surjection continue

Marker0 · February 2007

Salut

Je dois montrer que si f : C->R est une surjection continue alors pour tout a dans R, f^{-1}(a) est non borné.

voilà ce que j'ai fait : par l'absurde. Sinon il existerait a dont l'image réciproque est bornée donc incluse dans un disque

Mais ma question est la suivante : est-ce que le complémentaire de ce disque est connexe. Je pense que oui mais je n'arrive pas à le justifier.

merci beaucoup pour votre aide

A+

SadYear · February 2007

Bonsoir Marker,

Le complémentaire d'un disque dans $\C$ est connexe par arcs...

jean · February 2007

Le complémentaire d'un disque dans $\C$ est effectivement connexe. (Par exemple, le complémentaire du disque de centre $a$ et de rayon $r>0$ est l'image du convexe (donc connexe) $\{z\in\C,\,\mathrm{Re}\,z\ge \log(r)\}$ par l'application continue $z\mapsto a+e^z$).

Marker0 · February 2007

Merci à vous deux !

Auriez-vous des idées pour la suite du raisonnement ?

Merci

jean · February 2007

Je ne serais pas parti en commençant comme ça. J'aurais plutôt cherché à démontrer que l'ensemble des $a$ tels que « $f^{-1}\Big(\{a\}\Big)$ est non borné » est à la fois ouvert et fermé....

SadYear · February 2007

Pour continuer sur ta voie de départ :

Le disque $D$ (prenons le fermé) considéré et son complémentaire dans $\C$ sont connexes donc leurs images par $f$, continue, est connexe. $D$ étant de plus compact, l'image de $D$ par $f$, continue est donc un compact de $\R$. L'image de $D$ par $f$ est donc un compact connexe de $\R$, c'est-à-dire un intervalle fermé borné $I$.

Il ne te reste plus qu'à regarder l'image du complémentaire de $D$ dans $\C$...

surjection continue

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