identification de la limite d'une edp perturbée
Bonjour,
Je lis un papier corsé et mes idées restent floues sur quelques passages. Je présente d'abord le problème puis je vous donne mon interprétation.
Dans un domaine $D_1:= (-Y,Y) \times (-\bar{y}_1, \bar{y}_1)$ (le nom des variables est $(z,y)$), l'auteur recherche une solution $L^\infty$ au problème suivant:
\[
\begin{array}{rcll}
-\frac{1}{2} \eta_{yy} + (c_0 y + k z) \eta_y - y \eta_z &=& 0 &\mbox{ dans } D_1\\[2mm]
\eta(Y,y)&=&\eta_Y I(y,\bar{y}_1) + \phi(Y)I(0,y) &\mbox{ dans } z=Y,\ 0<y<\bar{y}_1\\[2mm]
\eta(-Y,y)&=&\eta_{-Y} I(-\bar{y}_1,y) &\mbox{ dans } z=-Y,\ -\bar{y}_1<y<0\\[2mm]
\eta(z,\bar{y}_1)&=&\phi(z) &\in L^\infty(-Y,Y) \\[2mm]
\eta(z,-\bar{y}_1)&=&0
\end{array}
\]
$\eta_Y \mbox{ et } \eta_{-Y} \mbox{ sont des constantes et la fonction } I (.,.) \mbox{ ne pose pas de problème}$
La première étape c'est la régularisation du problème en rajoutant un $\frac{\epsilon}{2} \eta_{zz}$. Ainsi, pour tout $\epsilon >0$
l'auteur trouve une solution $\eta^\epsilon$ dans l'ensemble
\[
K:=\lbrace v \in H^1(D_1): \left\{ \begin{array}{l} v(z,\bar{y}_1) = \phi(z) \\[2mm] v(z, -\bar{y}_1)=0 \\[2mm] \end{array} \right. ; \left\{ \begin{array}{l} v(Y,y)=v_Y I(y,\bar{y}_1) + \phi(Y)I(0,y) \mbox{ dans } z=Y, 0<y<\bar{y}_1\\[2mm]
|v_Y | \leq \| \phi \|_{L^\infty}\\[2mm] v(-Y,y)=v_{-Y} I(-\bar{y}_1,y) \mbox{ dans } z=-Y, -\bar{y}_1<y<0\\[2mm] |v_{-Y} | \leq \| \phi \|_{L^\infty}\\[2mm] \end{array} \right. \rbrace
\]
au problème suivant
\[
\begin{array}{rcll}
-\frac{\epsilon}{2} \eta_{zz}^\epsilon -\frac{1}{2} \eta_{yy}^\epsilon + (c_0 y + k z) \eta_y^\epsilon - y \eta_z^\epsilon &=& 0 &\mbox{ dans } D_1\\[2mm]
\eta^\epsilon(Y,y)&=&\eta_Y^\epsilon I(y,\bar{y}_1) + \phi(Y)I(0,y) &\mbox{ dans } z=Y, \ 0<y<\bar{y}_1\\[2mm]
\eta^\epsilon(-Y,y)&=&\eta_{-Y}^\epsilon I(-\bar{y}_1,y) &\mbox{ pour } z=-Y, \ -\bar{y}_1<y<0\\[2mm]
\eta_z^\epsilon(Y,y)&=&0 &\mbox{ pour } z=Y,\ -\bar{y}_1<y<0\\[2mm]
\eta_z^\epsilon(-Y,y)&=&0 &\mbox{ pour } z=-Y,\ 0<y<\bar{y}_1\\[2mm]
\eta^\epsilon(z,\bar{y}_1)&=&\phi(z) &\in L^\infty(-Y,Y) \\[2mm]
\eta^\epsilon(z,-\bar{y}_1)&=&0
\end{array}
\]
$\eta_Y^\epsilon \mbox{ et } \eta_{-Y}^\epsilon \mbox{ sont des constantes et la fonction } I (.,.) \mbox{ ne pose pas de problème}$
Notation : pour $\delta >0, D_{1\delta}:=(-Y,Y) \times (-\bar{y}_1,-\delta) \cup (-Y,Y) \times (\delta, \bar{y}_1)$
Les estimations $L^2$ sur les dérivées partielles de $\eta^\epsilon$ permettent de déduire (qu'à extraction de sous suite près)
\[
\begin{array}{l}
\eta^\epsilon \to \eta \mbox{ dans } L^2(-Y,Y; H^1(-\bar{y}_1,\bar{y}_1)) \mbox{ faiblement }\\[2mm]
\eta_Y^\epsilon \to \eta_Y \mbox{ et } \eta_{-Y}^\epsilon \to \eta_{-Y} \mbox{ (suites réelles) } \\[5mm]
\eta_z^\epsilon \to \eta_z \mbox{ dans } L^2(D_{1\delta}) \mbox{ faiblement }, \forall \delta>0.
