Analyse spectrale
Bonjour,
Dans un problême : $Au = f$,
Je voudrais savoir, si l'opérateur $A$ a l'unique propriété d'être auto-adjoint (pas forcemment compact), est-ce qu'il est possible de décomposer $A$ en une base de vecteurs propres. Mon professeur l'a fait pour l'equation de la chaleur et je ne trouve pas d'où ce résultat peut venir. Habituellement, on regarde l'opérateur $(A - \lambda I)^{-1}$ qui lui a toutes les propriétés suffisantes à une décomposition de ce genre.
Dans un problême : $Au = f$,
Je voudrais savoir, si l'opérateur $A$ a l'unique propriété d'être auto-adjoint (pas forcemment compact), est-ce qu'il est possible de décomposer $A$ en une base de vecteurs propres. Mon professeur l'a fait pour l'equation de la chaleur et je ne trouve pas d'où ce résultat peut venir. Habituellement, on regarde l'opérateur $(A - \lambda I)^{-1}$ qui lui a toutes les propriétés suffisantes à une décomposition de ce genre.
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Réponses
Effectivement l'existence d'une base de vecteurs propres est un résultat du cours seulement pour un opérateur compact. Mais si $A=\Delta$ (avec un condition de Dirichlet ou de Neumann au bord), et que l'ouvert $\Omega$ sur lequel sont définies les fonctions, est un ouvert borné, alors dans ce cas, l'opérateur $(\Delta-Id)^{-1}$ est compact. Il a donc une base de vecteurs propres, qui est aussi base de vecteurs propres de $\Delta$ (donc c'est aussi vrai).
Dans le cas général, ce n'est pas vrai. Par exemple, $A=\Delta$ sur $\R^n$, la façon de "diagonaliser" $\Delta$ est la transformation de Fourier $\mathcal{F}$ (qui est unitaire). Le laplacien correspond alors à une multiplication par $-|\xi|^2$. Intuitivement, c'est assez proche d'une base de vecteurs propres: formellement, on a envie de dire qu'un exemple de vecteur propre associé à la valeur $-r^2$ serait la fonction indicatrice de l'ensemble $\{|\xi|=r\}$ ou d'un sous-ensemble du précédent (mais évidemment, dans $L^2$, ce n'est pas bien défini).
La généralisation de cela est la notion de mesure spectrale. Mais cela fait longtemps que je ne parle plus de ça, donc je laisse quelqu'un d'autre développer ça mieux.
Une façon de procéder est comme suit. L'opérateur $A$ associé à ce problème variationnel est un isomorphisme de $H^1_0$ sur $H^{-1}$, et quand tu considères $A^{-1}$ de $H^1_0$ dans $H^1_0$, il est auto-adjoint pour le produit scalaire défini par $a$, et compact par le théorème de Rellich (petit raisonnement à faire ici). Donc tu as une décomposition orthogonale pour ce produit scalaire (et aussi dans $L^2$) de $H^1_0$ avec une suite de valeurs propres de $A^{-1}$ tendant vers $0$, ce qui te donne en appliquant $A$ une décomposition orthogonale de $H^1_0$ avec des fonctions propres de $A$ et une suite de valeurs propres tendant vers l'infini.
Plus généralement, avec deux Hilberts $V$ et $H$ tels que $V\hookrightarrow H\hookrightarrow V'$ avec injections denses et la première injection compacte, $A$ un isomorphisme de $V$ sur $V'$ dont l'inverse restreint à $V$ est auto-adjoint pour un produit scalaire équivalent sur $V$, on s'en tire de la même façon.
Après, sans compacité quelque part, effectivement on tombe dans de la théorie spectrale plus sophistiquée, avec du spectre continu, et ces histoires de mesure spectrale. Mais bon, là ça remplit des volumes entiers !
Si $A$ est un opérateur auto-adjoint quelconque, il peut y avoir du spectre absolument continu et singulier continu, autrement dit il n'y a pas forcément que du spectre purement ponctuel. Il peut donc y avoir des vecteurs propres généralisées.
Ce qui généralise la décomposition dans une base de vecteurs propres dans ce cas, c'est le théorème spectral.
sk.