fonction lipschitzienne

Bonne nuit,

Personnellement, j'ai une solution que je crois juste mais qui est assez compliquée, une autre solution -simple- consistant à dire que c'est évident, et enfin une solution assez simple mais que je tiens pour fausse. C'est bien la peine que je me ruine en bouquins !
Si quelqu'un donnait une solution à la fois simple et juste, je serais bien content.
Nota. Jusqu'à z = ax + (1 - a)y, a € ]0,1[ et f(z) = bx + (1 - b)y pour un b > 0 (strict convexe), ça va, c'est après que ça se gâte.
Merci d'avance.

Bien cordialement.

Sauf erreur, on peut commencer par l'indication de C. Pluquaire: $z=ax+(1-a)y$ et $f(z)=bx+(1-b)y$; de plus,

$|| f(z)-x|| \leq || z-x||$ et $|| f(z)-y|| \leq || z-y||$

On remplace et on obtient:

$(1-b)||x-y|| \leq (1-a)||y-x||$ et $b||x-y|| \leq a||x-y||$

Ainsi:

$1-b \leq 1-a$ et $b\leq a$

On conclut donc que $a=b$.

@l

Il n'est pas dit que l'application $f$ est linéaire ou affine donc il n'est pas évident a priori que $f(z)$ soit de la forme $f(z) = bx + (1-b)y$. En revanche, l'indication d'egoroffski est juste.

Soient $x,y$ des points fixes et $z = \lambda x + (1-\lambda)y$ sur le segment. On a $|f(z)-x| = |f(z) - f(x)| \leq |z-x| = r_x$ et $|f(z)-y| = |f(z)-f(y)| \leq |z-y| = r_y$. Ainsi $f(z)$ appartient à l'intersection de boules de centres $x$ et $y$ dont la somme des rayons est la distance $r_x+r_y = |x-y|$. Il faut montrer qu'elle est réduite à un point. On peut imiter la démonstration du théorème de projection sur une convexe fermé dans un Hilbert. Pour $x'\in \bar{B}(x,r_x)$, on a $$
|x'-y| = |x'-x+x-y| \geq |x-y| - |x'-x| \geq r_y
$$ Et cette distance minimale est atteinte pour $x' = z$ et $f(z)$. On considère l'identité du parallélogramme : $$
2|z-y|^2 + 2|f(z)-y|^2 = |z+f(z)-2y|^2 + |f(z)-z|^2 = 4\Big|\frac{z+f(z)}{2}-y\Big|^2 + |f(z)-z|^2
$$ Le milieu $\frac{z+f(z)}{2}$ appartient encore à la boule car celle-ci est convexe donc $$
|f(z)-z|^2 = 2|z-y|^2 + 2|f(z)-y|^2 - 4\Big|\frac{z+f(z)}{2}-y\Big|^2 \leq 2r_y^2 + 2r_y^2 - 4r_y^2 = 0
$$d'où $f(z) = z$.

Que le minimum soit atteint pour $x'=z$, je comprends , mais pourquoi le minimum est-il aussi atteint pour $x'=f(z)$ ?

Qu'est-ce-que c'est $d_{x}$ et $d_{y}$ ? Je ne vois pas la définition.

Combien obtient-on la dernière égalité ?

Apparemment norme de $\frac{f(z)+z}{2}-y$ est supérieur ou égal à $r_{y}$ si je me réfère aux calculs ?

Je dis cela car ensuite avec le signe $-$ devant, on majore par $-4*r_{y}^{2}$

Je ne saisis pas.

J'ai relu plusieurs fois la démo, et j'ai l'impression que le fait que la distance minimum $r_{y}$ en $z$ et $f'(z)$ (donc l'égalité) n'est pas utilisé après(était-ce juste une remarque ?). Puisque dans tous les calculs qui suivent, des inégalités suffisent et on ne sert pas de l'égalité dûe au fait que cette distance est atteinte. Me trompe-je ?

Bonne nuit,

@ afk: le fait que f(z) = bx + (1 - b)y ne provient pas d'une propriété ajoutée de f mais de la stricte convexité de E: llX + Yll = llXll + llYll ==> Y = kX pour k ≥ 0.
Il en est de même de la propriété d'egorov: unicité du point de tangence (sic) de deux boules.
D'ailleurs, si E n'est pas (SC), l'ensemble des points fixes n'est pas convexe en général (contre-exemple dans lR² avec des boules carrées).
Donc, il faut de toute façon "caser" (SC) quelque part ! Tu peux modifier légèrement ta preuve hilbertienne pour qu'elle passe aux (SC).

Bien cordialement.