Convolution
Bonjour,
Dans le livre de Zuily il y a un truc qui me gêne.
Il prend $\phi\in \mathcal C_0^{\infty}(\R^n)$ et $u,v$ deux fonctions continues je peux définir :
$$< u*v,\phi>=\iint u(y)v(x-y)\phi(x) \mathrm dy\mathrm dx=\iint u(y)v(z)\phi(y+z)\mathrm dy\mathrm dz$$
Et il dit donc $<u*v,\phi>=<u_y \otimes v_z,\phi(y+z)>$ et là ce qui me pose problème c'est qu'a priori, il a défini le produit tensoriel de deux distributions pour $\phi$ à support compact dans $\R^{n}\times \R^{n}$ et là $(y,z)\rightarrow \phi(y+z)$ n'est pas nécessairement à support compact.
Voilà je me prends peut-être la tête pour rien, j'aimerais votre avis la dessus (pas sur le fait que je me prenne la tête ).
Dans le livre de Zuily il y a un truc qui me gêne.
Il prend $\phi\in \mathcal C_0^{\infty}(\R^n)$ et $u,v$ deux fonctions continues je peux définir :
$$< u*v,\phi>=\iint u(y)v(x-y)\phi(x) \mathrm dy\mathrm dx=\iint u(y)v(z)\phi(y+z)\mathrm dy\mathrm dz$$
Et il dit donc $<u*v,\phi>=<u_y \otimes v_z,\phi(y+z)>$ et là ce qui me pose problème c'est qu'a priori, il a défini le produit tensoriel de deux distributions pour $\phi$ à support compact dans $\R^{n}\times \R^{n}$ et là $(y,z)\rightarrow \phi(y+z)$ n'est pas nécessairement à support compact.
Voilà je me prends peut-être la tête pour rien, j'aimerais votre avis la dessus (pas sur le fait que je me prenne la tête ).
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Réponses
Je me demandais juste pourquoi il peut écrire l'égalité au-dessus avec le produit tensoriel même si l'intégrale est bien définie,à vrai dire c'est juste la notation dans ce cas la qui me gêne,j'ai bien compris que pour convoler deux distributions on avait besoin qu'une des deux soit à support compact.
D'ailleurs après changement de variables je vois plus pourquoi l'intégrale est définie(je crois que les distributions me font perdre la tête).
Egoroff oui c'est vrai c'est jamais à support compact,si il y a un point $a$ dans le support de $\phi$ alors les points $(y,-y+a)$ sont dans le support.
Le truc c'est que $u$ et $v$ sont a priori continues et $L^1$, donc $u*v$ n'est pas n'importe quelle distribution, elle appartient à un sous-espace de $\mathcal{D}'$, donc il y a des chances qu'elle s'applique continûment à une classe de fonctions plus vaste que les strictes fonctions de $\mathcal{D}$, tout comme les distributions d'ordre 1 s'appliquent à tout $C_c$, ou celles de $L^p$ s'appliquent à $L^q$...
Bref une intervention absolument pas constructive
Merci de vous y être intéressé tout de même
$\widehat{\hat{f}\frac{1}{\hat{f}}}=f*\frac{1}{f}=\hat{1}=\delta$,la condition $\frac{1}{\hat{f}}$ est la pour qu'on puisse prendre la transformée de Fourier de $\hat{f}\frac{1}{\hat{f}}$?
Si $f$ est une distribution,est-ce qu'on peut définir $\frac{1}{f}$?