Intégrale généralisée
dans Analyse
Bonjour,
je suis en pleine révision de partiel et je n'ai pas trouvé ce genre d'intégrale dans mes exercices de td, c'est pourquoi j'ai besoin de votre aide.
Etudier la nature de l'intégrale :
$$\int_{0}^{+\infty}(2^t+t)(3^t+t^2)\,\mathrm dt $$
Il est évident que le terme général tend vers 0, du coup j'ai pensé à l'équivalence avec une intégrale de Riemann mais je n'y arrive pas. (Avec les $\ln$ ça marche bien mais là...)
Merci d'avance
[Soit tu fais du BBcode et tu utilises les boutons au dessus de la fenêtre d'édition,
Soit tu fais du LaTeX. Le mélange des deux ne marche pas ! AD]
je suis en pleine révision de partiel et je n'ai pas trouvé ce genre d'intégrale dans mes exercices de td, c'est pourquoi j'ai besoin de votre aide.
Etudier la nature de l'intégrale :
$$\int_{0}^{+\infty}(2^t+t)(3^t+t^2)\,\mathrm dt $$
Il est évident que le terme général tend vers 0, du coup j'ai pensé à l'équivalence avec une intégrale de Riemann mais je n'y arrive pas. (Avec les $\ln$ ça marche bien mais là...)
Merci d'avance
[Soit tu fais du BBcode et tu utilises les boutons au dessus de la fenêtre d'édition,
Soit tu fais du LaTeX. Le mélange des deux ne marche pas ! AD]
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Réponses
$$\int_0^{+\infty} \dfrac{2^t+t}{3^t+t^2}\,\mathrm dt$$
Merci
> On a bêtement $\dfrac{2^t+t}{3^t+t^2}
> \sim_{+\infty} \left(\dfrac{2}{3}\right)^t
> \ll_{+\infty} \dfrac{1}{t^2}$ ...
D'accord mais mon problème est que je ne comprend pas pourquoi (et je ne trouve pas la réponse dans mes cours)
$\left(\dfrac{2}{3}\right)^t$ est négligeable devant $\dfrac{1}{t^2}$.
J'ai mis $\left(\dfrac{2}{3}\right)^t$ en facteur et du coup l'autre facteur tend vers 1 alors l'équivalence me parait plus claire.)
Merci
(Là j'ai pas mis de BBcode mais l'aperçu ne m'affiche pas le LateX, qu'ai-je encore fait de travers?)
(Ah en fait je crois que l'aperçu ne tient pas compte du Latex ça doit être pour ça)
on peut établir l'existence de l'intégrale $\int_0^{+\infty}\,\left(\dfrac{2}{3}\right)^t\,dt$ à partir de la convergence de la série de terme général $\left(\dfrac{2}{3}\right)^n$ (comparaison d'une série avec une intégrale).
Novice, la réponse est oui, mais c'est quand même écraser une mouche avec un marteau-pilon...
Donc en l'écrivant $e^{\alpha t}$ avec un $\alpha <0$, ça devrait lui paraître plus évident.
novice> on montre que $\left(\dfrac{2}{3}\right)^t$ est négligeable devant $\dfrac{1}{t^2}$, en montrant que $t^2\left(\dfrac{2}{3}\right)^t$ est de limite nulle à l'infini : $t^2\left(\dfrac{2}{3}\right)^t = \exp(2 \ln(t) + t \ln(2/3))$ et $\ln(2/3) < 0$ ...AQT
Posons $ f(t)=\dfrac{2^t+t}{3^t+t^2} $
En mettant $ \left(\dfrac{2}{3}\right)^t $ en facteur j'ai alors :
$ f(t) \sim_{+\infty} \left(\dfrac{2}{3}\right)^t $
Or on a $ \left(\dfrac{2}{3}\right)^t = e^{t*ln(2/3)} $ et ln(2/3) est négatif donc cette valeur va être négligeable devant $ \left(\dfrac{1}{t^a}\right) $ pour tout a réel.
