gradient de norme constante

dabo
dabo
dans Analyse
Bonjour,
j'aurais besoin d'un petit coup de pouce sur une EDP :
$\Vert \triangledown f \Vert = 1$, où $f : \mathbf R^{2}\rightarrow \mathbf{R}$, disons assez régulière pour pouvoir dire quelquechose (je ne me mouille pas trop).
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A part une solution triviale du genre $\frac{x+y}{\sqrt{2}}$, j'ai pas avancé.
\newline Merci d'avance

Réponses

  • SC0
    SC0
    A tout hasard, ça ne viendrait pas d'un quiz de Eric Benhammou pour pricing partner ?

    SC.
  • Remarque0
    Remarque0
    C'est une équation eikonale. Il y a une infinité de solutions. Si $\Omega$ est un ouvert borné, $f(x)=d(x,\R^n\setminus\Omega)$ en est une qui s'annule au bord de $\Omega$.
  • SC
    SC
    Voici une rédaction de la réponse. Par contre, je ne connais rien aux équations eikonales. Les outils utilisés sont du niveau prépa.
    On montre que dans le cas ou l'ouvert est $\R^2$ toutes les solutions sont affines. (la fonction proposée dans le post précédent n'est pas différentiable en $x$).
    Dès que l'ouvert sur lequel on considère l'équation n'est pas $\R^2$ tout entier, il peut y avoir ce type de solution. Je donne une propriété des solutions dans le cas général.
    Démonstration dans le fichier joint.

    SC.
  • jean
    jean
    Voici un type de solution assez général à cette équation : Si C est un ouvert à bord assez régulier (ou tout simplement une courbe), l'application $x\mapsto d(x,C)$ est une application vérifiant $\|\nabla f\|=1$ sur le complémentaire de C.

    Cette équation est extrêmement classique en EDP, et s'appelle l'équation eikonale (ou iconale).
  • SC
    SC
    Si C est un cercle, le gradient est de norme 1 partout sur le complémentaire sauf au centre de C ou l'application n'est pas dérivable. Donc je pense qu'il faut faire d'autres hypothèses sur l'ensemble duquel on prend la distance.

    SC.
  • Remarque0
    Remarque0
    C'est pas grave qu'elle ne soit pas différentiable : elle est Lipschitzienne et $W^_{\mathrm{loc}}{1,\infty}$. Ca suffit largement à donner un sens à l'équation eikonale. La distance à n'importe quel compact, ou à n'importe quel complémentaire d'un ouvert borné fait l'affaire.
  • Remarque0
    Remarque0
    Au sens de $W_{\mathrm{loc}}^{1,\infty}$, bien sûr.
  • Remarque0
    Remarque0
    et Lipschitzienne seulement si l'ensemble auquel on prend la distance a un minimum de régularité, quand même.
  • SC
    SC
    Encore un exemple qui ne marche pas : la distance à un ensemble constitué de deux points distincts A et B, même en excluant le milieu de l'ouvert, il y a des problèmes sur la médiatrice du segment AB.
    Par contre si on prend la distance à un ensemble convexe ça marche toujours.

    Je pense que la condition générale sur un ensemble E pour que la fonction définie par d(x,E) vérifie l'équation serait que tout point de l'ouvert Omega ait une unique projection dans sur E. Dans le cas ou E fermé et \Omega=\R^n - E celà est équivalent à la convexité de E.

    De toute façon ce genre de solution ne couvre pas le cas des fonctions affines.

