Suite

invité0 · November 2007

Bonsoir à tous,
soit $\lambda \in ]0;1]$ et $(u_n)_{n\in \N}$ une suite réelle telle que $u_n=O(n)$.
Je souhaiterais montrer qu'il existe un entier naturel $N$ tel que :
$$\forall n\geq N,\ \lambda^{n} | u_n | \leq \mu^n$$
où $\mu=\dfrac{1+\lambda}{2} \in ]\lambda;1[$.
J'ai essayé de le faire par récurrence, mais je n'arrive pas à initialiser la propriété.
Si quelqu'un pouvait m'aider, ce serait sympa.
Merci.

jean · November 2007

Une suite (à bien choisir) qui tend vers 0 est majorée par 1 à partir d'un certain rang...

egoroff · November 2007

Salut,

Difficile de savoir où initialiser la propriété puisqu'on ne connaît pas $N$, on n'est même pas encore sûr de son existence... Pour que $\mu \in ]\lambda,1]$ il faut que $\lambda \in ]0,1[$ pas $]0,1]$, me trompé-je ?

Sinon voilà un angle d'attaque : si $(v_n)$ est une suite qui ne croît pas trop vote, disons au plus polynomialement (c'est-à-dire $v_n=O(n^d)$ pour un certain $d$) et $q>1$. Que dire de la limite de $v_n/q^n$ ?

invité0 · November 2007

Merci jean et egoroff.J'ai pu conclure en choisissant la suite $v_n$ définie par :
$\forall n \in \N,v_n=(\dfrac{\lambda}{\mu})^n \mid u_n \mid$,qui converge vers 0 à partir d'un certain rang,donc majorée par un $\epsilon$ à partir de ce rang,puis en choisissant $\epsilon=1$,il vient ce que l'on veut montrer.
Simplement,au niveau de la rédaction,cela suffit-il?(je veux dire,est-ce qu'il faut traduire rigoureusement le fait que $u_n$ ne croît pas très vite,ou dire que $u_n=O(n)$ suffit-il?).
Merci encore.

egoroff · November 2007

"Converge vers O à partir d un certain rang" est maladroit ; une suite converge, ou ne converge pas. En effet il faut démontrer rigoureusement que ta suite $(v_n)$ converge vers $0$ ; tu peux le faire en jonglant avec les $O(\cdot)$ si tu es à l aise avec ces notations, ou alors tu peux préférer traduire immédiatement l hypothèse $u_n=O(n)$ en écrivant qu à partir d un certain rang $N_0$ on a $|u_n| \leq Cn$ pour une certaine constante $C>0$.