On a donc : $ t^2*e^{t*ln(2/3)} \rightarrow 0 $,
Alors, à partir d'un certain rang, on a :
$ t^2*e^{t*ln(2/3) \geq 1 \Rightarrow e^{t*ln(2/3) \geq \dfrac{1}{t^2} $
On a donc finalement $ f(t) \sim_{+\infty} \left(\dfrac{1}{t^2}\right) $ qui est le terme général d'une intégrale convergente de Riemann ,
donc l'integrale cherchée converge.
Voilà j'aimerais avoir votre avis.
Meri
$e^{\alpha t}=o\left(\frac{1}{t^2}\right)$ est une "négligeabilité classique" (= connue par coeur) .
Mais ce n'est pas moi qui décide, c'est ton prof..
Je ne connais pas le programme du CAPES, mais j'ose espérer que les croissances comparées des fonctions $\vert \ln(x)\vert^a$, $x^b$ et $e^{cx}$ sont supposées connues, tant au voisinage de l'origine qu'au voisinage de l'infini.
Il s'agit de fonctions de référence, au même titre que l'intégrabilité de $t^{-\alpha}$ sur $]0,1]$ et sur $[1,+\infty[$.
On ne va quand même pas réinventer la roue à tout moment.
Merci
Alors je vous remercie tous je pense avoir trouvé une solution grâce à vos explications, voici donc:
Posons $f(t)=\dfrac{2^t+t}{3^t+t^2}$
En mettant $\left(\dfrac{2}{3}\right)^t$ en facteur j'ai alors :
$f(t) \sim_{+\infty} \left(\dfrac{2}{3}\right)^t$
Or on a $\left(\dfrac{2}{3}\right)^t = e^{t*ln(2/3)}$ et ln(2/3) est négatif donc cette valeur va être négligeable devant $\left(\dfrac{1}{t^a}\right)$ pour tout $a$ réel.
On a donc : $t^2*e^{t*ln(2/3)} \rightarrow 0$,
Alors, à partir d'un certain rang, on a :
$t^2*e^{t*ln(2/3)} \geq 1 \Rightarrow e^{t*ln(2/3)} \geq \dfrac{1}{t^2}$ [il me semble que des $\leq$ seraient les bienvenus à la place des $\geg$. Note de l'éditeur]
On a donc finalement $f(t) \sim_{+\infty} \left(\dfrac{1}{t^2}\right)$ [Il me semble que $\sim$ est faux, et que $\ll$ est la bonne rédaction. Note de l'éditeur] qui est le terme général d'une intégrale convergente de Riemann ,
donc l'integrale cherchée converge.
Voilà j'aimerais avoir votre avis.
Merci
Pour ta dernière note mon prof de td ne se sert que des équivalences mais bon...
Peut-être le note-t-il en notation de Landau $\dfrac{2^t+t}{3^t+t^2}= o_{+\infty}\left(\dfrac{1}{t^2}\right)$ ?
Est-ce que $ \dfrac{2^t+t}{3^t+t^2}= o_{+\infty}\left(\dfrac{1}{t^2}\right)$ implique aussi la convergence de lintégrale du quotient ?
Merci
1) "$f$ est équivalent à $g$ au voisinage de $a$", on note $f \sim_a g$, et cela signifie que $\lim_a \dfrac{f}{g} = 1$.
2) "$f$ est négligeable devant $g$ au voisinage de $a$", on note $f \ll_a g$ ou $f = o_a(g)$, et cela signifie que $\lim_a \dfrac{f}{g} = 0$.
Il s'agit de deux propriétés distinctes, et on ne peut pas utiliser l'une à la place de l'autre. Dans ton cas, tu as
$\dfrac{2^t+t}{3^t+t^2} \sim_{+\infty} \left(\dfrac{2}{3}\right)^t$
et
$\dfrac{2^t+t}{3^t+t^2} \ll_{+\infty} \dfrac{1}{t^2}$
mais pas
$\dfrac{2^t+t}{3^t+t^2} \sim_{+\infty} \dfrac{1}{t^2}$
D'accord, donc si je comprends bien il faut que j'écrive :
$ f(t) \sim_{+\infty} \left(\dfrac{2}{3}\right)^t$
Or on a $ \left(\dfrac{2}{3}\right)^t = e^{t*ln(2/3)}$ et ln(2/3) est négatif donc cette valeur va être négligeable devant $ \left(\dfrac{1}{t^a}\right)$ pour tout $ a$ réel.
