problème d'optimisation

Bonsoir,

comme $x^2+y^2=5$ est l'équation d'un cercle, tu peux facilement te ramener à la minimisation d'une fonction continue à une variable sur un compact.

Je ne vois pas trop ce que la topologie faible vient faire dans ce problème et comme ce n'est pas mon fort , je passe la main.

Bonne nuit,

Ton ensemble de contraintes K = {(x,y) / x² + y² = 5} est fermé borné (donc compact), mais il n'est guère convexe.
Est-tu sûr de ne pas avoir pris l'exercice N et la solution M avec N ≠ M ? 8-)

Bien cordialement.

porquoi n'est guére convexe si surement convexe puisque: Dans un espace vectoriel normé (réel ou complexe), toute boule est convexe, qu'il s'agisse d'une boule ouverte ou d'une boule fermée.B(0;racine de 5)

Bonjour

Essaie la méthode des multiplicateurs de Lagrange. Une condition nécessaire est qu'il existe des réels $(\ell_{i})_{1 \leq i \leq n}$ ici $n=2$
$$df_{a}=\sum_{i=1}^{n}{\ell_{i}F'_{i}(a)}$$.
Tu trouveras des points stationnaires (susceptible de rendre $f$ minimale ou maximale ou pas) mais il faut vérifier que tu as bien des extrema.

En fait j'ai regardé de plus près. Ton ensemble de contraintes est un cercle de rayon $\sqrt{5}$ dans le plan de côte $z=0$. C'est donc un fermé borné de $\mathbb{R}^{2}$. Ta fonction f(x,y) est continue donc elle admet forcément des extremas sur le domaine de contraintes. (fonction continue sur un compacte).
Tu appliques la méthode des multiplicateurs de Lagrange: il existe $l \in \mathbb{R}$ tel que: $\frac{\partial f}{\partial x}= l \frac{\partial F}{\partial x}$ et
$\frac{\partial f}{\partial y}= l \frac{\partial F}{\partial y}$ soit:
$x^{2}+y^{2}-5=0$ (contrainte) $1=2lx$ et $2=2ly$ tu trouves $l$ et tu trouves les points.

Bonjour,

La méthode de Gerard0 est très bien du point de vue géométrique.
Pour coller peut-être plus à ton cours, pose $L(x,y,\lambda)=x+2y+\lambda(x^2+y^2-5)$ le Lagrangien qui est bien de classe $C^2$ sans soucis. Ensuite, il faut résoudre le système $$\frac{\partial L}{\partial x}=0, \quad \frac{\partial L}{\partial y}=0, \quad \frac{\partial L}{\partial \lambda}=0.$$

Cela donne 2 points critiques (pour le Lagrangien) $A(x=-1, y=-2, \lambda=1/2)$ et $B(x=1, y=2, \lambda=-1/2)$.
Or la fonction à optimiser définie par $f(x,y)=x+2y$ est linéaire et le terme de contrainte $x^2+y^2-5$ est convexe (comme sommes de fonctions convexes par exemple).
Si $\lambda=1/2>0$ le Lagrangien est donc convexe en $(x,y)$, ainsi $A$ est un minimum global sous contrainte. \\
Si $\lambda=-1/2<0$ le Lagrangien est donc concave en $(x,y)$, ainsi $B$ est un maximum global sous contrainte.

sk.
[7 modifs pour arriver à taper un truc censé, aie]