Equation différentielle, solutions périodiques

Victor-Emmanuel0
Victor-Emmanuel0
dans Analyse
Bonsoir à tous!
J'ai une question à propos d'une équation différentielle dont j'aimerais montrer que toutes les solutions sont périodiques.
Il s'agit d'une équa-diff non linéaire, d'ordre 2, mais je préfère que nous traitions le cas général :

je considère l'équation (x,y)'=X(x,y), où X est lipschitzienne en (x,y) (au moins localement), avec x et y réels.

Je trouve une fonction F:R²->R qui est constante sur les orbites, et qui me permet d'affirmer que les orbites sont bornées et je sais que les courbes définies par F(x,y)=constante sont fermées (au sens géométrique, pas topologique).
Comment en déduire que les orbites sont elles-mêmes fermées, et donc que les solutions sont périodiques?
Car une solution de l'ED de départ donne une orbite incluse dans une courbe de niveau de F, mais pourquoi ne peut-elle pas l'être strictement?

J'espère avoir été assez clair...
Merci pour vos réponses!

Réponses

  • Guego
    Guego
    Juste une remarque : "Je trouve une fonction $F:\R^2 \rightarrow \R$ qui est constante sur les orbites, et qui me permet d'affirmer que les orbites sont bornées"
    Encore faut-il que les lignes de niveau de F soient bornées ! Bon, après, tu dis que ces lignes sont des courbes fermées, mais ça n'est pas le cas pour n'importe quelle fonction $F$...

    Sinon, l'orbite peut être strictement incluse dans une ligne de niveau. Prends le champ nul. Ses orbites (qui sont des points), sont incluses dans les lignes de niveau de la fonction $F(x,y) = x^2+y^2$...
  • jean
    jean
    Bonjour,

    L'exemple de Guego me paraît quand même singulier.

    Pour la dernière question de Victor-Emmanuel, si jamais une trajectoire était strictement incluse dans une courbe de niveau (qui est une vraie courbe si F est à gradient non nul sur le niveau, ce que l'on supposera, n'est-ce pas ?), dans ce cas, la solution de l'équation $(x(t),y(t))$ (qui se trouve sur le niveau que je note $\lambda$) convergerait vers un $(x_0,y_0)$ du même niveau $\lambda$ lorsque $t\to\infty$. Mais alors, $(x'(t),y'(t))=X(x(t),y(t))$ convergerait vers $X(x_0,y_0)$ par composition. D'autre part, si $x'(t)$ et $x(t)$ convergent, la seule limite possible de $x'(t)$ est $0$ lorsque $t$ tend vers l'infini (car dans le cas contraire, sa primitive $x$ divergerait vers l'infini... par équivalent sous les sommes partielles de l'intégrale divergente). Donc nécessairement, $X(x_0,y_0)=(0,0)$. Avec un peu de chance, ceci fournit un contre-exemple d'un champ qui ne marche pas ou, si $X$ est donné de manière sympathique, la preuve que la solution de l'équation différentielle ne s'arrête pas (donc retourne à son point de départ si elle est sur une courbe fermée)....

    Suis-je clair ?
  • Guego
    Guego
    Un autre contre-exemple, moins singulier alors :
    $x'(t) = -y(t)^3$ et $y'(t) = y(t)^2 x(t)$.

    Les orbites sont des demi-cercles (ouverts) centrés en 0. Elles sont donc incluses strictement dans les lignes de niveau de $F(x,y) = x^2+y^2$.
  • jean
    jean
    Effectivement. En résumé, si $X$ a des points stationnaires sur la courbe de niveau, c'est perdu (il n'y aura pas de trajectoires périodiques dans le cas d'une courbe de niveau connexe). Si $X$ n'a pas de point stationnaires sur la courbe de niveau, c'est gagné.
  • Victor-Emmanuel0
    Victor-Emmanuel0
    Merci pour votre aide. En effet, oui, ta proposition, Jean, marche à condition que X n'est pas de points stationnaires sur la courbe de niveau considérée... (ce qui est le cas dans le 2ème exemple de Guego, où l'intersection entre les courbes de niveau et l'axe des abscisses fournit des points stationnaires...) alors la solution peut converger vers ces points.
    C'est marrant, dans mon ED que j'étudiais au départ (x¨+x+x^3=0) je réussissais à conclure en montrant que si jamais ma solution convergeait en l'infini vers un point de la courbe de niveau de F, alors nécessairement les dérivées de x et y (y=x') tendaient vers zéro, et donc on était sur un point fixe du champ, qui ne peut être que l'origine. Or l'origine n'est sur aucune courbe de niveau non réduite à un point.
    Et je ne pensais plus à cet argument pour le cas général.

    Bon, donc on sait que la solution parcourt toute la courbe de niveau sur laquelle elle se trouve (sous les mêmes hypothèses que précédemment).
    Les courbes étant fermées, il existe un point de la courbe au moins en lequel la solution passe au moins deux fois (tiens, tiens, rigoureusement, comment montrer ça?) et alors elle recommence comme la première fois qu'elle était passée par ce point, d'où la périodicité.
    Merci!
  • jean
    jean
    Victor-Emmanuel écrivait:
    > Les courbes étant fermées, il existe un point de
    > la courbe au moins en lequel la solution passe au
    > moins deux fois (tiens, tiens, rigoureusement,
    > comment montrer ça?)

    Un moyen de le faire, qui n'est pas très élégant est le suivant: on suppose qu'on connaît la courbe, et qu'on est capable de la tracer. Par exemple, c'est un cercle. On découpe le cercle en plusieurs morceaux, sur chacun desquels
    - ou bien on a partout x'>0
    - ou bien on a partout x'<0,
    - ou bien on a partout y'>0
    - ou bien on a partout y'<0

    Sur chacun de ces morceaux, on peut utiliser la stricte (dé)croissance de x (ou y), et en déduire que l'on passe au morceau d'à côté. On recommence... et on finit par retomber sur le premier morceau. C'est comme ça que c'est traité dans le texte suivant (destiné à des agrégatifs, qui eux n'ont pas le droit au manque de rigueur): Modèle Proie-Prédateur, par G. Vial.
  • Victor-Emmanuel0
    Victor-Emmanuel0
    Oui, c'est comme ça que je fais : à la main, en expliquant, à l'aide des signes des dérivées, pourquoi la solution "tourne"...
    Merci beaucoup pour cette aide précieuse!
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.

Bonjour!

Pour participer au forum, cliquer sur l'un des boutons :

Connexion S'inscrire

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 23

BouzarCidrolinCyranoetancheevrad23gai requin +17 Invités