Limite problématique

Mite002
Mite002
dans Analyse
Bonjour
Quelqu'un peut-il me dire comment on calcule la limite de cet fonction quand $x \to \infty$
$$ \Big( \frac{\ln(x+1)}{\ln(x)} \Big)^{x\ln(x)}$$

Réponses

  • jp
    jp
    Bonsoir,
    Deux petites indications.
    D'abord chercher la limite du log de la fonction.
    Et pour cela utiliser $\ln(x+1)=\ln(x)+\ln(1+1/x)$ et l'équivalent $\ln(1+h)\sim h$ en $0$.
  • jean lismonde
    jean lismonde
    bonjour

    tu appelles A(x) ton expression (positive)
    et tu considères le logarithme népérien de A(x)

    tu utilises l'équivalent signalé par JP
    et tu trouves pour x infini, une limite de lnA(x) égale à 1

    y = e est donc asymptote horizontale à la courbe représentative de A(x)

    cordialement
  • Mite002
    Mite002
    Bonsoir,
    je ne comprends pas vos réponses. "D'abord chercher la limite du log de la fonction."...de quelle fonction??? A(x) c'est quoi? A(x)=$ \frac{\ln(x+1)}{\ln(x)} ^{x\ln(x)}$
  • jp
    jp
    Oui, $A(x)=\Big( \frac{\ln(x+1)}{\ln(x)} \Big)^{x\ln(x)}$...
    Comme $u(x)^{v(x)}=e^{v(x).\ln(u(x))}$, on commence par chercher la limite de $v(x).\ln(u(x))$...
  • Bruno_1
    Bruno_1
    Salut Mite002,

    Quand tu as affaire à une expression du genre $X^Y$, reviens toujours à la définition et pose : $X^Y = \exp(Y \ln X)$ ; ça permet d'y voir tout de suite plus clair.
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