On a donc : $ t^2*e^{t*ln(2/3)} \rightarrow 0$,
Alors, à partir d'un certain rang, on a :
$ t^2*e^{t*ln(2/3)} \leq 1 \Rightarrow e^{t*ln(2/3)} \leq \dfrac{1}{t^2}$
Donc comme $1/t^2$ est le terme générale d'une intégrale de Riemann convergente alors l'intégrale de $\left(\dfrac{2}{3}\right)^t$ converge.
Or $ f(t) \sim_{+\infty} \left(\dfrac{2}{3}\right)^t$, donc l'intégrale de f(t) converge également.
Ca me parait plus juste, non?
Merci
Ah oui, et pour une intégrale on dit "intégrande" plutôt que "terme général", qui est utilisé à propos des séries.
[Edit : désolé j'ai un train de retard]
je ne veux pas critiquer ton argument (il est irréprochable), mais, franchement, je trouve surprenant qu'en L2 (je dis bien L2, pas "BTS majorette") on soit obligé de détailler à ce point.
Je trouve tout aussi surprenants les propos (que je ne mets pas en doute) de MamzelleBulle suivant lesquels "{\it on utilise que des vagues mais on n'a jamais traité quelque chose de ce style"}.
Car, enfin, les relations de comparaison ont justement été inventées pour formaliser certains "automatismes" de raisonnement qu'on utilise tout le temps dans les problèmes de limites : autant donc en profiter.
Mais peut-être certains profs de fac ont-ils purement et simplement renoncé à enseigner ces notions, d'où mon inquiétude...
Mais si on n'utilise pas ces notations en td on ne risque pas de les assimiler. Enfin bon nouveau semestre = nouveau prof en espérant que ce ne sera pas pire.
Moi je trouve qu'il y a vraiment de quoi s'inquiéter quand à l'enseignement universitaire en France, de plus il y a une telle hétérogénéité dans les différentes facs de France, à chaque fac ses règles, ses notations, ses dates d'examen...
[La gesticulation de figurines n'apporte rien au débat ! AD]
Pourquoi lorsque $\frac{f}{g} \rightarrow 0$, $f$ est négligeable devant $g$ {\bf gb} ?
[Soit LaTeX, soit BBcode (les boutons de le fenêtre d'édition). Les deux ensemble ne marchent pas. AD]
+1
Et plus que s' inquiéter ...
disons que c'est la définition dans les cas pratiques "usuels" où la fct $g$ n'a pas la mauvaise idée de s'annuler une infinité de fois dans tout voisinage de $a$.
Ceci dit, ne compliquons pas trop, puisque visiblement ces relations de comparaison ne sont plus vraiment étudiées..
J'ai effectivement fait état d'une définition approximative, mais comme tu l'as bien compris, je n'ai pas voulu compliquer les choses, tant il est vrai que j'ai rarement rencontré, dans la pratique, des fonctions négligeables devant $\sin x$ au voisinage de l'infini.
Mais la question m'a tellement surpris, que je me demande comment sont actuellement abordées les relations de comparaison.
Oui Aleg, j'ai effectivement beaucoup détaillé, c'était sans doute une rédaction de L1 plutôt que de L2, en théorie, mais j'ai voulu présenter quelquechose de béton à MamzelleBulle qui n'a pas encore l'air très à l'aise en ce qui concerne les relations de comparaisons (ne le prends pas mal MamzelleBulle !). Et oui, il y a de quoi être pessisiste...
A propos de la définition de $f=o(g)$, j'ai eu droit en sup à "pour tout $\varepsilon > 0$ il existe un voisinage sur lequel $|f| \leq \varepsilon |g|$ (...) il vaut mieux éviter d'utiliser $\lim f/g = 0$" (je pense que c'était plus par souci esthétique car comme le note gb il est rare dans la pratique d'avoir à se poser des questions). En cours de calcul différentiel en licence, dans une séance pudiquement appelée "rappels" j'ai pu entendre : "$f(x)=g(x) \varepsilon(x)$, donc on forme le quotient $f(x)/g(x)$ et on vérifie qu'il tend vers $0$".