Fonction continue sur un espace métrique compact

Zantac
Zantac
dans Analyse
Bonjour à tous,

j'ai eu quelques notions sur les e.v.n., et je sais par exemple que si $A$ est une partie compace d'un evn $E$, et si $f$ est continue sur $A$, $f$ y est bornée (et atteint ses bornes mais bon).

Si maintenant je prends $(A,d)$ un {\bf espace métrique} compact, et $f$ une fonction continue de $A$ dans $\R$, alors $f$ est-elle nécessairement bornée ?

Ma question a-t-elle bien un sens précis en fait, je n'ai que rarement fait de la vraie topologie, ni même travaillé avec la vraie définition de la compacité (de tout sous recouvrement on peut extraire un sous-recouvrement fini, etc).

Ensuite, si $A$ est compact (espace métrique toujours), en est-il de même de l'ensemble des parties de $A$, muni d'une certaine topologie ? Question peu précise, mais je suis désolé, je nage un peu.

Merci si vous pouvez m'éclairer !

Réponses

  • Remarque0
    Remarque0
    L'image continue d'un compact quelconque est un compact. Donc le caractère métrique ne joue aucun rôle. Si l'espace d'arrivée est un espace métrique, comme $\R$, comme tout compact est alors borné, l'image est bornée.

    Une topologie sur l'ensemble des parties de $A$ est donc une famille de parties de l'ensemble des parties de $A$... pas très sympa à manipuler.
  • oumpapah
    oumpapah
    Bonjour,
    dans un métrique voir :distance de Haussdorf
  • Pierre
    Pierre
    Salut Zantac,

    La définition des compacts que tu as dû voir en spé avec les suites ($X$ est compact si toute suite $(x_n)_{n\in\N}$ de $X$ contient une sous-suite convergente) est encore vraie pour un espace métrique $(X,d)$ quelconque. Evidemment, en topologie, on prend comme définition celle avec les recouvrements quelconques d'ouverts. Tu peux donc réadapter sans problème les démonstrations vues dans le cadre des evn aux espaces métriques.

    Ainsi, si $(X,d)$ est un espace métrique compact et $f$ une fonction continue de $X$ dans $\R$, alors $f(X)$ est borné et atteint ses bornes.

    On montre facilement que $f(X)$ est compact. Soient $m=inf f(x)$ et $M=sup f(x)$ les bornes inférieures et supérieures de $f$, $m$ et $M$ sont adhérents à $f(X)$ et $f(X)$ est fermé car compact, donc $m,\ M \in\ f(X)$

    Pierre
  • Pierre
    Pierre
    J'ai oublié la deuxième question :

    Si on prend une partie $A$ d'un espace compact $X$, alors, $A$ est fermé ssi $A$ est compact.
  • Zantac
    Zantac
    Merci pour ces précisions.

    Dans mon cours, on travaille avec une correspondance $T$ de $A$ dans l'ensemble des parties de $A$. $A$ est un espace métrique compact. On suppose la correspondance hémi-continue, que $\forall x \in A, T(x) \neq \emptyset$, et il faudrait voir que cette correspondance est compact. Autrement dit, tout $T(x)$ est censé être un compact de l'espace d'arrivée, et je ne vois guère comment prouver ça (si c'est vrai, car il y a des coquilles dans le cours !)...

    Peux tu me dire ce que tu ne comprends pas exactement ?
  • Remarque0
    Remarque0
    Zantac : je ne comprends pas ton dernier message. Peux-tu te relire ?

    Oumpapah : c'est juste, je n'avais pas pensé à la distance de Hausdorff. L'ensemble des compacts d'un compact métrique est complet pour la distance de Hausdorff mais est-il compact ?
  • egoroff
    egoroff
    Oui : l'espace $\mathcal{F}(E)$ des fermés bornés non vides d'un espace métrique précompact $(E,d)$ est précompact muni de la distance de Hausdorff $d_H$.