\end{array}
\]
On obtient alors que
\[
\eta \in L^2(D_1) \quad ; \quad \eta_y \in L^2(D_1) \quad ; \quad \eta_z \in L^2(D_{1\delta}), \quad \forall \delta >0
\]
On a aussi $\| \eta \|_{L^\infty} \leq \| \phi \|_{L^\infty}$.
Selon l'auteur la limite satisfait l'edp désirée (la première en haut) (bien sur je le crois), mais ce n'est pas complètement évident.
Alors voici mon interprétation :
\begin{enumerate}
\item Sur le bord $\lbrace z=Y, 0< y < \bar{y}_1 \rbrace$, on a
\[
\| \eta^\epsilon(Y,y) - \eta(Y,y) \|_{H^1((0,\bar{y}_1))} = \vert \eta^\epsilon(Y,0) - \eta(Y,0) \vert \| I(y,\bar{y}_1) \|_{H^1(0,\bar{y}_1)} \to 0
\]
sur le bord $\lbrace z=-Y, -\bar{y}_1<y<0 \rbrace$, on a
\[
\| \eta^\epsilon(-Y,y) - \eta(-Y,y) \|_{H^1((0,\bar{y}_1))} = \vert \eta^\epsilon(-Y,0) - \eta(-Y,0) \vert \| I(y,\bar{y}_1) \|_{H^1(0,\bar{y}_1)} \to 0
\]
J'ai ce qu'il me faut sur le bord, mais ça me dérange un peu parce que ça me semble déconnecté de l'intérieur...
\item $\forall \delta>0,\ \eta^\epsilon \in H_\delta$, avec
\[
H_\delta:= \lbrace \psi \in H^1(D_{1\delta}) \vert \psi(z,\bar{y}_1)=\phi(z) \mbox{ et } \psi(z,-\bar{y}_1) =0 \rbrace
\]
On remarque d'abord que $H_\delta$ est fermé fort et convexe dans $H^1(D_{1\delta})$ donc c'est un fermé faible puis que les convergences précédentes impliquent $\eta^\epsilon$ converge $H^1(D_{1\delta})$ faiblement donc la limite satisfait
\[
\eta(z,\bar{y}_1)=\phi(z) \mbox{ et } \eta(z,-\bar{y}_1) =0
\]
\item Je termine avec l'intérieur :
Pour toute fonction $\phi \in H^1(D_1)$ telles que $\phi(\pm Y,y)=0$ pour $\pm y>0$ et $\phi(z,\pm \bar{y}_1)=0$, on a
\[
\frac{\epsilon}{2} \int_{D_1} \eta_z^\epsilon \phi_z + \frac{1}{2} \int_{D_1} \eta_y^\epsilon \phi_y + \int_{D_1} (c_0y + kz) \eta_y^\epsilon \phi - \int_{D_1} y \eta_z^\epsilon = 0
\]
Je faire tendre $\epsilon \to 0$ et j'obtiens grâce aux estimations que :
\[
\frac{1}{2} \int_{D_1} \eta_y \phi_y + \int_{D_1} (c_0y + kz) \eta_y \phi = \lim_{\epsilon \to 0} \int_{D_1} y \eta_z^\epsilon
\]
On ne sait pas si $y \eta_z^\epsilon$ est $L^1_{loc}$ mais $\lim\limits_{\epsilon \to 0} \eta^\epsilon = \eta$ au sens des distributions donc $\lim\limits_{\epsilon \to 0} \eta_z^\epsilon = \eta_z$ au sens des distributions et donc au final j'ai :
\[
-\frac{1}{2} \eta_{yy} + (c_0 y + k z) \eta_y - y \eta_z = 0 \mbox{ dans } D_1 \mbox{ au sens des distributions }
\]
\end{enumerate}
Si vous êtes arrivé jusqu'ici je vous en remercie. Est-ce que mon interprétation vous semble correcte ?
