Fourier, convolution, Fubini basique

e=mc3
e=mc3
dans Analyse
Bonjour

Dans ce fil il est interdit d'utiliser les versions $L^p$ de Fubini.
Je me place disons à un niveau maths spé ou CAPES. Et déjà là difficile de savoir quelles sont exactement les hypothèses au programme (elles semblent varier d'un ouvrage à un autre).

Je voudrais montrer que le nième coef de Fourier du produit de convolution de deux fonctions $2\pi$ périodiques continues par morceaux est le produit des nième coef de Fourier de chacune des fonctions:
$$c_n(f*g)=c_n(f).c_n(g)$$
Pour pouvoir appliquer la version de Fubini à ce niveau, je dois avoir la continuité de la fonction intégrée sur le pavé $[0,2\pi]\times[0,2\pi]$. Or je n'ai que la continuité par morceaux.

Comment écrire les choses proprement ?

Réponses

  • Alban
    Alban
    Ca a toujours un sens de convoler des $2 \pi$ périodiques ??

    [La case LaTeX. :) AD]
  • Said Fubini
    Said Fubini
    Bonjour,

    oui ca a un sens car par définition c'est $ \frac{1}{2\pi} f_{|[0,2\pi]}*g$ ou $\frac{1}{2\pi} g_{|[0,2\pi]}*f$ et $L^1(\R)*L^{\infty}(\R)\subset C_0(\R)$
  • Said Fubini
    Said Fubini
    $(u,x) \longrightarrow \frac{1}{(2\pi)^2}f(u)g(x-u)e^{-inx}$ est Riemann-integrable sur le pavé $[0,2\pi]^2$ et on applique Fubini "basique"

    alors si on integre d'abord par rapport à u on aura exactement $c_n(f*g)$ sinon on aura $c_n(f).c_n(g)$
  • Alban
    Alban
    Ah ok :)
  • e=mc3
    e=mc3
    Said Fubini

    Tu appliques l'une des deux versions de Fubini que je trouve dans la littérature niveau Spé/ CAPES.

    l'une fait appel à la continuité sur le pavé l'autre à l'intégrabilité sur le pavé au sens de Riemann.

    a)Lequel de ces deux résultats est au programme de spé, de CAPES? Les deux?
    Personnellement que ce soit dans le Gourdon (dernière édition), dans l'AUliac (prépa CAPES agreg interne), le SOROSINA je n'ai trouvé que la version avec hypothèse de continuité.
    b)La version intégrable au sens de Riemann (que j'ai trouvé dans le Hauchecorne) est plus subtile car on doit rajouter l'intégrabilité de l'une des fonctions obtenues en fixant l'un des variables et ce pour toute valeur de la variable en question ce que tu n'as pas précisé.

    c)Pour s'en sortir avec la continuité par morceau, réflexion faite je ne vois pas comment on peut y arriver
  • Said Fubini
    Said Fubini
    Bonsoir,

    Pour s'en sortir avec la continuité par morceau , tu ecris
    $[0,2\pi[=\bigcup_{i\in [0,N]}[u_i,u_{i+1}[$ et
    $[0,2\pi[=\bigcup_{j\in [0,M]}[x_i,x_{i+1}[$ où $f$ est continue sur chaque $[u_i,u_{i+1}[$ et $g$ est continue sur chaque$[x_j,x_{j+1}[$ , on aura
    $c_{n,i,j}(f*g)$ =$c_{n,i}(f).c_{n,j}(g)$ et sommer par la suite.
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