    Preuve : soit $\varepsilon>0$ et $x_1,...,x_n$ des points de $E$ tels que $E=\bigcup_{k=1}^n B_d(x_k,\varepsilon)$. On appelle $\mathcal{D}$ l'ensemble des parties non vides de $\{x_1,...,x_n\}$. Alors $\mathcal{F}(E)=\bigcup_{D \in \mathcal{D}} B_{d_H}(D,\varepsilon)$ : en effet pour tout $F \in \mathcal{F}(E)$, on vérifie que $d_H(F,D)<\varepsilon$ où $D \in \mathcal{D}$ est l'ensemble des centres $x_k$ tels que $F \cap B(x_i,\varepsilon) \neq \emptyset$.
  • Remarque0
    Remarque0
    Joli egoroff !

    Zantac, peux-tu rappeler ce que signifie hémicontinue dans le contexte d'une application de $A$ dans l'ensemble de ses parties ?
  • Peter
    Peter
    suis curieux aussi j'avais vu ce terme particulier dans le cas des opérateurs monotones, remarque tu dois penser à ça n'est-ce pas :)
  • skilveg
    skilveg
    Petite précision: l'image continue d'un compact est compacte, mais il faut (enfin, suffit) que l'espace d'arrivée soit séparé.
  • Remarque0
    Remarque0
    Peter, oui en effet l'hémicontinuité pour les opérateurs monotones, ça va. On peut aussi parler d'opérateurs monotones multivalués... c'est peut-être le même contexte ?
  • christophe c
    christophe c
    Histoire de refaire une petite pub pour l'analyse non standard (avant d'aller acheter des purées de fruits):

    si E est compact et f standard continue de E dans F, soit f(x) un élément de F dans l'image de f.

    Soit a standard et superproche de x dans E. Comme f est continue, f(a) est superproche de f(x) dans F

    Donc f(x) est bien superproche d'un standard dans F, qui de plus se trouve dans l'image de f.

    Donc l'image de f est compacte (au diable les distinctions sur la séparation, qui résultent d'un accident de notation)
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Zantac
    Zantac
    Salut

    Désolé pour le retard.

    Tout ce que vous cherchez se trouve là :
    \lien{http://www.ceremade.dauphine.fr/\~{}carlier/progdyn.pdf} Cours de prog dynamique (page 17)

    En fait ce poly c'est exactement mon cours.

    Ce que je n'ai pas compris c'est que dans la dernière formule de la page 22 on applique le théorème 3.3 page 21, alors que nulle part on ne voit que $\Gamma$ est à valeurs compactes (dans ce cours, hémi-continu et continu sont synonymes pour les correspondances)... D'où toutes mes interrogations...

    [Activation du lien. AD]
  • Remarque0
    Remarque0
    Ok, alors page 18, il est supposé que $\Gamma$ est continue dans la suite du poly. Dire que le graphe est fermé implique que $\Gamma$ est à valeurs compactes puisque le graphe est inclus dans $X\times Y$. Prends une suite $y_n\in \Gamma(x)$ pour le voir (on est dans le cas métrique).
  • egoroff
    egoroff
    Je fais remonter le fil car j'ai rencontré une autre démo de la compacité de $\mathcal{F}(K)$ pour $K$ compact, avec un point de vue plus intéressant, et comme je ne suis pas radin je vais vous en faire profiter.

    On introduit l'application $\Phi$ de $\mathcal{F}(K)$ dans $C(K)$, et qui à $F$ associe $\Phi(F)=d(\cdot, F)$. Alors $\Phi$ est une isométrie de $(\mathcal{F}(E),d_H)$ dans $(C(K), ||\cdot||_{\infty})$, et on montre que $\Phi(\mathcal{F}(E))$ est compact (relativement compacte avec le théorème d'Ascoli, et fermé en bidouillant les inégalités triangulaires) donc c'est aussi le cas de $\mathcal{F}(E)$.

    Cool, non ?
  • le barbant raseur
    le barbant raseur
    Merci pour ce cadeau, egoroff! Ça a l'air très joli, en effet.

    Mais je crois que je préférais la méthode précompact+complet.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.

Bonjour!

Pour participer au forum, cliquer sur l'un des boutons :

Connexion S'inscrire

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 18

AlexiqueJLapinNicoLeProfbiguine_equationchristianmoselle +13 Invités