Bonjour, comment étudier la série entière $\displaystyle \sum{\frac{z^2^n}{4n^2-1}}$ où $n$ est un réel positif ou ?
Le rayon de convergence vaut 0 si $|z|<1$ c'est bien ça ?
bonjour, je pense qu'il faudrait reformuler la question en indiquant l'indice de sommation et la variable dont dépend cette série de fonctions;
mon rayon de convergence à moi vaudrait 1 mais je ne sais pas duquel tu parles POuvillon!
En ce qui concerne la somme de la série, elle est facile à trouver (ou pas) en fonction des outils dont tu disposes dans ton cours.
bon courage
Pour répondre à la question : quel est son rayon de convergence ? ...
Le rayon de convergence est 1 car :
- Pour z=1, la série converge, donc le rayon est supérieur ou égal à 1.
- Pour tout z>1, la série diverge "grossièrement" (le terme général ne tend même pas vers 0), donc le rayon est inférieur ou égal à 1.
bonjour, une autre méthode consiste à suivre un conseil avisé:
$$\frac{1}{4n^2-1}=\frac{1}{2(2n-1)}-\frac{1}{2(2n+1)}$$
donc si $ \displaystyle f(z)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{z^{2n}}{4n^2-1}$, on a:
effectivement, ce n'est pas très habile de dériver un DSE connu pour reconnaître dans le DSE dérivé un DSE encore plus connu. Mais autant j'aime bien Arctan, autant Argth me laisse de marbre.::o
Réponses
mon rayon de convergence à moi vaudrait 1 mais je ne sais pas duquel tu parles POuvillon!
En ce qui concerne la somme de la série, elle est facile à trouver (ou pas) en fonction des outils dont tu disposes dans ton cours.
bon courage
c'est n qui est l'indice de sommation
pour la solution il faut décomposer 1/(4X²-1) en éléments simples.
ça te fais la somme de deux séries entières que tu peux calculer plus facilement
\begin{align*}
\big(zf(z)\big)^\prime &= \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{z^{2n}}{2n-1} \\
&= -1+z\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{z^{2n-1}}{2n-1} \\
Alors & \\
\big(zf(z)\big)^{\prime\prime} &= \sum_{n=1}^{+\infty}z^{2n-2} \\
&= \frac{1}{1-z^2} \\
&= -1+z \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{z^{2n-1}}{2n-1}
\end{align*}
Donc $\displaystyle \big(zf(z)\big)^\prime = \ln\left( \sqrt{\frac{1+z}{1-z}}\right)+c$
...
Le rayon de convergence est 1 car :
- Pour z=1, la série converge, donc le rayon est supérieur ou égal à 1.
- Pour tout z>1, la série diverge "grossièrement" (le terme général ne tend même pas vers 0), donc le rayon est inférieur ou égal à 1.
\begin{align*}
\big(zf(z)\big)^\prime &= \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{z^{2n}}{2n-1} \\
&= -1+z\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{z^{2n-1}}{2n-1} \\
Alors & \\
\frac{\big(zf(z)\big)^\prime}{z} &= \frac{-1}{z}+\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{z^{2n-1}}{2n-1} \\
Alors & \\
\left(\frac{\big(zf(z)\big)^\prime}{z} \right)^\prime &= \frac{1}{z^2}+ \sum_{n=1}^{+\infty}z^{2n-2} \\
&= \frac{1}{z^2}+ \frac{1}{1-z^2}
\end{align*}
tu cherches à expliciter f(z) pour |z|< 1 ?
tu trouves f(z)=-3/2 + (1/4)(- z + 1/z).ln[(1+z)/(1-z)]
en effet 1/(4n²-1)=(1/2)/(2n-1) - (1/2)/(2n+1) (décomposition en éléments simples)
tu tombes (à une constante près égale à -1 et après mise en facteur de z ou 1/z)
sur deux sommes pour n=1 à n infini de z^(2n-1)/(2n-1) soit (1/2)ln[(1+z)/(1-z)]
d'où le résultat annoncé
cordialement
$$\frac{1}{4n^2-1}=\frac{1}{2(2n-1)}-\frac{1}{2(2n+1)}$$
donc si $ \displaystyle f(z)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{z^{2n}}{4n^2-1}$, on a:
$$f(z)=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{z^{2n}}{2(2n-1)}-\frac{z^{2n}}{2(2n+1)}$$
$$=\frac{1}{2}\{ -1 + z\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{z^{2n-1}}{2n-1} - \frac{1}{z}\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{z^{2n+1}}{2n+1} \}$$
Soit:
$$f(z)= -\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \{ z \int_{0}^{z} \frac{du}{1-u^2} - \frac{1}{z}\int_{0}^{z} \frac{du}{1-u^2} \}$$
avec: $\displaystyle \int_{0}^{z} \frac{du}{1-u^2} = \frac{1}{2} \ln (\frac{1+z}{1-z})$
Finalement:
$$f(z)= -\frac{1}{2} + \frac{z-\frac{1}{z}}{4} \ln (\frac{1+z}{1-z})$$
la discontinuité en zéro n'étant qu'apparente...
Je crois que l'on peut aller encore plus vite en decomposant en elements
simples puis en reconnaissant deux fois le developpement de Argth(z) :
f(z) = -1/2 + z Argth(z) - 1/z Argth(z)
= -1/2 +(z-1/z) Argth(z) = -1/2 + (z-1/z) Ln((1+z)/(1-z))
fjaclot;