Fourier, convolution, Fubini basique
Bonjour
Dans ce fil il est interdit d'utiliser les versions $L^p$ de Fubini.
Je me place disons à un niveau maths spé ou CAPES. Et déjà là difficile de savoir quelles sont exactement les hypothèses au programme (elles semblent varier d'un ouvrage à un autre).
Je voudrais montrer que le nième coef de Fourier du produit de convolution de deux fonctions $2\pi$ périodiques continues par morceaux est le produit des nième coef de Fourier de chacune des fonctions:
$$c_n(f*g)=c_n(f).c_n(g)$$
Pour pouvoir appliquer la version de Fubini à ce niveau, je dois avoir la continuité de la fonction intégrée sur le pavé $[0,2\pi]\times[0,2\pi]$. Or je n'ai que la continuité par morceaux.
Comment écrire les choses proprement ?
Dans ce fil il est interdit d'utiliser les versions $L^p$ de Fubini.
Je me place disons à un niveau maths spé ou CAPES. Et déjà là difficile de savoir quelles sont exactement les hypothèses au programme (elles semblent varier d'un ouvrage à un autre).
Je voudrais montrer que le nième coef de Fourier du produit de convolution de deux fonctions $2\pi$ périodiques continues par morceaux est le produit des nième coef de Fourier de chacune des fonctions:
$$c_n(f*g)=c_n(f).c_n(g)$$
Pour pouvoir appliquer la version de Fubini à ce niveau, je dois avoir la continuité de la fonction intégrée sur le pavé $[0,2\pi]\times[0,2\pi]$. Or je n'ai que la continuité par morceaux.
Comment écrire les choses proprement ?
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Réponses
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oui ca a un sens car par définition c'est $ \frac{1}{2\pi} f_{|[0,2\pi]}*g$ ou $\frac{1}{2\pi} g_{|[0,2\pi]}*f$ et $L^1(\R)*L^{\infty}(\R)\subset C_0(\R)$
alors si on integre d'abord par rapport à u on aura exactement $c_n(f*g)$ sinon on aura $c_n(f).c_n(g)$
Tu appliques l'une des deux versions de Fubini que je trouve dans la littérature niveau Spé/ CAPES.
l'une fait appel à la continuité sur le pavé l'autre à l'intégrabilité sur le pavé au sens de Riemann.
a)Lequel de ces deux résultats est au programme de spé, de CAPES? Les deux?
Personnellement que ce soit dans le Gourdon (dernière édition), dans l'AUliac (prépa CAPES agreg interne), le SOROSINA je n'ai trouvé que la version avec hypothèse de continuité.
b)La version intégrable au sens de Riemann (que j'ai trouvé dans le Hauchecorne) est plus subtile car on doit rajouter l'intégrabilité de l'une des fonctions obtenues en fixant l'un des variables et ce pour toute valeur de la variable en question ce que tu n'as pas précisé.
c)Pour s'en sortir avec la continuité par morceau, réflexion faite je ne vois pas comment on peut y arriver
Pour s'en sortir avec la continuité par morceau , tu ecris
$[0,2\pi[=\bigcup_{i\in [0,N]}[u_i,u_{i+1}[$ et
$[0,2\pi[=\bigcup_{j\in [0,M]}[x_i,x_{i+1}[$ où $f$ est continue sur chaque $[u_i,u_{i+1}[$ et $g$ est continue sur chaque$[x_j,x_{j+1}[$ , on aura
$c_{n,i,j}(f*g)$ =$c_{n,i}(f).c_{n,j}(g)$ et sommer par la suite.