Intégrale généralisée
dans Analyse
Bonjour,
je suis en pleine révision de partiel et je n'ai pas trouvé ce genre d'intégrale dans mes exercices de td, c'est pourquoi j'ai besoin de votre aide.
Etudier la nature de l'intégrale :
$$\int_{0}^{+\infty}(2^t+t)(3^t+t^2)\,\mathrm dt $$
Il est évident que le terme général tend vers 0, du coup j'ai pensé à l'équivalence avec une intégrale de Riemann mais je n'y arrive pas. (Avec les $\ln$ ça marche bien mais là...)
Merci d'avance
[Soit tu fais du BBcode et tu utilises les boutons au dessus de la fenêtre d'édition,
Soit tu fais du LaTeX. Le mélange des deux ne marche pas ! AD]
je suis en pleine révision de partiel et je n'ai pas trouvé ce genre d'intégrale dans mes exercices de td, c'est pourquoi j'ai besoin de votre aide.
Etudier la nature de l'intégrale :
$$\int_{0}^{+\infty}(2^t+t)(3^t+t^2)\,\mathrm dt $$
Il est évident que le terme général tend vers 0, du coup j'ai pensé à l'équivalence avec une intégrale de Riemann mais je n'y arrive pas. (Avec les $\ln$ ça marche bien mais là...)
Merci d'avance
[Soit tu fais du BBcode et tu utilises les boutons au dessus de la fenêtre d'édition,
Soit tu fais du LaTeX. Le mélange des deux ne marche pas ! AD]
Réponses
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Ai-je bien compris :
$$\int_0^{+\infty} \dfrac{2^t+t}{3^t+t^2}\,\mathrm dt$$ -
Oui c'est bien le quotient, j'ai mis également 2t et 3t sous forme exponentielle mais ça ne m'aide pas non plus.
Merci -
ben si, ça marche, en cherchant d'abord un équivalent de ton quotient.
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On a bêtement $\dfrac{2^t+t}{3^t+t^2} \sim_{+\infty} \left(\dfrac{2}{3}\right)^t \ll_{+\infty} \dfrac{1}{t^2}$ ...
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gb Écrivait:
> On a bêtement $\dfrac{2^t+t}{3^t+t^2}
> \sim_{+\infty} \left(\dfrac{2}{3}\right)^t
> \ll_{+\infty} \dfrac{1}{t^2}$ ...
D'accord mais mon problème est que je ne comprend pas pourquoi (et je ne trouve pas la réponse dans mes cours)
$\left(\dfrac{2}{3}\right)^t$ est négligeable devant $\dfrac{1}{t^2}$.
J'ai mis $\left(\dfrac{2}{3}\right)^t$ en facteur et du coup l'autre facteur tend vers 1 alors l'équivalence me parait plus claire.)
Merci
(Là j'ai pas mis de BBcode mais l'aperçu ne m'affiche pas le LateX, qu'ai-je encore fait de travers?)
(Ah en fait je crois que l'aperçu ne tient pas compte du Latex ça doit être pour ça) -
Ecris ton $\left(\dfrac{2}{3}\right)^t$ sous forme exponentielle !
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bonjour, sinon ça ne suffit pas de dire que $\left(\dfrac{2}{3}\right)^t$ est le terme d'une série géométrique convergente?
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L'intégrale qui devient série sans le dire, la vilaine...
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oups effectivement!!! jai rien dit, manque de concentration ...
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En fait je crois que Novice voulait dire :
on peut établir l'existence de l'intégrale $\int_0^{+\infty}\,\left(\dfrac{2}{3}\right)^t\,dt$ à partir de la convergence de la série de terme général $\left(\dfrac{2}{3}\right)^n$ (comparaison d'une série avec une intégrale).
Novice, la réponse est oui, mais c'est quand même écraser une mouche avec un marteau-pilon... -
Comme mon message a croisé le tien, novice, je ne suis plus certain de ce que tu voulais dire exactement...
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et donc le fait de mettre $\left(\dfrac{2}{3}\right)^t$ sous forme exponentielle montre quoi? je ne vois pas non plus comment cela montre que ce terme est négligeable devant $\frac{1}{t^2}$
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ben, c'était pour MamzelleBulle, puisqu'elle disait ne pas trouver dans son cours d'argument pour justifier la négligeabilité de $\left(\frac{2}{3}\right)^t$ devant $\frac{1}{t^2}$.
