élasticité et convexité

Sandrine
Sandrine
dans Analyse
Bonjour,
Je cherche une fonction (si elle existe) telle que $f(x=0)=0$, $f'(x)>0$ et $f''(x)>0$ et qui satisfasse
\[
f'(x)\frac{x}{f(x)}<1.
\]
Je vous remercie par avance pour votre aide,
Sandrine

Réponses

  • jean
    jean
    La condition s'écrit aussi $(\ln f)'(x)<1/x$, les deux autres conditions signifiant que $f$ est croissante et convexe...
  • Sandrine
    Sandrine
    merci Jean, je suis bouchée, je ne vois toujours pas...
  • Remarque0
    Remarque0
    Pour $x\le 0$, $f(x)=\frac x{1-x}$ me semble faire l'affaire. Pour $x\ge 0$, l'inégalité me semble contradictoire avec la convexité ($f(x)/x$ est la pente de la sécante entre $0$ et $x$). Fais un dessin.

    Sinon, comment ça se fait que je voies un gros $x\ge 0$ à la place de la formule ???
  • jean
    jean
    Comme il y a la condition $f(0)=0$, les conditions ne peuvent être simultanément possibles que pour $x>0$. Je propose la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}_+$ par
    $$f(x)=\frac{\sqrt{x^2+1}-1+x}{4}$$
  • Sandrine
    Sandrine
    Bonjour,
    Je ne sais pas pourquoi ce x>=0 est apparu. J'avais écrit un second post pour préciser que x>=0 et ce résultat est apparu.
    Ce que je cherche c'est une fonction avec ces conditions ET x positif. Je pense aussi que c'est contradictoire, mais dans ce cas, il me faut le prouver. Je vais essayer avec un dessin. Merci pour vos remarques.
    Sandrine
  • jean
    jean
    Autre possibilité: $f(x)=\frac14({e^{-\alpha x}-1+\beta x})$ avec $0<\alpha<\beta<1$.
  • gb
    gb
    Avec $f(0) = 0$ et une petite dose d'accroissements finis, pour tout $x > 0$, il existe $c$ dans $]0,x[$ avec $\dfrac{f(x)}{x} = f'(c)$.
    Comme $f'' > 0$, $f'$ est strictement croissante, donc $\dfrac{f(x)}{x} = f'(c) < f'(x)$ et, avec $f'(x) > 0$, $f'(x)\dfrac{x}{f(x)} > 1$.
  • egoroff
    egoroff
    Oui gb, c'est le sens du dessin de remarque (tu m'as pris de vitesse).

    Du coup les contre-exemples de jean m'intriguent...
  • jean
    jean
    Mes contre-exemples erronés (td) étaient dus à l'erreur que j'avais interprété l'hypothèse par celle qui dit $f(x)<x$... qui s'obtient peut-être par implication (à moins qu'il n'y ait même une erreur là-dedans), mais certainement pas par équivalence... :-(
  • Sandrine
    Sandrine
    Mille mercis à tous. Je n'aurais jamais pensé aller chercher le théorème des accroissements finis!
    Merci encore,
    Sandrine
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