Mesurabilité - espace produit

Mathieu · February 2007

Bonjour,

J' aimerais juste avoir une confirmation que le résultat suivant n' est pas général:

$f$ une application (ou fonction lol)

$f: E_1 \times E_2 \longrightarrow G$
avec $(E_1,F_1,m_1)$, $(E_2,F_2,m_2)$,$(G,F_3,m_3)$ des espaces mesurés
On condidère comme tribu produit $F_1 \otimes F_2$

Si on a

$\forall x \in E_1$ $f(x,.) \,est\, F_1-F_3$ mesurable
$\forall x \in E_2$ $f(.,x) \,est\, F_2-F_3$ mesurable

Alors
$f$ est $F_1 \otimes F_2 - F_3$ mesurable

Merci

Yop0 · February 2007

Il me semble que si tu prends $E_1=E_2=\R$, que tu les munis de la tribu qui contient tous les ensembles dénombrables ou de complémentaires dénombrables, et que tu considères (l'indicatrice de) la diagonale dans le produit, ça fournit un contre-exemple.

Cela dit je ne vois pas spontanément d'argument pour montrer ce que j'avance (que la diagonale n'est pas mesurable...).

Mathieu · February 2007

En fait,je voulais démontrer le théorème suivant par l' utilisation de fubini:
si $\forall n\in \N$ $f_n$ est mesurable positive
alors $\displaystyle{\sum_{n=0}^{infty} \int_{\R} f_n = \int_{\R} \sum_{n=0}^{infty} f_n}$

Pour cela je considérais $f: \R \times \N \longrightarrow \R$
définie par $f(x,n) = f_n (x)$

Je munissais $\N$ de la tribu de toutes les parties et l' espace produit par $\B(\R) otimes \N$
Le problème était alors de montrer que la fonction était mesurable, mais comme le théorème ci dessus est faux, je ne vois pas trop comment faire.

Yop0 · February 2007

Dans ton cas, on a (pour tout $(x,n)$) :
$$
f(x,n)=\sum_{k=0}^{+\infty} f_k(x)1_k(n).
$$
C'est une somme de produit de fonctions mesurables, elle est donc mesurable.

--

Dans le même genre (mais plus subtile), tu peux montrer que si une fonction $f$ de $\R\times\R \to \R$ est continue en la première variable (la seconde étant fixée) et mesurable en la deuxième, alors la fonction est globalement mesurable.

--

J'imagine par ailleurs que tu sais que c'est une manière un peu tordu de montrer ton résultat (qui est une conséquence directe du théorème de converge monotone, qui est lui-même un théorème très très simple à démontrer).