Ce qui se cache derrière toute cette machinerie c'est la première étape d'une technique edp pour l'étude de l'ergodicité de processus stochastiques.
[AD: Ai-je le droit de mettre le papier en ligne ?]
[C'est plutôt aux auteurs du papier qu'il faut demander :S AD]
Merci,
kek
Je lis un papier corsé et mes idées restent floues sur quelques passages. Je présente d'abord le problème puis je vous donne mon interprétation.
Dans un domaine $D_1:= (-Y,Y) \times (-\bar{y}_1, \bar{y}_1)$ (le nom des variables est $(z,y)$), l'auteur recherche une solution $L^\infty$ au problème suivant:
\[
\begin{array}{rcll}
-\frac{1}{2} \eta_{yy} + (c_0 y + k z) \eta_y - y \eta_z &=& 0 &\mbox{ dans } D_1\\[2mm]
\eta(Y,y)&=&\eta_Y I(y,\bar{y}_1) + \phi(Y)I(0,y) &\mbox{ dans } z=Y,\ 0<y<\bar{y}_1\\[2mm]
\eta(-Y,y)&=&\eta_{-Y} I(-\bar{y}_1,y) &\mbox{ dans } z=-Y,\ -\bar{y}_1<y<0\\[2mm]
\eta(z,\bar{y}_1)&=&\phi(z) &\in L^\infty(-Y,Y) \\[2mm]
\eta(z,-\bar{y}_1)&=&0
\end{array}
\]
$\eta_Y \mbox{ et } \eta_{-Y} \mbox{ sont des constantes et la fonction } I (.,.) \mbox{ ne pose pas de problème}$
La première étape c'est la régularisation du problème en rajoutant un $\frac{\epsilon}{2} \eta_{zz}$. Ainsi, pour tout $\epsilon >0$
l'auteur trouve une solution $\eta^\epsilon$ dans l'ensemble
\[
K:=\lbrace v \in H^1(D_1): \left\{ \begin{array}{l} v(z,\bar{y}_1) = \phi(z) \\[2mm] v(z, -\bar{y}_1)=0 \\[2mm] \end{array} \right. ; \left\{ \begin{array}{l} v(Y,y)=v_Y I(y,\bar{y}_1) + \phi(Y)I(0,y) \mbox{ dans } z=Y, 0<y<\bar{y}_1\\[2mm]
|v_Y | \leq \| \phi \|_{L^\infty}\\[2mm] v(-Y,y)=v_{-Y} I(-\bar{y}_1,y) \mbox{ dans } z=-Y, -\bar{y}_1<y<0\\[2mm] |v_{-Y} | \leq \| \phi \|_{L^\infty}\\[2mm] \end{array} \right. \rbrace
\]
au problème suivant
\[
\begin{array}{rcll}
-\frac{\epsilon}{2} \eta_{zz}^\epsilon -\frac{1}{2} \eta_{yy}^\epsilon + (c_0 y + k z) \eta_y^\epsilon - y \eta_z^\epsilon &=& 0 &\mbox{ dans } D_1\\[2mm]
\eta^\epsilon(Y,y)&=&\eta_Y^\epsilon I(y,\bar{y}_1) + \phi(Y)I(0,y) &\mbox{ dans } z=Y, \ 0<y<\bar{y}_1\\[2mm]
