nature d'une suite

En utilisant le fait que $n \leq 2^{2^n}$, tu devrais pouvoir obtenir une majoration de ta suite...

bonjour, cet exercice est traité avec une généralisation page 38 dans {\it Topologie, analyse} de G. Flory (Vuibert) 1976 (il était prof en M' à LLG).

Il conseille de majorer simplement ${(u_{n+1})}^2$ en fonction de $u_n$.
Bon courage

Une solution rédigée :

On introduit la suite de terme général $a_n = 2^{2^n}$, la suite de terme général
$$v_n = \sqrt{1+\sqrt{2+\cdots+\sqrt{(n-1)+\sqrt{n+2a_n}}}},$$
et la fonction définie pour $x \geq 0$ par :
$$f(x) = \sqrt{1+\sqrt{2+\cdots+\sqrt{(n-1)+\sqrt{n+x}}}}.$$

La fonction $f$ est croissante avec :
$$u_n = f(0) \quad ; \quad u_{n+1} = f(\sqrt{n+1}) \quad ; \quad v_n =f(2a_n) \quad ; \quad v_{n+1} = f(\sqrt{n+1+2a_{n+1}}).$$

On a immédiatement $0 \leq \sqrt{n+1} \leq \sqrt{n+1+2a_{n+1}}$ donc :
$$u_n \leq u_{n+1} \leq v_{n+1}.$$

L'intérêt de la suite $a_n$ est la relation de récurrence $a_{n+1} = a_n^2$, de laquelle on déduit
$$2a_n - \sqrt{n+1+2a_{n+1}} = \dfrac{4a_n^2 - (n+1+2a_{n+1})}{2a_n + \sqrt{n+1+2a_{n+1}}} = \dfrac{2a_{n+1} - (n+1)}{a_n + \sqrt{n+1+a_{n+1}}} \geq 0,$$
c'est-à-dire $\sqrt{n+1+a_{n+1}} \leq a_n$, et finalement :
$$v_{n+1} \leq v_n.$$

Tout ce qui précède prouve que la suite $u_n$ est croissante, majorée par $v_1$, donc convergente.

bonsoir bs, par curiosité, ce "Cozar-Favennec" vaut-il le détour?
Merci d'avance.
Gilles

Bonjour Gilles,

Oui, j'aime beaucoup; maintenant, il est vrai que rares sont les livres de maths qui ne me plaisent pas.
D'abord la couverture: "L'École d'Athènes" de Raphaël ( détail avec les géomètres).

Ensuite 14 problèmes : que du classique ,mais avec à chaque fois un approfondissement, puis une application Maple. Quelques sujets:

>Morley
>Bezout en positifs
>le sujet de ce fil généralisé:
$$u_n=\sqrt{a_0+\sqrt{a_1+...+\sqrt{a_{n-1}+\sqrt{a_n}}}}}$$
la méthode de Reï est celle de ce livre.
>Développement factoriel
>caractérisation des matrices de trace nulle
>$\triangle(f)=f$ [ Laplacien]
>équation fonctionnelle : résoudre $f(x+1)-f(x)=g(x)$ , $g$ donné.

Maintenant, il me parait nécessaire de rappeler que nous ne "jouons" pas dans la même division, et qu'une appréciation est toujours subjective.

Amicalement.

bonjour,

$\displaystyle u_n=\sqrt{a_0+\sqrt{a_1+...+\sqrt{a_{n-1}+\sqrt{a_n}}}}$

est traité dans le livre de G.Polya, G.Szegö: Problèmes and Theorems in Analysis I
(la première édition date de 1924) ex.162, 163 pg.37 et il y est précisé que Polya a posé ce problème dans Arch. Math. Phys. Ser. 3, Vol.24(1916) et qu'il a été résolu par Szegö dans le Vol 25(1917) de la même revue.

Sinon un autre exercice avec une série de racines carrés en nombre "infinie":

$\displaystyle u_n=a_0\sqrt{2+a_1\sqrt{2+...+a_{n-2}\sqrt{2+a_{n-1}\sqrt{2+a_n\sqrt{2}}}}}$

avec $a_i$ prenant une de trois valeurs: -1, 0 , 1

est proposé dans le même livre.

Sincèrement,

Galax