    S.
  • jean
    jean
    Cela dépend comment on voit la question l'EDP $\|\nabla f\|$ est très fortement non linéaire! Il n'est donc pas pertinent de se restreindre à des solutions de classe $C^1$. Néanmoins (réponse niveau prépas), le sujet 1998 ENS Lyon/Cachan MP fournit pas mal d'information sur le sujet:
    - il démontre (partie IV) que la fonction $x\mapsto d(x,C)$ est de classe $C^1$ ssi $C$ est convexe. Il démontre bien entendu qu'il s'agit d'une solution de l'équation eikonale.
    - il démontre (partie III) que les application $C^2$ de gradient unitaire sont nécessairement affines. Que ceci reste vrai si l'application est seulement $C^1$. C'est peut-être ce qu'a fait SC (je n'ai pas regardé de près le fichier joint)
  • Remarque0
    Remarque0
    SC : il y a plusieurs notions de solution pour ce type d'équation et la notion de solution $C^1$ que tu sembles vouloir seulement retenir, est trop restrictive. Dans le cas qui nous préoccupe, la distance à compact est une solution presque partout dans l'extérieur de ce compact, la distance au complémentaire d'un ouvert borné est une solution presque partout dans l'ouvert. Il est dans la nature des solutions de l'équation eikonale de développer des singularités que l'on appelle des caustiques (il y a un lien avec l'optique géométrique).
  • dabo
    dabo
    Merci à tous pour ces réponses et particulièrement à SC pour s'être donné la peine de taper un pdf.
    Pour Remarque : qu'appelle-t-on $W_{loc}^{1,\infty}$ ?
  • Remarque0
    Remarque0
    C'est l'espace de Sobolev des fonctions localement bornées et dont toutes les dérivées partielles au sens des distributions sont localement bornées, lequel peut être un cadre assez naturel pour ce genre d'équations, sans être le seul. C'est essentiellement la même chose que les fonctions lipschitziennes (presque). Celles-ci sont différentiables au sens classique presque partout. Les fonctions du style $x\mapsto d(x,C)$ sont lipschitziennes, de constante de Lipschitz égale à 1, ce qui correspond à la norme de leur gradient presque partout égale à 1 (sans en constituer une preuve très solide).
  • jean
    jean
    à remarque, à propos de ton message de 21:01: même si l'ensemble $\Omega$ est vraiment immonde, l'application $d(\,\cdot\,,\Omega)$ est toujours 1-lipshitzienne, me semble-t-il, non ?
  • Remarque0
    Remarque0
    Oui, c'est vrai dans n'importe quel espace métrique. Je pensais au fait que $W^{1,\infty}$ et Lipschitz ne sont pas toujours la même chose si l'ouvert n'est pas Lipschitz. Si je ne me mélange pas les pinceaux, Lipschitz entraîne $W^{1,\infty}$ dans tous les cas, alors que pour l'inverse, il faut un bord lipschitzien.
  • SC
    SC
    Hello,

    L'intérêt du cas où on se restreint aux fonctions C1 permet de conclure que les solutions affines sont les seules si l'ouvert est R^2 cf le PDF que j'ai posté plus haut, puis j'aime bien la connexité :). En plus ça donne une propriété générale des solutions dans tous les cas si on les considère C1.
    Et justement, le problème des solutions sous forme de distance, c'est que ça ne recouvre pas du tout le cas des fonctions affines par exemple. Donc si quelqu'un a une démonstration ou un argument de généricité de ce genre de solution, même au sens faible (espace de distribution par exemple) je suis preneur.

    SC.
  • Remarque0
    Remarque0
    En fait, les fonctions affines solution de l'équation eikonale sont aussi des distances, mais des distances signées à un hyperplan (avec un signe plus d'un côté, moins de l'autre). Par contre, je ne prétends pas que les fonctions distance sont d'une façon ou d'une autre génériques parmi les solutions de l'équation eikonale, je n'en sais pas assez là-dessus. Le lien avec l'optique géométrique indique un rapport avec la propagation des rayons lumineux à vitesse constante, donc la distance de propagation intervient... mais je ne me souviens plus du lien précis, donc je ne peux pas t'en dire beaucoup plus sans référence sous la main.
  • Miou0
    Miou0
    Bonjour,

    Désolée de relancer le sujet, mais est ce que quelqu'un sait d'où vient la démonstration donnée par SC (fichier joint latex)?

    Merci!!

    M.
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