\eta^\epsilon(-Y,y)&=&\eta_{-Y}^\epsilon I(-\bar{y}_1,y) &\mbox{ pour } z=-Y, \ -\bar{y}_1<y<0\\[2mm]
\eta_z^\epsilon(Y,y)&=&0 &\mbox{ pour } z=Y,\ -\bar{y}_1<y<0\\[2mm]
\eta_z^\epsilon(-Y,y)&=&0 &\mbox{ pour } z=-Y,\ 0<y<\bar{y}_1\\[2mm]
\eta^\epsilon(z,\bar{y}_1)&=&\phi(z) &\in L^\infty(-Y,Y) \\[2mm]
\eta^\epsilon(z,-\bar{y}_1)&=&0
\end{array}
\]
$\eta_Y^\epsilon \mbox{ et } \eta_{-Y}^\epsilon \mbox{ sont des constantes et la fonction } I (.,.) \mbox{ ne pose pas de problème}$
Notation : pour $\delta >0, D_{1\delta}:=(-Y,Y) \times (-\bar{y}_1,-\delta) \cup (-Y,Y) \times (\delta, \bar{y}_1)$
Les estimations $L^2$ sur les dérivées partielles de $\eta^\epsilon$ permettent de déduire (qu'à extraction de sous suite près)
\[
\begin{array}{l}
\eta^\epsilon \to \eta \mbox{ dans } L^2(-Y,Y; H^1(-\bar{y}_1,\bar{y}_1)) \mbox{ faiblement }\\[2mm]
\eta_Y^\epsilon \to \eta_Y \mbox{ et } \eta_{-Y}^\epsilon \to \eta_{-Y} \mbox{ (suites réelles) } \\[5mm]
\eta_z^\epsilon \to \eta_z \mbox{ dans } L^2(D_{1\delta}) \mbox{ faiblement }, \forall \delta>0.
\end{array}
\]
On obtient alors que
\[
\eta \in L^2(D_1) \quad ; \quad \eta_y \in L^2(D_1) \quad ; \quad \eta_z \in L^2(D_{1\delta}), \quad \forall \delta >0
\]
On a aussi $\| \eta \|_{L^\infty} \leq \| \phi \|_{L^\infty}$.
Selon l'auteur la limite satisfait l'edp désirée (la première en haut) (bien sur je le crois), mais ce n'est pas complètement évident.
Alors voici mon interprétation :
\begin{enumerate}
\item Sur le bord $\lbrace z=Y, 0< y < \bar{y}_1 \rbrace$, on a
\[
\| \eta^\epsilon(Y,y) - \eta(Y,y) \|_{H^1((0,\bar{y}_1))} = \vert \eta^\epsilon(Y,0) - \eta(Y,0) \vert \| I(y,\bar{y}_1) \|_{H^1(0,\bar{y}_1)} \to 0
\]
sur le bord $\lbrace z=-Y, -\bar{y}_1<y<0 \rbrace$, on a
\[
\| \eta^\epsilon(-Y,y) - \eta(-Y,y) \|_{H^1((0,\bar{y}_1))} = \vert \eta^\epsilon(-Y,0) - \eta(-Y,0) \vert \| I(y,\bar{y}_1) \|_{H^1(0,\bar{y}_1)} \to 0
\]
J'ai ce qu'il me faut sur le bord, mais ça me dérange un peu parce que ça me semble déconnecté de l'intérieur...
