Mesurabilité - espace produit
Bonjour,
J' aimerais juste avoir une confirmation que le résultat suivant n' est pas général:
$f$ une application (ou fonction lol)
$f: E_1 \times E_2 \longrightarrow G$
avec $(E_1,F_1,m_1)$, $(E_2,F_2,m_2)$,$(G,F_3,m_3)$ des espaces mesurés
On condidère comme tribu produit $F_1 \otimes F_2$
Si on a
$\forall x \in E_1$ $f(x,.) \,est\, F_1-F_3$ mesurable
$\forall x \in E_2$ $f(.,x) \,est\, F_2-F_3$ mesurable
Alors
$f$ est $F_1 \otimes F_2 - F_3$ mesurable
Merci
J' aimerais juste avoir une confirmation que le résultat suivant n' est pas général:
$f$ une application (ou fonction lol)
$f: E_1 \times E_2 \longrightarrow G$
avec $(E_1,F_1,m_1)$, $(E_2,F_2,m_2)$,$(G,F_3,m_3)$ des espaces mesurés
On condidère comme tribu produit $F_1 \otimes F_2$
Si on a
$\forall x \in E_1$ $f(x,.) \,est\, F_1-F_3$ mesurable
$\forall x \in E_2$ $f(.,x) \,est\, F_2-F_3$ mesurable
Alors
$f$ est $F_1 \otimes F_2 - F_3$ mesurable
Merci
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Réponses
Cela dit je ne vois pas spontanément d'argument pour montrer ce que j'avance (que la diagonale n'est pas mesurable...).
si $\forall n\in \N$ $f_n$ est mesurable positive
alors $\displaystyle{\sum_{n=0}^{infty} \int_{\R} f_n = \int_{\R} \sum_{n=0}^{infty} f_n}$
Pour cela je considérais $f: \R \times \N \longrightarrow \R$
définie par $f(x,n) = f_n (x)$
Je munissais $\N$ de la tribu de toutes les parties et l' espace produit par $\B(\R) otimes \N$
Le problème était alors de montrer que la fonction était mesurable, mais comme le théorème ci dessus est faux, je ne vois pas trop comment faire.
$$
f(x,n)=\sum_{k=0}^{+\infty} f_k(x)1_k(n).
$$
C'est une somme de produit de fonctions mesurables, elle est donc mesurable.
--
Dans le même genre (mais plus subtile), tu peux montrer que si une fonction $f$ de $\R\times\R \to \R$ est continue en la première variable (la seconde étant fixée) et mesurable en la deuxième, alors la fonction est globalement mesurable.
--
J'imagine par ailleurs que tu sais que c'est une manière un peu tordu de montrer ton résultat (qui est une conséquence directe du théorème de converge monotone, qui est lui-même un théorème très très simple à démontrer).
Sinon, oui je connais l' autre méthode, mais j' essaie de voir un peu toutes les conséquences de Fubini.