distance entre deux matrices

doc · June 2011

Bonjour,
est-ce qu'on peut calculer la distance entre deux matrices?
Merci.

Amédé · June 2011

oui à condition de mettre une distance sur l'espace des matrices.

doc · June 2011

Mais à quoi la distance de deux matrices est égales?
Merci.

Tiky · June 2011

Bonsoir,

Il y a plusieurs distances possibles. Une infinité à vrai dire.
Si tu considères l'espace vectoriel $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$, tu peux prendre comme norme de $M = (m_{ij})$ : $$||M|| = \sup_{1 \leq i, j \leq n} |m_{ij}|
$$ Ou encore : $$
||M|| = \mathrm{tr}({}^t\!\bar{M}M)
$$ Ensuite la distance entre A et B est définie simplement comme la quantité : $d(A,B) = ||A-B||$.
Évidemment tu peux aussi prendre des distances qui ne sont pas issues d'une norme.

Amédé · June 2011

prenons: $A= \begin{pmatrix}
2&0\\
1&-3
\end{pmatrix}
$ et $B= \begin{pmatrix}
-4&1\\
2&5
\end{pmatrix}
$. On choisit par exemple $||A||=tr({}^tAA)$. Alors on calcule d'abord $A-B$ :
$$M=A-B= \begin{pmatrix}
6&-1\\
-1&-8
\end{pmatrix}
$$ On calcule le produit ${ }^tMM= \begin{pmatrix}
13&-14\\
-14&65
\end{pmatrix}
$ puis la trace qui fait $13+65=78$. La distance est donc $78$

[Ne pas mettre de \verb=\\= sur la dernière ligne d'un tableau, sinon LaTeX ajoute une ligne blanche.

AD]

GreginGre · June 2011

Tiky, ta deuxième distance n'en est pas une, il faut rajouter une racine carrée.

Tiky · June 2011

Oups, pourtant je m'étais relu. Amédé ne semble pas avoir vu la coquille

.
Pour la peine j'en donne une troisième :
$$|||M|||_p = \sup_{x \not = 0} \frac{||Mx||_p}{||x||_p}$$ où $||x||_p^p = \sum_{k=1}^n |x_k|^p$. $x_k$ désigne évidemment la k-ième cordonnée du vecteur $x$ dans la base canonique de $\mathbb{C}^n$.

Merci pour la correction GreginGre.