Donc en l'écrivant $e^{\alpha t}$ avec un $\alpha <0$, ça devrait lui paraître plus évident. -
Aleg> J'avais bien compris que novice utilisait la comparaison série-intégrale, mais je voulais lui faire remarquer qu'il aurait pu le dire, un lecteur peu averti, ou peu attentif, pourrait ne pas comprendre.
novice> on montre que $\left(\dfrac{2}{3}\right)^t$ est négligeable devant $\dfrac{1}{t^2}$, en montrant que $t^2\left(\dfrac{2}{3}\right)^t$ est de limite nulle à l'infini : $t^2\left(\dfrac{2}{3}\right)^t = \exp(2 \ln(t) + t \ln(2/3))$ et $\ln(2/3) < 0$ ...AQT -
ah oui c vrai que des qu'on a une exponentielle d'exposant négatif, il faut penser à ça, et dans ce cas, est ce necessaire de repasser par la définiton de la limite nulle en l'infini? Pour une rédaction? Ou suffit il comme vous l'avez fait d'écrire que l'un est négligable devant l'autre?
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Tout dépend à quel niveau tu te place : dans une copie d'agreg, la comparaison de $e^{-at}$^et de $t^{-\alpha}$ peut-être justifiée rapidement par le fait que $a>0$, dans un partiel de L1 portant essentiellement sur les échelles de comparaison, il faudra peut-être revenir à $f/g$ de limite nulle pour justifier $f \ll g$.
-
et en capes? (:P)
-
Alors je vous remercie tous je pense avoir trouvé une solution grâce à vos explications, voici donc:
Posons $ f(t)=\dfrac{2^t+t}{3^t+t^2} $
En mettant $ \left(\dfrac{2}{3}\right)^t $ en facteur j'ai alors :
$ f(t) \sim_{+\infty} \left(\dfrac{2}{3}\right)^t $
Or on a $ \left(\dfrac{2}{3}\right)^t = e^{t*ln(2/3)} $ et ln(2/3) est négatif donc cette valeur va être négligeable devant $ \left(\dfrac{1}{t^a}\right) $ pour tout a réel.
On a donc : $ t^2*e^{t*ln(2/3)} \rightarrow 0 $,
Alors, à partir d'un certain rang, on a :
$ t^2*e^{t*ln(2/3) \geq 1 \Rightarrow e^{t*ln(2/3) \geq \dfrac{1}{t^2} $
On a donc finalement $ f(t) \sim_{+\infty} \left(\dfrac{1}{t^2}\right) $ qui est le terme général d'une intégrale convergente de Riemann ,
donc l'integrale cherchée converge.
Voilà j'aimerais avoir votre avis.
Meri -
je pense qu'on peut écrire sans problème que, (au voisinage de $+\infty $ évidemment), lorsque $\alpha <0$,
$e^{\alpha t}=o\left(\frac{1}{t^2}\right)$ est une "négligeabilité classique" (= connue par coeur) .
Mais ce n'est pas moi qui décide, c'est ton prof.. -
Question intéressée.
Je ne connais pas le programme du CAPES, mais j'ose espérer que les croissances comparées des fonctions $\vert \ln(x)\vert^a$, $x^b$ et $e^{cx}$ sont supposées connues, tant au voisinage de l'origine qu'au voisinage de l'infini.
Il s'agit de fonctions de référence, au même titre que l'intégrabilité de $t^{-\alpha}$ sur $]0,1]$ et sur $[1,+\infty[$.
On ne va quand même pas réinventer la roue à tout moment. -
Si quelqu'un pouvait m'aider à éditer mon dernier message ya des $ partout je sais qu'il faut éviter mais j'ai essayer un au début et un à la fin du message et c'est pas mieux! J'ai du faire des erreurs de LaTeX mais je ne les trouve pas.
Merci -
Edition du message de MamzelleBulle
Alors je vous remercie tous je pense avoir trouvé une solution grâce à vos explications, voici donc:
Posons $f(t)=\dfrac{2^t+t}{3^t+t^2}$
En mettant $\left(\dfrac{2}{3}\right)^t$ en facteur j'ai alors :
$f(t) \sim_{+\infty} \left(\dfrac{2}{3}\right)^t$
Or on a $\left(\dfrac{2}{3}\right)^t = e^{t*ln(2/3)}$ et ln(2/3) est négatif donc cette valeur va être négligeable devant $\left(\dfrac{1}{t^a}\right)$ pour tout $a$ réel.
On a donc : $t^2*e^{t*ln(2/3)} \rightarrow 0$,
Alors, à partir d'un certain rang, on a :
$t^2*e^{t*ln(2/3)} \geq 1 \Rightarrow e^{t*ln(2/3)} \geq \dfrac{1}{t^2}$ [il me semble que des $\leq$ seraient les bienvenus à la place des $\geg$. Note de l'éditeur]
On a donc finalement $f(t) \sim_{+\infty} \left(\dfrac{1}{t^2}\right)$ [Il me semble que $\sim$ est faux, et que $\ll$ est la bonne rédaction. Note de l'éditeur] qui est le terme général d'une intégrale convergente de Riemann ,
donc l'integrale cherchée converge.