\item $\forall \delta>0,\ \eta^\epsilon \in H_\delta$, avec
\[
H_\delta:= \lbrace \psi \in H^1(D_{1\delta}) \vert \psi(z,\bar{y}_1)=\phi(z) \mbox{ et } \psi(z,-\bar{y}_1) =0 \rbrace
\]
On remarque d'abord que $H_\delta$ est fermé fort et convexe dans $H^1(D_{1\delta})$ donc c'est un fermé faible puis que les convergences précédentes impliquent $\eta^\epsilon$ converge $H^1(D_{1\delta})$ faiblement donc la limite satisfait
\[
\eta(z,\bar{y}_1)=\phi(z) \mbox{ et } \eta(z,-\bar{y}_1) =0
\]
\item Je termine avec l'intérieur :
Pour toute fonction $\phi \in H^1(D_1)$ telles que $\phi(\pm Y,y)=0$ pour $\pm y>0$ et $\phi(z,\pm \bar{y}_1)=0$, on a
\[
\frac{\epsilon}{2} \int_{D_1} \eta_z^\epsilon \phi_z + \frac{1}{2} \int_{D_1} \eta_y^\epsilon \phi_y + \int_{D_1} (c_0y + kz) \eta_y^\epsilon \phi - \int_{D_1} y \eta_z^\epsilon = 0
\]
Je faire tendre $\epsilon \to 0$ et j'obtiens grâce aux estimations que :
\[
\frac{1}{2} \int_{D_1} \eta_y \phi_y + \int_{D_1} (c_0y + kz) \eta_y \phi = \lim_{\epsilon \to 0} \int_{D_1} y \eta_z^\epsilon
\]
On ne sait pas si $y \eta_z^\epsilon$ est $L^1_{loc}$ mais $\lim\limits_{\epsilon \to 0} \eta^\epsilon = \eta$ au sens des distributions donc $\lim\limits_{\epsilon \to 0} \eta_z^\epsilon = \eta_z$ au sens des distributions et donc au final j'ai :
\[
-\frac{1}{2} \eta_{yy} + (c_0 y + k z) \eta_y - y \eta_z = 0 \mbox{ dans } D_1 \mbox{ au sens des distributions }
\]
\end{enumerate}
Si vous êtes arrivé jusqu'ici je vous en remercie. Est-ce que mon interprétation vous semble correcte ?
Ce qui se cache derrière toute cette machinerie c'est la première étape d'une technique edp pour l'étude de l'ergodicité de processus stochastiques.
[AD: Ai-je le droit de mettre le papier en ligne ?]
[C'est plutôt aux auteurs du papier qu'il faut demander :S AD]
Merci,
kek
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Réponses
Désolé, je n'ai pas le temps de regarder de manière détaillée, mais je pense qu'il n'y a pas de problème : pour faire vite, dès qu'une équation est linéaire, et qu'on a une suite qui converge pour une certaine norme d'espace fonctionnel, une telle convergence implique toujours la convergence au sens des distributions (je ne connais aucun exemple de convergence qui n'est pas plus fort que la convergence au sens des distribution... sauf la convergence simple presque partout - et dans les fait, l'inclusion continue d'un certain espace fonctionnelle normé dans l'espace des distribution peut toujours se prouver). Du coup, avec une telle approche, dans toute équation linéaire, on peut passer à la limite. Là où cela se corserait, c'est pour des EDP non linéaires.
Mais que se passe-t-il sur le bord, cela demande une certaine régularité ?
Les conditions de bord sont définies par des edo et la solution est presque-explicite. En effet, les constantes $\eta_{\pm Y}$ dépendent de la solution toute entière.
kek
voici la rectification bien sur,
Sur le bord $\lbrace z=Y, 0< y < \bar{y}_1 \rbrace$, on a
\[
\| \eta^\epsilon(Y,y) - \eta(Y,y) \|_{H^1(0,\bar{y}_1)} = \vert \eta^\epsilon(Y,0) - \eta(Y,0) \vert \| I(y,\bar{y}_1) \|_{H^1(0,\bar{y}_1)} \to 0
\]
sur le bord $\lbrace z=-Y, -\bar{y}_1<y<0 \rbrace$,
\[
\| \eta^\epsilon(-Y,y) - \eta(-Y,y) \|_{H^1(-\bar{y}_1,0)} = \vert \eta^\epsilon(-Y,0) - \eta(-Y,0) \vert \| I(-\bar{y}_1,y) \|_{H^1(-\bar{y}_1,0)} \to 0
\]
Merci,
kek