Cauchy-Schwartz
Bonjour,
Si $f\in L^{2}(I,\mathbb R^3)$ et $g\in L^{p}(I,\mathbb R^3)$, $I$ un intervalle fermé de $\mathbb R$, puis-je appliquer Cauchy-Schwartz et avoir
$$\int_0^1\|f\|^2\|g\|^2=\|f\cdot g\|_{L^2}^2\leq \|f\|_{L^2}\|g\|_{L^2}^2$$
en utilisant le fait que $L^p\subseteq L^2$ ou pas ?
Merci beaucoup pour votre coopération
Si $f\in L^{2}(I,\mathbb R^3)$ et $g\in L^{p}(I,\mathbb R^3)$, $I$ un intervalle fermé de $\mathbb R$, puis-je appliquer Cauchy-Schwartz et avoir
$$\int_0^1\|f\|^2\|g\|^2=\|f\cdot g\|_{L^2}^2\leq \|f\|_{L^2}\|g\|_{L^2}^2$$
en utilisant le fait que $L^p\subseteq L^2$ ou pas ?
Merci beaucoup pour votre coopération
Réponses
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J'ai dit grosse betise. En fait, on a je crois
$$\|f\cdot g\|_{L^{2p/p+2}}^2\leq \|f\|_{L^2}\|g\|_{L^p}^2$$
par l'inegalité d'holder generalise -
Cela ne semble pas juste, vu que les deux membres n'ont pas le même degré d'homogénéité en $f$. Par ailleurs, pour mieux comprendre, ce serait mieux de noter avec des simples barres (c-a-d: $|f|$) la norme sur $\R^3$....
-
Si $L^p \subset L^2$, alors $g\in L^2$, et il n'y a donc aucun souci à utiliser Cauchy-Schwarz. Mais ça n'est pas toujours le cas, attention, ça dépend de ton $p$, et de ton intervalle.
Remarque subsidiaire : Il n'y a pas de t dans "Schwarz" !!! -
Desole pour tout derangement mais ma question est en fait comment je peux majorer
$$\int_0^1\|f\|^2\|g\|^2dx_3$$
sachant que $f\in L^{2}(I,\mathbb R^3)$ et $g\in L^{p}(I,\mathbb R^3)$, $I$ un intervalle fermé de $\mathbb R$ et $\|f\|^2,\|g\|^2$ sont les normes dans $\R^3$ vu qu'il s'agit des vecteurs.
Merci POUR VOTRE AIDE -
Guego, C-S majore la norme $L^1$ du produit de deux fonctions en fonction de la norme $L^2$ de chacune des deux, mais moi je veux la norme $L^2$ du produit et non pas la norme $L^1$ donc C-S ne m'aide pas.
[La case LaTeX. AD] -
Il me semble que, si $p\not=\infty$, ce n'est pas possible.... car $|f|^2\,|g|^2$ ne sera peut-être même pas $L^1_{\mathrm{loc}}$....
-
Moi aussi je pensais comme t'as dit Jean mais j'ai cru qu'il y a une facon de le faire que je ne vois pas?
Malheureusement il n y en a pas pour l'instant!!!
bonne soiree -
C'est sûr qu'il n'y en a pas tout court : tu peux chercher des contre-exemples avec des fonctions $f$ et $g$ chacune de la forme $\displaystyle\frac{1}{t^\alpha}$...
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