Voilà j'aimerais avoir votre avis.
Merci -
oups oui c'était $\leq$. Merci beaucoup gb.
Pour ta dernière note mon prof de td ne se sert que des équivalences mais bon... -
Ton prof ne se sert peut-être que des équivalents, mais il est faux que $\dfrac{2^t+t}{3^t+t^2}$ soit équivalent à $\dfrac{1}{t^2}$ au voisinage de l'infini ; le premier est négligeable devant le second, et on ne peut rien y changer.
Peut-être le note-t-il en notation de Landau $\dfrac{2^t+t}{3^t+t^2}= o_{+\infty}\left(\dfrac{1}{t^2}\right)$ ? -
Non justement on utilise que des vagues mais on a jamais traité quelquechose de ce style.
Est-ce que $ \dfrac{2^t+t}{3^t+t^2}= o_{+\infty}\left(\dfrac{1}{t^2}\right)$ implique aussi la convergence de lintégrale du quotient ?
Merci -
Dans les cas simples, où $g$ ne s'annule pas au voisinage du point $a$ (éventuellement infini), on définit :
1) "$f$ est équivalent à $g$ au voisinage de $a$", on note $f \sim_a g$, et cela signifie que $\lim_a \dfrac{f}{g} = 1$.
2) "$f$ est négligeable devant $g$ au voisinage de $a$", on note $f \ll_a g$ ou $f = o_a(g)$, et cela signifie que $\lim_a \dfrac{f}{g} = 0$.
Il s'agit de deux propriétés distinctes, et on ne peut pas utiliser l'une à la place de l'autre. Dans ton cas, tu as
$\dfrac{2^t+t}{3^t+t^2} \sim_{+\infty} \left(\dfrac{2}{3}\right)^t$
et
$\dfrac{2^t+t}{3^t+t^2} \ll_{+\infty} \dfrac{1}{t^2}$
mais pas
$\dfrac{2^t+t}{3^t+t^2} \sim_{+\infty} \dfrac{1}{t^2}$ -
Merci gb.
D'accord, donc si je comprends bien il faut que j'écrive :
$ f(t) \sim_{+\infty} \left(\dfrac{2}{3}\right)^t$
Or on a $ \left(\dfrac{2}{3}\right)^t = e^{t*ln(2/3)}$ et ln(2/3) est négatif donc cette valeur va être négligeable devant $ \left(\dfrac{1}{t^a}\right)$ pour tout $ a$ réel.
On a donc : $ t^2*e^{t*ln(2/3)} \rightarrow 0$,
Alors, à partir d'un certain rang, on a :
$ t^2*e^{t*ln(2/3)} \leq 1 \Rightarrow e^{t*ln(2/3)} \leq \dfrac{1}{t^2}$
Donc comme $1/t^2$ est le terme générale d'une intégrale de Riemann convergente alors l'intégrale de $\left(\dfrac{2}{3}\right)^t$ converge.
Or $ f(t) \sim_{+\infty} \left(\dfrac{2}{3}\right)^t$, donc l'intégrale de f(t) converge également.
Ca me parait plus juste, non?
Merci -
Cette méthode aura effectivement l'avantage de l'exactitude et de la conformité aux notations de ton prof. Mais il me semble que, du fait que $\ln(2/3)<0$, on peut directement conclure à l'intégrabilité de $e^{t\ln(2/3)}$ sans comparer à $1/t^2$ ; mais, bien entendu, je ne connais pas la liste des fonctions supposées connues comme étant intégrables dans ton cours.
-
Plutôt que "négligeable" tu peux utiliser "inférieur pour $t$ assez grand" ; c'est beaucoup plus faible mais bien suffisant. En notant $g(t)=2^t/3^t$ et $h(t)=1/t^2$ tu as montré que $\lim_{+\infty} g/h=0$ donc en revenant à la définition de la limite, pour $\varepsilon=1$ il existe un $A>0$ tel que pour tout $t>A$ on a $|g(t)/h(t)| \leq 1$, donc $|g(t)| \leq h(t)$, ce qui suffit à conclure que $h$ est intégrable.
Ah oui, et pour une intégrale on dit "intégrande" plutôt que "terme général", qui est utilisé à propos des séries.
[Edit : désolé j'ai un train de retard] -
Merci beaucoup gb je suis en L2 et en td on n'utilise peu la négligeabilité (malgré qu'on l'ai vu rapidement l'an dernier) mais par contre on utilise pas mal "pour t assez grand" comme l'a dit Egoroff que je remercie également pour ces précisions c'est la première fois que je vois le mot "intégrande" mais ça fera classe dans mon partiel (:P)
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salut Egoroff,
je ne veux pas critiquer ton argument (il est irréprochable), mais, franchement, je trouve surprenant qu'en L2 (je dis bien L2, pas "BTS majorette") on soit obligé de détailler à ce point.
