Mesurabilité et intégrabilité

Mathieu
Mathieu
dans Analyse
Bonjour,

J' aimerais savoir {\it exactement} ce qu'est une fonction Lebesgue intégrable.
Ma question repose sur le constat suivant :
Une fonction Riemann intégrable n'est pas forcément mesurable
Une fonction Riemann intégrable est Lebesgue intégrable.
Une fonction est dite intégrable si elle est mesurable et $\int |f| < \infty$

Ce qui pose quelques problèmes, avouons le.

Je profite de ce message pour vous demander si vous connaissez de bons bouquins sur les fonctions Riemann intégrables (en prépa c'est seulement continues et continues par morceaux) et sur les fonctions Lebesgue intégrables

Merci

Réponses

  • Yop0
    Yop0
    <<
    une fonction Riemann intégrable n'est pas forcément mesurable
    >>

    Hum... Même pas Lebesgue-mesurable ? Mes souvenirs en théorie de Riemann sont un peu vieux, ça me demanderait trop d'efforts de vérifier moi-même...

    Bref quel est le contre-exemple et pour quelles tribus la fonction est-elle non mesurables ?

    Merci,

    Yop

    PS : pour la théorie de Lebesgue, le grand classique est le livre de Rudin, Analyse réelle et complexe. Pour la théorie de Riemann, j'avais vu ça à l'époque dans le Ramis-Deschamps-Odoux qui est très bien (d'une manière générale et pour cela en particulier).
  • Mathieu
    Mathieu
    Une fonction Riemann intégrable n' est pas forcément mesurable, voici une référence: http://www.les-mathematiques.net/pages/download.php3?id=48 page 36 en bas:
    "On va terminer ce chapitre en montrant que les fonctions int´egrables au sens de Riemann, sur un intervalle born´e
    I = [a, b] de IR, sont ´egalement int´egrables au sens de Lebesgue. Ces fonctions ne sont pas n´ecessairement bor´eliennes"


    Je vais regarder les livres que tu proposes merci
  • Yop0
    Yop0
    OK, elles sont, si je comprends bien, mesurables pour la tribu de Lebesgue mais pas nécessairement pour la tribu borélienne. Cela ne suffit-il pas à lever l'apparente contradiction que tu soulevais ?

    (Merci pour le lien)
  • Mathieu
    Mathieu
    Ahh, intégrable au sens de Lebesgue veut dire, mesurable pour la tribu de Lebesgue telle que l'intégrale de la valeur absolue est finie !!
    Mais, c'est quoi la tribu de Lebesgue ? Je croyais que c'était les boréliens...
  • Yop0
    Yop0
    Salut,

    En fait "intégrable au sens de Lebesgue" ne veut rien dire à priori. Il faut préciser quelle tribu et quelle mesure tu mets à la source. Quand l'ensemble de départ de ta fonction est $\R$ et qu'on ne précise rien, il y a une ambiguité (au moins) entre les deux possibilités (classiques) suivantes :
    1) Tribu de Borel et restriction de la mesure de Lebesgue à cette tribu ;
    2) Tribu des Lebesgue mesurables et mesure de Lebesgue.

    La tribu des boréliens sur $\R$ (ou sur n'importe quel espace topologique) est la plus petite tribu qui contient les ouverts.

    La tribu de Lebesgue sur $\R$ est plus grosse. Elle est engendrée par les éléments de la tribu des boréliens et par les sous-ensembles négligeables (au sens de Lebesgue...) de $\R$.
  • Mathieu
    Mathieu
    La tribu de Lebesgue sur $R$ est en fait l' ensemble des parties mesurables pour $\lambda$ ?

    Egalement, je me demande une chose, puique qu' on a introduit les boréliens pour avoir la mesure de Lebesgue, comment peut-on intégrer une fonction mesurable sur une tribu plus grosse que les boréliens ?
  • Mathieu
    Mathieu
    Je profite encore de ce topic, pour demander des conseils sur les livres sur la théorie de l' intégrale de Riemann (Riemman-intégrabilité, fonctions réglées etc...) le livre Ramis-Deschamps-Odoux étant indisponible sur amazon
    Egalement, si vous connaissez sur ce sujet de bons poly sur internet, je suis preneur (:P)
  • Mathieu
    Mathieu
    up discret (tu)
  • Aleg
    Aleg
    D'une façon générale, pour une intitiation qui répondra à tes questions,je te conseille ce livre :
    <http://www.amazon.fr/Théorie-lintégration-exercices-Licence-mathématiques/dp/271177189X/sr=1-1/qid=1169982255/ref=sr_1_1/402-6318569-8268967?ie=UTF8&amp;s=books&gt;
    Le premier chapitre est consacré à l'intégrale de Riemann.

    Remarque :
    Le volume de RDO où on trouve le déroulement de toute le théorie de l'intégrale de Riemann est parfaitement disponible.., c'est celui-là :
    <http://www.amazon.fr/Cours-mathématiques-Topologie-éléments-danalyse/dp/2100041770/sr=1-1/qid=1169982370/ref=sr_1_1/402-6318569-8268967?ie=UTF8&amp;s=books&gt;
  • Mathieu
    Mathieu
    Merci !!
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