui ne sont pas cinétiques, merci pour cette précision de vocabulaire, mais comme à pldx, je te dis qu'on est dans un contexte précis et prend des raccourcis de vocabulaire: présentement le terme "énergie potentielle" a été utilisé uniquement en écho au théorème purement "comptable" rappelé par JLT, qui évoquait les forces qui dérivent d'un potentiel, et nulle part ailleurs, afin de souligner la similitude avec la démarche comptable (point3 de mon précédent post). Question: connait-on un ordre de grandeur de la répartition des proportions entre l'énergie dissipée dans la féraille, les murs, etc et celle envoyée dans le recul de la planète lors d'un crash test? (Juste un ordre de grandeur, of course)

** c'est à dire que tant que la perte de masse de gaz est négligeable devant le poids de la fusée + gaz restant dans ses réserves il lui en coute une consommation à peu près constante d'énergie par gain d'une unité de vitesse (sauf erreur de ma part)?

Moi je me fais moderer quand je suis infiniment moins cassant que ca. Peut on rester courtois? Tous les details sont largement presents dans les deux fils et il n y a pas de confusion possible ni de "variation" de vocabulaire les participants de bonne foi ne s y sont pas trompes et ont argumente. Que reproches tu au raccourci que tu denonces? (Note que je ne veux pas participer au debat sur le fond comme dit, mais tu parles des crash tests puis tu cries alors que je t ai pourtant suggere de passer le fim d un crash test a l envers si tu avais du mal, a l endroit, a voir l aventure d un ressort. J aurais pu ne meme pas preciser ou avoir la politesse de te rappeler ces anodines histoires de raccourcis)*****. Peut etre peux tu poster les equations completes dun crash test a l envers et dire ce que tu souhaitais souligner par ta remarque de peu de lignes?

***** je n ai utilise le mot que dans le point3 du post de remerciement a JLT pour mettre une image sur le calcul ou "par miracle" la difference d energie cinetique est compensee "comptablement" par un potentiel