problème d'optimisation
Titre initial : Etudier et resoudre un probléme Optimisation
[Le titre doit être court. Tu as tout le corps du message pour préciser ce qu'il y a à faire? AD]
Bonsoir tout le monde et merci d'avance pour toute aide :
Soit f : R² ---> R f(x,y)=x+2y Etudier et résoudre le problème (P) : min f(x,y) ; x²+y²=5
Je sais qu'on doit chercher l'unicité et l'existence et démontrer que f est continue ... et la convexité d'un ensemble ...
[Le titre doit être court. Tu as tout le corps du message pour préciser ce qu'il y a à faire? AD]
Bonsoir tout le monde et merci d'avance pour toute aide :
Soit f : R² ---> R f(x,y)=x+2y Etudier et résoudre le problème (P) : min f(x,y) ; x²+y²=5
Je sais qu'on doit chercher l'unicité et l'existence et démontrer que f est continue ... et la convexité d'un ensemble ...
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Réponses
comme $x^2+y^2=5$ est l'équation d'un cercle, tu peux facilement te ramener à la minimisation d'une fonction continue à une variable sur un compact.
R² est un esp.de Hilbert K=(x;y dans R²/ x²+y²=5) est convexe +fermé +borné
> faiblement fermé et que f est continue
mais j'ai rien compris la exactement la phrase faiblement fermé !!!!
merci
-
Ton ensemble de contraintes K = {(x,y) / x2 + y2 = 5} est fermé borné (donc compact), mais il n'est guère convexe.
Est-tu sûr de ne pas avoir pris l'exercice N et la solution M avec N ≠ M ? 8-)
Bien cordialement.
SVP est qu'il ya quelqu'un qui sait ou je peux trouver des exercices corrigés comme ce genre (resoudre et etudier un probléme "chercher l'existence et l'unicité par coércivité et convexité et methode de gradient ) et aussi s'il y a des examens corrigé d'optimisation non linéaire
merci
Essaie la méthode des multiplicateurs de Lagrange. Une condition nécessaire est qu'il existe des réels $(\ell_{i})_{1 \leq i \leq n}$ ici $n=2$
$$df_{a}=\sum_{i=1}^{n}{\ell_{i}F'_{i}(a)}$$.
Tu trouveras des points stationnaires (susceptible de rendre $f$ minimale ou maximale ou pas) mais il faut vérifier que tu as bien des extrema.
Pour vérifier ce que tu auras trouvé par les méthodes de ton cours, voila une présentation géométrique de ton problème :
Dans un repère orthonormé d'origine $O$, on considère le cercle $C$de centre $O$ et de rayon $\sqrt 5$, et les droites $D_a$ d'équations $x+2y=a$. Déterminer l'ensemble $I$ des valeurs de $a$ pour lesquelles $D_a$ coupe $C$, et le minimum $m$ de $I$. Montrer que la droite $D_m$ est tangente au cercle $C$ en un point $M$ tel que $\overrightarrow{OM}$ est orthogonal à toutes les droites $D_a$.
Cordialement.
Tu appliques la méthode des multiplicateurs de Lagrange: il existe $l \in \mathbb{R}$ tel que: $\frac{\partial f}{\partial x}= l \frac{\partial F}{\partial x}$ et
$\frac{\partial f}{\partial y}= l \frac{\partial F}{\partial y}$ soit:
$x^{2}+y^{2}-5=0$ (contrainte) $1=2lx$ et $2=2ly$ tu trouves $l$ et tu trouves les points.
$\nabla f=\lambda\nabla g$ et $g(x,y)=5$, où $f(x,y)=x+2y$ et $g(x,y)=x^2+y^2$.
On trouve $(1,2)=\lambda(2x,2y)$ et $x^2+y^2=5$, i.e. $y=2x$ et $x^2+y^2=5$. Finalement $(x,y)=(-1,-2)$ ou $(x,y)=(1,2)$
Le premier point correspond au minimum de $f$ et le deuxième au maximum de $f$ sur la sphère $x^2+y^2=5$.
Sinon, puisqu'on est dans la sphère, on peut utiliser les coordonnées polaires. On peut prendre $x=\sqrt{5}\cos\theta$ et $y=\sqrt{5}\sin\theta$.
$f=\sqrt{5}(\cos\theta+2\sin\theta)$ et on essayera de minimiser cette nouvelle fonction d'une variable $\theta$.
La méthode de Gerard0 est très bien du point de vue géométrique.
Pour coller peut-être plus à ton cours, pose $L(x,y,\lambda)=x+2y+\lambda(x^2+y^2-5)$ le Lagrangien qui est bien de classe $C^2$ sans soucis. Ensuite, il faut résoudre le système $$\frac{\partial L}{\partial x}=0, \quad \frac{\partial L}{\partial y}=0, \quad \frac{\partial L}{\partial \lambda}=0.$$
Cela donne 2 points critiques (pour le Lagrangien) $A(x=-1, y=-2, \lambda=1/2)$ et $B(x=1, y=2, \lambda=-1/2)$.
Or la fonction à optimiser définie par $f(x,y)=x+2y$ est linéaire et le terme de contrainte $x^2+y^2-5$ est convexe (comme sommes de fonctions convexes par exemple).
Si $\lambda=1/2>0$ le Lagrangien est donc convexe en $(x,y)$, ainsi $A$ est un minimum global sous contrainte. \\
Si $\lambda=-1/2<0$ le Lagrangien est donc concave en $(x,y)$, ainsi $B$ est un maximum global sous contrainte.
sk.
[7 modifs pour arriver à taper un truc censé, aie]
On a aussi la mauvaise habitude en optimisation convexe de dire aussi que, par exemple, la fonction définie par $f(x,y)=x+3$ est linéaire une constante "ne comptant pas" en convexité. C'est écrit dans des tas de bouquins, et ça embrouille parfois les étudiants lorsqu'ils font l'algèbre linéaire en même temps et dire au prof d'algèbre que l'application $f$ définie $f(x)=x+3$ est un endomorphisme de $\mathbb{R}$ pose quelques soucis...
Par contre, c'est marrant, l'exo est ultra simple (on fait ce genre de truc en L1 éco par exemple ou L1 MASS) et semble venu d'un cours où la théorie est archi-poussée.
sk.