Fonction localement lipschitzienne
dans Analyse
(re-)Bonsoir! ^^
Pour une application qui est localement lipschitzienne dans un espace métrique compact, je n'arrive pas à montrer qu'elle est en fait globalement lipschitzienne... à l'aide...
Pour une application qui est localement lipschitzienne dans un espace métrique compact, je n'arrive pas à montrer qu'elle est en fait globalement lipschitzienne... à l'aide...
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Réponses
Le truc ultra-classique pourtant ! Pour chaque point $x$ tu peux choisir un voisinage ouvert $x \subset U_x$ dans ton espace compact $K$, telle que $f$ est $k_x$-lipschitzienne sur $U_x$. La famille $(U_x)$ forme un re..... (je te laisse finir).
Ce qui m'embête est le raccord.
Pour deux compacts je ne sais même pas faire! Si K1 et K2 sont deux compacts, f lip sur chacun des deux compacts, comment montrer que f est lip sur la réunion des deux? Je suis peut-être très fatigué... mdr
mais je ne vois pas, parcequ'en faisant le raccord en un z dans l'intersection de K1 et K2 (on suppose que K1, K2 sont connexes, d'intersection non vide) pour abs(f(x)-f(y)), je dis que c'est plus petit que k1*abs(x-z) + k2*abs(z-y) et là je bloque...
Pourtant je ne trouve pas de contre-exemple.
Non, sérieusement, je bloque...
Je propose de montrer que la fonction localement bornée $(x,y)\in K\times K\mapsto \frac{d(f(x),f(y))}{d(x,y)}$ est globalement bornée...
- soit en raisonnant par l'absurde et en utilisant la compacité séquentielle.
- soit en raisonnant avec les recouvrements ouverts.
Remarque: on ne fait que montrer que sur un compact (ici $K\times K$), une fonction localement bornée est globalement bornée...
C'est peut-être un peu plus subtil, car les ouverts à considérer recouvrent la diagonale de $K\times K$, c'est-à-dire les $(x,x)$ pour $x\in K$, mais pas forcément tout $K\times K$. Mais sur le complémentaire de ces ouvert (qui est compact), on a une fonction continue, donc globalement bornée sur le compact.
Ensuite, soit $K=\max K_{i}$, $K_{i}$ étant la constante de Lipschitz sur $U_{i}$. Pour $d(x,y)<\alpha$, on a d'après le lemme précédent $d(f(x),f(y))\le Kd(x,y)$. Pour $d(x,y)\ge\alpha$, on a $d(f(x),f(y))\le 2\,\mathrm{diam}\,(f(K))\le \frac{2\,\mathrm{diam}\,(f(K))}{\alpha}d(x,y)$.