Dérivabilité sous le signe intégrale

Le maximum n'a aucune raison d'être atteint en la même valeur $x_0$ pour tout $t$.

Si je considère $F(x,t) = xte^{-xt}$, pour $x$ et $t$ positifs :
Pour tout $x \geq 0$, $t \mapsto F(x,t)$ est intégrable sur $[0,+\infty[$
Pour tout $t \geq 0$, $x \mapsto F(x,t)$ est bornée sur $[0,+\infty$, par 0 si $t=0$, par $e^{-1}$ atteint en $x = \frac{1}{t}$ si $t>0$.
La fonctions $M_0(t) = \left\{\begin{array}{ll} 0 & \textrm{\ si\ } t = 0 \\ e^{-1} & \textrm{\ si\ } t > 0 \end{array}\right.$ ne me paraît pas intégrable sur $[0,+\infty[$.

Cet "acharnement" (tout à fait louable, bisam) me conforte dans l'idée que j'avais exprimée dès le départ : erreur de ré-édition.
En général, les auteurs n'aiment pas trop ce genre de travail qui consiste à tailler à la serpe pour faire rentrer le contenu dans les limites du nouveau programme. Il ne serait donc pas étonnant qu'un coup de ciseau malencontreux soit à l'origine de ce fil.

Bonsoir, voici une nouvelle idée pour la démonstration. On pose $G(x)=\int_I \frac{\partial^n F}{\partial x^n}(t,x)dt$. On note $S$ (comme somme) l'opérateur qui à une fonction associe son intégrale de $0$ à $x$ (c-a-d sa primitive qui s'annule en $0$). On applique le thm à $S(G)$ (qui, si $x$ varie dans un compact contenant $0$, vérifie l'hypothèse de domination). On en déduit que
$$S(G)=\int_I S\bigg(\frac{\partial^n F}{\partial x^n}(t,\,\cdot\,)\bigg)(x)dt$$
On peut itérer le raisonnement pour trouver
$$S^n(G)=\int_I S^n\bigg(\frac{\partial^n F}{\partial x^n}(t,\,\cdot\,)\bigg)(x)dt$$
Pour montrer qu'on peut dériver $n$ fois $f$ sous le signe intégrale, il reste donc à montrer que
$f-S^n(G)$ est un polynôme de degré $\le n-1$. Or, d'après la formule de Taylor avec reste intégral (bien que l'expression du reste ne soit pas la même que d'habitude), on a:
$$F(t,x)=\sum_{k=0}^{n-1}\frac{\partial^kF}{\partial x^k}(t,0)\frac{x^k}{k!}
+S^n\bigg(\frac{\partial^n F}{\partial x^n}(t,\,\cdot\,)\bigg)(x)$$
Finalement,
$$f(x)-S^n(G)(x)=\int_I\sum_{k=0}^{n-1}\frac{\partial^kF}{\partial x^k}(t,0)\frac{x^k}{k!}dt$$
Il reste à prouver qu'on peut intervertir la somme finie et l'intégrale, mais comme il s'agit d'un polynôme en $x$ (sous l'intégrale), il y a de bons espoirs pour qu'on puisse le faire, non ?

Non, le mystère est résolu : Posons $[\D_h f](x)=f(x+h)-f(x)$. Une application $f$ est un polynôme de degré $<n$ si et seulement si $D_h^{\circ n}f=0$. Or, $D_h^{\circ n}$ (par rapport à $x$) commute avec l'intégrale (par rapport à $t$), sans aucune condition. On a donc :
$$D_h^{\circ n}[f-S^n(G)]=0$$