Je trouve tout aussi surprenants les propos (que je ne mets pas en doute) de MamzelleBulle suivant lesquels "{\it on utilise que des vagues mais on n'a jamais traité quelque chose de ce style"}.
Car, enfin, les relations de comparaison ont justement été inventées pour formaliser certains "automatismes" de raisonnement qu'on utilise tout le temps dans les problèmes de limites : autant donc en profiter.
Mais peut-être certains profs de fac ont-ils purement et simplement renoncé à enseigner ces notions, d'où mon inquiétude... -
Bravo Aleg, je souscris entièrement à tes remarques, et je partage ton inquiétude finale...
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Pour ma citation "on utilise que des vagues mais on n'a jamais traité quelque chose de ce style" c'était moins long que de faire le signe correspondant en LaTeX mais mon professeur dans cette matière est vraiment horrible, il ne fait pas vraiment attention au tableau mais passe 2h à dire Chut et à mettre des élèves dehors ou à les changer de place. Alors dans ces conditions forcément non seulement les élèves silencieux sont pénalisés car le prof est totalement inattentif et indisponible dès qu'on a une question mais on comprend qu'il hésite à employer certaines notations (certains élèves se plaignent qu'ils ont jamais utilisé ça du coup le prof utilise autre chose pour les faire taire).
Mais si on n'utilise pas ces notations en td on ne risque pas de les assimiler. Enfin bon nouveau semestre = nouveau prof en espérant que ce ne sera pas pire.
Moi je trouve qu'il y a vraiment de quoi s'inquiéter quand à l'enseignement universitaire en France, de plus il y a une telle hétérogénéité dans les différentes facs de France, à chaque fac ses règles, ses notations, ses dates d'examen... -
Voilà, tout est dit.
-
X:- ( Aleg X:- (
[La gesticulation de figurines n'apporte rien au débat ! AD] -
Bonjour,
Pourquoi lorsque $\frac{f}{g} \rightarrow 0$, $f$ est négligeable devant $g$ {\bf gb} ?
[Soit LaTeX, soit BBcode (les boutons de le fenêtre d'édition). Les deux ensemble ne marchent pas. AD] -
Moi je trouve qu'il y a vraiment de quoi s'inquiéter quand à l'enseignement universitaire en France
+1
Et plus que s' inquiéter ... -
Nicolas> Parce que c'est la définition...
-
gb,
disons que c'est la définition dans les cas pratiques "usuels" où la fct $g$ n'a pas la mauvaise idée de s'annuler une infinité de fois dans tout voisinage de $a$.
Ceci dit, ne compliquons pas trop, puisque visiblement ces relations de comparaison ne sont plus vraiment étudiées.. -
Aleg,
J'ai effectivement fait état d'une définition approximative, mais comme tu l'as bien compris, je n'ai pas voulu compliquer les choses, tant il est vrai que j'ai rarement rencontré, dans la pratique, des fonctions négligeables devant $\sin x$ au voisinage de l'infini.
Mais la question m'a tellement surpris, que je me demande comment sont actuellement abordées les relations de comparaison. -
{\it ... je me demande comment sont actuellement abordées les relations de comparaison.}. Avec ce qu'on a vu défiler sur ce fil, je me pose la même question !
-
La "véritable définition" est $f = o (g)$ si et seulement si $|f(x)| \leq |g(x) |\epsilon(x)$ avec $\lim_{x\longrightarrow \infty} \epsilon (x) = 0$ ?
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Bien évidemment, mais dans les exercices numériques, on peut toujours diviser par $g(x)$ au voisinage de l'infini.
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Salut tout le monde,
Oui Aleg, j'ai effectivement beaucoup détaillé, c'était sans doute une rédaction de L1 plutôt que de L2, en théorie, mais j'ai voulu présenter quelquechose de béton à MamzelleBulle qui n'a pas encore l'air très à l'aise en ce qui concerne les relations de comparaisons (ne le prends pas mal MamzelleBulle !). Et oui, il y a de quoi être pessisiste...
A propos de la définition de $f=o(g)$, j'ai eu droit en sup à "pour tout $\varepsilon > 0$ il existe un voisinage sur lequel $|f| \leq \varepsilon |g|$ (...) il vaut mieux éviter d'utiliser $\lim f/g = 0$" (je pense que c'était plus par souci esthétique car comme le note gb il est rare dans la pratique d'avoir à se poser des questions). En cours de calcul différentiel en licence, dans une séance pudiquement appelée "rappels" j'ai pu entendre : "$f(x)=g(x) \varepsilon(x)$, donc on forme le quotient $f(x)/g(x)$ et on vérifie qu'il tend vers $0$".
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