Intégrale à paramètre

jp
jp
dans Analyse
Bonjour,
Soit $$f: x\mapsto \int_0^{+\infty}\frac 1{1+t^x}\,\mathrm dt$$
J'ai montré que $f$ était définie et continue sur $]1,+\infty[$.
Je cherche à calculer la limite de $f$ en $+\infty$ et je sèche...
Quelqu'un pourrait-il me donner un petit coup de pouce ?
Merci

Réponses

  • Guego
    Guego
    Un petit coup de convergence dominée devrait marcher, non ?
  • jp
    jp
    Merci Guégo,
    Avec une suite $f_n : n\mapsto \int_0^{+\infty}\frac1{1+t^n}dt, n\geq 2$...
    On majore la suite par $f_2$,
    on constate que pour tout $t>0$, $\frac1{1+t^n}\to 0$ quand $n\to +\infty$,
    etc...
    Est-ce celà ?
    Mais peut-on faire de même avec une fonction $f$ (on travaille alors pour $x\geq 2$ je suppose) ?
    Je ne suis pas bien sûr de mes billes...
  • GERARD
    GERARD
    Attention Jp,

    Sur [0;1[ $t^n$ tend vers 0, la limite est plutôt 1.

    Cordialement
  • gb
    gb
    \begin{quote}
    {\bf jp} : On majore la suite par $f_2$,
    \end{quote}

    Tu en es certain ?
    On peut voir la démonstration ?

    \begin{quote}
    {\bf jp} : on constate que pour tout $t>0$, $\frac1{1+t^n}\to 0$ quand $n\to +\infty$,
    \end{quote}

    Même pour $t = 1$ ?
    Même lorsque $0<t<1$ ?

    Il faudrait que tu revois le comportement de la suite géométrique $(t^n)$...
  • jp
    jp
    Merci pour ces rappels à la raison (de la suite !).
    On majore par 1 sur $]0,1]$ et par $f_2$ sur $]1,+\infty[$.
    En définitive, ça converge sur vers 1. Sauf erreur...

    Qui saurait en quelles spé ce théorème est au programme ? uniquement en MP ?
  • gb
    gb
    A ma connaissance le théorème de convergence dominée est au programme des filières MP, PC et PSI, mais pas des filière PT et BCPST.
  • jp
    jp
    Merci gb.
  • Guego
    Guego
    Sinon, on peut aussi le faire à la main en découpant entre $0$ et $1-a$, entre $1-a$ et $1+a$, et entre $1+a$ et $+\infty$, mais c'est plus pénible.
  • e=mc3
    e=mc3
    "A ma connaissance le théorème de convergence dominée est au programme des filières MP, PC et PSI, mais pas des filière PT et BCPST"

    et pas du CAPES non plus apparemment
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